二次函数的性质

二次函数的性质

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2023年2月22日发(作者：人力资源法务师)

二次函数的图像和性质

1.二次函数的图像与性质：

解析式

a的取值

开口方向

函数值的增减

顶点坐标对称轴

图像与y轴

的交点

时当0a

；

开口向上；

在对称轴的左侧y随x的

增大而减小，在对称轴的

右侧y随x的增大而增

大。

时当0a；

开口向

下；在对称轴的左侧y随

x的增大而增大，在对称

轴的右侧y随x的增大而

减小。

2)(hxay

)

4

4

,

2

2

a

bac

a

b

（

2.抛物线的平移法则：

（1）抛物线

kax2y

的图像是由抛物线

2yax

的图像平移

k

个单位而得到

的。当

0k

时向上平移；当

0k

时向下平移。

（2）抛物线2)(hxay

的图像是由抛物线

2yax

的图像平移

h

个单位而得到

的。当

0h

时向左平移；当

0h

时向右平移。

（3）抛物线的

khxay2)(

图像是由抛物线

2yax

的图像上下平移

k

个单位，

左右平移

h

个单位而得到的。当

0k

时向上平移；当

0k

时向下平移；当

0h

时

向左平移；当

0h

时向右平移。

2yax

），（00），（00

kax2y

），（c0），（k0

），（0h

0x

0x

hx

khxay2)(

），（kh

hx

cbxaxy2

a

b

x

2



），（c0

），（kah20

），（20ah

3.二次函数的最值公式：

形如

cbxaxy2

的二次函数。

时当0a

，图像有最低点，函数有最小值

a

bac

y

4

42



最小值；

时当0a

，图像有最高点，函数有最大值，a

bac

y

4

42



最大值；

4.抛物线

cbxaxy2

与y轴的交点坐标是（0，c）

5.抛物线的开口大小是由a决定的，a越大开口越小。

6.二次函数

cbxaxy2

的最值问题：

（1）自变量的取值范围是一切实数时求最值的方法有配方法、公式法、判别式法。

（2）自变量的取值范围不是一切实数：

自变量的取值范围不是一切实数时，应当抓住对称轴a

b

x

2



,把他与取值范围相

比较，再进行求最值。

6.二次函数与一元二次方程的关系：

(1)抛物线

cbxaxy2

与x轴的交点坐标的横坐标方程

02cbxax

的两根。

(2)抛物线与x轴的交点个数是由acb42决定的：

当

0

时抛物线与x轴有两个交点；当

0

抛物线与x轴有一个交点；当

0

时抛物线与x轴没有点。

0

时抛物线与x轴有交点。（此定理的逆定理也成

立。）

7.二次函数的三种常用形式：

（1）一般式：

khxay2)(

（2）顶点式：

cbxaxy2

（3）两根式：

))((

21

xxxxay

8.一元二次方程的解法：

（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法；（5）图像法。