采荷实验中学

采荷实验中学

-

2023年2月19日发(作者：)

一、选择题

1

．如图，

△ABC≌△ADE

，

AB

＝

AD

，

AC

＝

AE

，

∠B

＝

28



，

∠E

＝

95



，

∠EAB

＝

20



，则

∠BAD

等于（）

A

．

75



B

．

57



C

．

55



D

．

77



2

．如图，在ABC和AEF中，EACBAF，EABA，添加下面的条件：

①EAFBAC；

②EB；

③AFAC；

④EFBC，其中可以得到

ABCAEF≌△△

的有（）个．

A

．1B

．2C

．3D

．4

3

．下列说法正确的（）个．

①0.09

的算术平方根是

0.03

；

②1

的立方根是

±1

；

③3.1

＜10＜

3.2

；

④

两边及一角分

别相等的两个三角形全等．

A

．

0B

．

1C

．

2D

．

3

4

．如图，AD平分BAC交BC于点D，DEAB于点E，DFAC于点F，若

ABC

S12，DF2，AC3，则AB的长是

()

A

．2B

．4C

．

7

D

．9

5

．如图，点O在ABC内，且到三边的距离相等．若110BOC°，则A的度数为

()

A

．40B

．45C

．50D

．55

6

．点Р在AOB的角平分线上，点Р到OA边的距离等于5，点

Q

是OB边上的任意一

点，则下列选项正确的是（）

A

．

5PQ

B

．5POC

．

5PQ

D

．5PO

7

．到ABC的三条边距离相等的点是ABC的

()

A

．三条中线的交点

B

．三条边的垂直平分线的交点

C

．三条高的交点

D

．三条角平分线的交点

8

．如图，点D在线段BC上，若1802ACEABCx，且BCDE，

ACDC，ABEC，则下列角中，大小为x的角是

()

A

．EFCB

．ABCC

．FDCD

．DFC∠

9

．如图所示，已知

∠A

＝

∠C

，

∠AFD

＝

∠CEB

，那么给出的条件不能得到

ADFCBE△≌△是（）

A

．

∠B

＝

∠DB

．

EB=DFC

．

AD=BCD

．

AE=CF

10

．如图，

C

是

∠AOB

的平分线上一点，添加下列条件不能判定

△AOC≌△BOC

的是

（）

A

．

OA=OBB

．

AC=BCC

．

∠A=∠BD

．

∠1=∠2

11

．已知，如图，

OC

是

∠AOB

内部的一条射线，

P

是射线

OC

上任意点，

PD⊥OA

，

PE⊥OB

，下列条件中：

①∠AOC

＝

∠BOC

，

②PD

＝

PE

，

③OD

＝

OE

，

④∠DPO

＝

∠EPO

，

能判定

OC

是

∠AOB

的角平分线的有（）

A

．

1

个

B

．

2

个

C

．

3

个

D

．

4

个

12

．如图，已知，CABDAE，ACAD．下列五个选项：

①ABAE，

②BCED，

③CD，

④BE，

⑤12，从中任选一个作为已知条

件，其中能使

ABCAED≌△△

的条件有（）

A

．

2

个

B

．

3

个

C

．

4

个

D

．

5

个

二、填空题

13

．如图所示的是一张直角ABC纸片（90C），其中30BAC，如果用两

张完全相同的这种纸片恰好能拼成如图

2

所示的ABD△，若2BC，则ABD△的周长

为

______

．

14

．如图，在RtABC△中，90C，AD平分

BAC

交BC于点D．若3BC，且

:5:4BDDC，5AB，则ABD△的面积是

______

．

15

．如图，在

△ABC

中，

∠ACB

＝

120°

，

BC

＝

4

，

D

为

AB

的中点，

DC⊥BC

，则点

A

到直线

CD

的距离是

_____

．

16

．如图，在

△ABC

中，

∠ABC

的平分线与外角

∠ACE

的平分线交于点

D

，若

∠D

＝

20°

，则

∠A

＝

_____

．

17

．小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标

1

、

2

、

3

、

4

），你认为

将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第

____

块去，这

利用了三角形全等中的

____

原理．

18

．如图，在ABC中，AD平分

BAC

，P为线段AD上的一个动点，PEAD交直

线BC于点E．若35B，85ACB，则E的度数为

______

．

19

．如图，ABC中，

90,6,8ACBACcmBCcm

，点P从点A出发沿AC路

径向终点C运动

.

点

Q

从

B

点出发沿

BCA

路径向终点A运动．点P和

Q

分别以每秒

1cm和

3cm

的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时

刻，分别过P和

Q

作PEl于

,EQFl

于F．则点P运动时间为

_______________

时，

PEC与

QFC

全等．

20

．如图，在

△ABC

和

△DBC

中，

∠ACB=∠DBC=90°

，

E

是

BC

的中点，

DE⊥AB

，垂足为

F

，

AB=DE

．若

BD=8cm

，则

AC

的长为

_________

．

三、解答题

21

．已知：MON，点P是MON平分线上一点，点A在射线OM上，作

180APB，交直线

ON

于点B，作PCON于点C．

（

1

）观察猜想：如图

1

，当90MON时，PA和PB的数量关系是

______

．

（

2

）探究证明：如图

2

，当60MON时，（

1

）中的结论还成立吗

?

若成立，请写出

证明过程；若不成立，请直接写出PA，PB之间另外的数量关系．

（

3

）拓展延伸：如图

3

，当60MON，点B在射线

ON

的反向延长线上时，请直接

写出线段OC，OA及BC之间的数量关系：

______

．

22

．在学习了

“

等边对等角

”

定理后，某数学兴趣小组的同学继续探究了同一个三角形中边

与角的数量关系，得到了一个正确的结论：

“

在同一个三角形中，较长的边所对的角较

大

”

，简称：

“

在同一个三角形中，大边对大角

”

．即，如图：当

AB

＞

AC

时，

∠C

＞

∠B

．该

兴趣小组的同学在此基础上对等腰三角形

“

三线合一

”

性质的一般情况，继续进行了深入的

探究，请你补充完整：

（

1

）在

△ABC

中，

AD

是

BC

边上的高线．

①

如图

1

，若

AB=AC

，则

∠BAD=∠CAD

；

②

如图

2

，若

AB≠AC

，当

AB

＞

AC

时，

∠BAD∠CAD

．（填

“>”

，

“<”

，

“=”

）

证明：

∵AD

是

BC

边上的高线，

∴∠ADB=∠ADC=90°

．

∴∠BAD=90°-∠B

，

∠CAD=90°-∠C

．

∵AB

＞

AC

，

∴

（在同一个三角形中，大边对大角）．

∴∠BAD∠CAD

．

（

2

）在

△ABC

中，

AD

是

BC

边上的中线．

①

如图

1

，若

AB=AC

，则

∠BAD=∠CAD

；

②

如图

3

，若

AB≠AC

，当

AB

＞

AC

时，

∠BAD∠CAD

．（填

“>”

，

“<”

，

“=”

）

证明：

23

．如图，点

B

，

F

，

C

，

E

在一条直线上，

FB=CE

，

AB∥ED

，

AC∥FD

．

求证：

AB=DE

．

24

．如图，点

E

，

F

在

BC

上，AD，AFDE，AFCDEB．求证：

BECF．

25

．如图，在

△ABC

中，

AD

是

∠BAC

的角平分线，

DE⊥AB

，

DF⊥AC

，

D

是

BC

的中点，证

明：

∠B=∠C

．

26

．已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且

180AGEDHE

（

1

）如图

1

，求证：//ABCD；

（

2

）如图

2

，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：

MAGMCHM；

（

3

）如图

3

，在（

2

）的条件下，射线GH是BGM的平分线，在MH的延长线上取点

N，连接GN，若NAGM，

1

2

MNFGN

，求MHG的度数．

【参考答案】

***

试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1

．

D

解析：

D

【分析】

先根据全等三角形的对应角相等得出

∠B=∠D=28°

，再由三角形内角和为

180°

，求出

∠DAE=57°

，然后根据

∠BAD=∠DAE+∠EAB

即可得出

∠BAD

的度数．

【详解】

解：

∵△ABC≌△ADE

，

∴∠B=∠D=28°

，

又

∵∠D+∠E+∠DAE=180°

，

∠E=95°

，

∴∠DAE=180°-28°-95°=57°

，

∵∠EAB=20°

，

∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=77°

．

故选：

D

．

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，比较简单．由全等三角形的对应角相

等得出

∠B=∠D=28°

是解题的关键．

2

．

B

解析：

B

【分析】

根据EACBAF，EAFEACCAF，BACBAFCAF，经推到

得EAFBAC；再结合全等三角形判定的性质分析，即可得到答案．

【详解】

∵EACBAF，EAFEACCAF，BACBAFCAF

∴EAFBAC

EB，即

EB

EAFBAC

EABA

















∴

ABCAEF≌△△ASA

，故

②

符合题意；

AFAC，即

AFAC

EAFBAC

EABA

















∴

ABCAEF≌△△SAS

，故

③

符合题意；

①

和

④

不构成三角形全等的条件，故错误；

故选：

B

．

【点睛】

本题考查了全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，从而完成求

解．

3

．

B

解析：

B

【分析】

根据平方根、立方根、无理数的估算和三角形全等判定定理进行判断即可．

【详解】

解：

①0.09

的算术平方根是

0.3

，不是

0.03

，因此

①

不正确；

②1

的立方根是

1

，不是

±1

，因此

②

不正确；

③

因为

3.12＝

9.91

，

3.22＝

10.24

，而

9.91

＜

10

＜

10.24

，所以

3.1

＜10＜

3.2

，因此

③

正

确；

④

只有两边夹角对应相等的两个三角形全等，而两边及一角分别相等的两个三角形不一定

全等．因此

④

不正确；

所以正确的只有

③

，

故选：

B

．

【点睛】

本题考查平方根、立方根、无理数的估算以及三角形全等判定定理，掌握平方根、立方根

的意义、掌握无理数的估算方法和三角形全等的判断方法是正确判断的前提．

4

．

D

解析：

D

【分析】

求出

DE

的值，代入面积公式得出关于

AB

的方程，求出即可．

【详解】

解：

∵AD

平分

∠BAC

，

DE⊥AB

，

DF⊥AC

，

∴DE=DF=2

，

∵S△ABC

=S

△ABD

+S

△ACD，

∴12=

1

2

×AB×DE+

1

2

×AC×DF

，

∴24=AB×2+3×2

，

∴AB=9

，

故选：

D

．

【点睛】

本题考查了角平分线性质，三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离

相等．

5

．

A

解析：

A

【分析】

由条件可知

BO

、

CO

平分

∠ABC

和

∠ACB

，利用三角形内角和可求得

∠A

．

【详解】

解：

∵

点O到ABC三边的距离相等，

∴BO平分ABC，CO平分

ACB

，

∴180AABCACB

1802OBCOCB

1802180BOC

1802180110

40．

故选A．

【点睛】

本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关

键．

6

．

B

解析：

B

【分析】

根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点

P

到

OB

的距离为

5

，再根据垂线段最短解

答．

【详解】

∵

点

P

在

∠AOB

的平分线上，点

P

到

OA

边的距离等于

5

，

∴

点

P

到

OB

的距离为

5

，

∵

点

Q

是

OB

边上的任意一点，

∴PQ≥5

．

故选：

B

．

【点睛】

本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是

解题的关键．

7

．

D

解析：

D

【分析】

由于角平分线上的点到角的两边的距离相等，而已知一点到ABC的三条边距离相等，那

么这样的点在这个三角形的三条角平分线上，由此即可作出选择

.

【详解】

解

:∵

到ABC的三条边距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等，

∴

这点在这个三角形三条角平分线上，即这点是三条角平分线的交点，

故选：

D.

【点睛】

此题主要考查了三角形的角平分线的性质：三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的

距离相等

.

8

．

C

解析：

C

【分析】

先证明

()ABCCEDSSS

得到BE、FCDFDC，再根据

1802ACEABCx可得2CFEx；然后根据外角的性质可得

2EFCFDCFCDFDC即可解答．

【详解】

解：在ABC和CED中，

ACCD

ABCE

BCED

















，

()ABCCEDSSS

，

BE，FCDFDC

1802180ACEABCxECFE

，

2CFEx

，

2EFCFDCFCDFDC=

2x

，

FDCx

．

故答案为C．

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，弄清题意、理清角

之间的关系是解答本题的关键．

9

．

A

解析：

A

【分析】

直接利用全等三角形的判定方法进行判断即可；三角形全等的证明方法有：

SSS

、

SAS

、

AAS

、

ASA

；

【详解】

A∵∠A=∠C

，

∠AFD=∠CEB

，

∠B=∠D

，三个角相等，不能判定三角形全等，该选项不符

合题意；

B∵∠A=∠C

，

∠AFD=∠CEB

，

EB=DF

，符合

AAS

的判定，该选项符合题意；

C∵∠A=∠C

，

∠AFD=∠CEB

，

AD=BC

，符合

AAS

的判定，该选项符合题意；

D∵∠A=∠C

，

∠AFD=∠CEB

，

AE=CF

，

∴AF=CE

，符合

ASA

的判定，该选项符合题意；

故选：

A

．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定方法，正确掌握判定方法是解题的关键；

10

．

B

解析：

B

【分析】

根据题意可以得到

∠AOC=∠BOC

，

OC=OC

，然后即可判断各个选项中条件是否能判定

△AOC≌△BOC

，从而可以解答本题．

【详解】

解：由已知可得，

∠AOC=∠BOC

，

OC=OC

，

∴

若添加条件

OA=OB

，则

△AOC≌△BOC

（

SAS

），故选项

A

不符合题意；

若添加条件

AC=BC

，则无法判断

△AOC≌△BOC

，故选项

B

符合题意；

若添加条件

∠A=∠B

，则

△AOC≌△BOC

（

AAS

），故选项

C

不符合题意；

若添加条件

∠1=∠2

，则

∠ACO=∠BCO

，则

△AOC≌△BOC

（

ASA

），故选项

D

不符合题

意；

故选：

B

．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

11

．

D

解析：

D

【分析】

根据角平分线的性质、全等三角形的判定定理和性质定理判断即可．

【详解】

解：

∵∠AOC

＝

∠BOC

，

∴OC

是

∠AOB

的角平分线，

①

符合题意；

∵PD⊥OA

，

PE⊥OB

，

PD

＝

PE

，

∴OC

是

∠AOB

的角平分线，

②

符合题意；

在

Rt△POD

和

Rt△POE

中，

ODDE

OPOP











，

∴Rt△POD≌Rt△POE

，

∴∠AOC

＝

∠BOC

，

∴OC

是

∠AOB

的角平分线，

③

符合题意；

∵∠DPO=∠EPO

，

PD⊥OA

，

PE⊥OB

∴

在

△POD

和

△POE

中，

DPOEPO

PDOPEO

OPOP

















∠∠

∠∠

∴△POD≌△POE

（

AAS

），

∴∠AOC

＝

∠BOC

，

∴OC

是

∠AOB

的角平分线，

④

符合题意，

故选：

D

．

【点睛】

本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，掌握角的平分线上的点到角的

两边的距离相等是解题的关键；

12

．

B

解析：

B

【分析】

添加条件

①

可以用

“SAS”

证明，添加条件

③

可以用

“ASA”

证明，添加条件

④

可以用

“AAS”

证

明．

【详解】

解：

①

在ABC和AED中，

ACAD

CABDAE

ABAE

















，

∴ABCAEDSAS△△；

②

不可以；

③

在ABC和AED中，

CD

ACAD

CABDAE

















，

∴ABCAEDASA

；

④

在ABC和AED中，

BE

CABDAE

ACAD

















，

∴ABCAEDAAS

；

⑤

不可以；

故选：

B

．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的所有判定定理．

二、填空题

13

．

12

【分析】根据题意证明三角形全等即可得解；【详解】如图所示由题可

知

∴∴∴BCD

在一条直线上

∵∴△ABD

是等边三角形

∴△ABD

的周长；故答案

是

12

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质结合等边

解析：

12

【分析】

根据题意证明三角形全等即可得解；

【详解】

如图所示，

由题可知ABCADC△△，

∴30BACDAC，90ACBACD，2BCBD，

∴

60BAD

，180BCD，

∴B

，

C

，

D

在一条直线上，

∵60BD，

∴△ABD

是等边三角形，

∴△ABD

的周长3312BDBCCD

；

故答案是

12

．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合等边三角形的性质计算是解题的关键．

14

．【分析】过点

D

作

DE⊥AB

利用角平分线的性质可得

CD

＝

DE

再利用线段

的比求得线段

DC

的长度进而即可求解【详解】过点

D

作

DE⊥AB∵AD

平分

∠BACDE⊥ABDC⊥AC∴CD

＝

DE

又

∵

且

BD

：

DC

＝

5

解析：

10

3

【分析】

过点

D

作

DE⊥AB

，利用角平分线的性质可得

CD

＝

DE

，再利用线段的比求得线段

DC

的长

度，进而即可求解．

【详解】

过点

D

作

DE⊥AB

，

∵AD

平分

∠BAC

，

DE⊥AB

，

DC⊥AC

∴CD

＝

DE

又

∵3BC，且

BD

：

DC

＝

5

：

4

，

∴DE

＝

DC

＝

3÷

（

5

＋

4

）

×4

＝

4

3

．

∵5AB，

∴ABD△的面积

=

4

3

×5÷2=

10

3

故答案是：

10

3

【点睛】

本题考查了角平分线的性质，添加辅助线，是解题的关键．

15

．

4

【分析】根据垂直的定义得到

∠BCD=

延长

CD

到

H

使

DH=CD

由线段中点

的定义得到

AD=BD

根据全等三角形的性质得到

AH=BC=4

【详解】

∵DC⊥BC∴∠BCD=∵∠ACB=∴∠ACD=

如图延长

CD

解析：

4

【分析】

根据垂直的定义得到

∠BCD=90，延长

CD

到

H

使

DH=CD

，由线段中点的定义得到

AD=BD

，根据全等三角形的性质得到

AH=BC=4

．

【详解】

∵DC⊥BC

，

∴∠BCD=90，

∵∠ACB=120，

∴∠ACD=30，

如图，延长

CD

到

H

使

DH=CD

，

∵D

为

AB

的中点，

∴AD=BD

，

在

ΔADH

与

ΔBCD

中，

CDDH

ADHBDC

ADBD

















，

∴ΔADH≅ΔBCD(SAS)

，

∴AH=BC=4

，

∠AHD=∠BCD=90°

，

∴

点

A

到

CD

的距离为

4

，

故答案为：

4

．

【点睛】

本题考察全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．

16

．

40°

【分析】利用角平分线的性质可知

∠ABC

＝

2∠DBC∠ACE

＝

2∠DCE

再根

据三角形外角的性质可得出

∠D

＝

∠DCE

﹣

∠DBE∠A

＝

∠ACE

﹣

∠ABC

即得出

∠A

＝

2∠D

即得出答案【详解】

∵∠ABC

解析：

40°

【分析】

利用角平分线的性质可知

∠ABC

＝

2∠DBC

，

∠ACE

＝

2∠DCE

．再根据三角形外角的性质可

得出

∠D

＝

∠DCE

﹣

∠DBE

，

∠A

＝

∠ACE

﹣

∠ABC

．即得出

∠A

＝

2∠D

，即得出答案．

【详解】

∵∠ABC

的平分线交

∠ACE

的外角平分线

∠ACE

的平分线于点

D

，

∴∠ABC

＝

2∠DBC

，

∠ACE

＝

2∠DCE

，

∵∠DCE

是

△BCD

的外角，

∴∠D

＝

∠DCE

﹣

∠DBE

，

∵∠ACE

是

△ABC

的外角，

∠A

＝

∠ACE

﹣

∠ABC

＝

2∠DCE

﹣

2∠DBE

＝

2

（

∠DCE

﹣

∠DBE

），

∴∠A

＝

2∠D

＝

40°

．

故答案为：

40°

．

【点睛】

本题考查角平分线和三角形外角的性质，熟练利用角平分线和三角形外角的性质来判断题

中角之间的关系是解答本题的关键．

17

．

ASA

【分析】根据全等三角形的判断方法解答【详解】解：由图可知带第

4

块去符合角边角可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃故答案为：

4

；

ASA

【点睛】本题考查了全等三角形的应用是基础题熟记三角形全等的判

解析：

ASA

【分析】

根据全等三角形的判断方法解答．

【详解】

解：由图可知，带第

4

块去，符合

“

角边角

”

，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃．

故答案为：

4

；

ASA

【点睛】

本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键．

18

．

25°

【分析】利用三角形内角和定理得出

∠BAC

的度数进而得出

∠ADC

的度

数再利用三角形内角和定理和外角性质得出即可【详解】解：

∵∠B=35°∠ACB=85°∴∠BAC=60°∵AD

平分

∠BAC∴∠B

解析：

25°

【分析】

利用三角形内角和定理得出

∠BAC

的度数，进而得出

∠ADC

的度数，再利用三角形内角和

定理和外角性质得出即可．

【详解】

解：

∵∠B=35°

，

∠ACB=85°

，

∴∠BAC=60°

，

∵AD

平分

∠BAC

，

∴∠BAD=30°

，

∴∠ADC=35°+30°=65°

，

∵∠EPD=90°

，

∴∠E

的度数为：

90°-65°=25°

．

故答案为：

25°

．

【点睛】

此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质和三角形外角的性质，根据已知得

出

∠BAD

度数是解题关键．

19

．或【分析】对点

P

和点

Q

是否重合进行分类讨论通过证明全等即可得到结

果；【详解】如图

1

所示：与全等解得

:

；如图

2

所示：点与点重合与全等解

得

:

；故答案为

:

或【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质准确

解析：1或

7

2

【分析】

对点

P

和点

Q

是否重合进行分类讨论，通过证明全等即可得到结果；

【详解】

如图

1

所示：

PEC与

QFC

全等，

PCQC

，

683tt，

解得

:1t；

如图

2

所示：

点P与点

Q

重合，

PEC与

QFC

全等，

638tt，

解得

:

7

2

t

；

故答案为

:1或

7

2

．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．

20

．

4cm

【分析】由

DE⊥AB

可得

∠BFE=90°

由直角三角形两锐角互余可得

∠ABC+∠DEB=90°

由

∠ACB=90°

由直角三角形两锐角互余可得

∠ABC+∠A=90°

根

据同角的余角相等可得

∠A=∠DE

解析：

4cm

．

【分析】

由

DE⊥AB

，可得

∠BFE=90°

，由直角三角形两锐角互余，可得

∠ABC+∠DEB=90°

，由

∠ACB=90°

，由直角三角形两锐角互余，可得

∠ABC+∠A=90°

，根据同角的余角相等，可得

∠A=∠DEB

，然后根据

AAS

判断

△ABC≌△EDB

，根据全等三角形的对应边相等即可得到

BD=BC

，

AC=BE

，由

E

是

BC

的中点，得到

BE=

1

2

BC=

1

2

BD=4

．

【详解】

解：

∵DE⊥AB

，可得

∠BFE=90°

，

∴∠ABC+∠DEB=90°

，

∵∠ACB=90°

，

∴∠ABC+∠A=90°

，

∴∠A=∠DEB

，

在

△ABC

和

△EDB

中，

ACBDBC

ADEB

ABDE















＝

＝

＝

，

∴△ABC≌△EDB

（

AAS

），

∴BD=BC

，

AC=BE

，

∵E

是

BC

的中点，

BD=8cm

，

∴BE=

1

2

BC=

1

2

BD=4cm

，

∴AC=4cm

．

故答案为：

4cm

．

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定与性质，普通两个三角形全等共有四个定理，即

AAS

、

ASA

、

SAS

、

SSS

，直角三角形可用

HL

定理，但

AAA

、

SSA

，无法证明三角形全等，本题是一道较

为简单的题目，找准全等的三角形是解决本题的关键．

三、解答题

21

．（

1

）

PA=PB

；（

2

）成立证明见解析；（

3

）

OA=BC+OC

【分析】

（

1

）作

PD⊥OM

于点

D

，根据角平分线的性质得到

PC=PD

，证明

△APD≌△BPC

，根据全

等三角形的性质定理证明；

（

2

）作

PD⊥OM

于点

D

，根据角平分线的性质得到

PC=PD

，证明

△APD≌△BPC

，根据全

等三角形的性质定理证明；

（

3

）仿照（

2

）的解法得出

△APD≌△BPC

，从而得出

AD=BC

，再根据

HL

得出

Rt△OPD≌△RtOPC

，得出

OC=OD

，继而得出结论．

【详解】

（

1

）作

PD⊥OM

于点

D

，

∵

点

P

在

∠MON

的角平分线上，且

PC⊥ON

于

C

，

∴PC=PD

，

∵∠MON=90°

，

∴∠APB=90°

，

∠CPD=90°

，

∴∠APD+∠BPD=90°

，

∠BPC+∠BPD=90°

∴∠APD=∠BPC

，

∵∠PDA=∠PCB=90°

，

在

△APD

和

△BPC

中，

APDBPC

PDPC

ADPBCP

















∴△APD≌△BPC

（

ASA

），

∴AP=BP

．

（

2

）（

1

）中的结论还成立

理由如下：如图

2

，作

PD⊥OM

于点

D

，

∵

点

P

在

∠MON

的角平分线上，且

PC⊥ON

于

C

，

∴PC=PD

，

∵∠MON=60°

，

∴∠APB=120°

，

在四边形

OCPD

中，

∠CPD=360°-90°-90°-60°=120°

，

∴∠APD+∠BPD=120°

，

∠BPC+∠BPD=120°

∴∠APD=∠BPC

，

∵∠PDA=∠PCB=90°

，

在

△APD

和

△BPC

中，

APDBPC

PDPC

ADPBCP

















∴△APD≌△BPC

（

ASA

），

∴AP=BP

．

（

3

）

OA=2BC-OB

．

理由如下：如图

3

，作

PD⊥OM

于点

D

，

同（

2

），可证

△APD≌△BPC

，

∴AD=BC

，

点

P

在

∠MON

的角平分线上，且

PC⊥ON

于

C

，

∴PC=PD

，

在

Rt△OPD

和

RtOPC

中，

PCPD

OPOP











∴Rt△OPD≌△RtOPC

，

∴OC=OD

，

∴OA-AD=OD=OC

，

∴OA-BC=OC

，

∴OA=BC+OC

．

【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运

用类比思想是解题的关键．

22

．（

1

）

①

见解析，

②∠B<∠C

，

>

；（

2

）

①

见解析；

②

＜

【分析】

（

1

）

①

由

HL

证明

Rt△ABD≌Rt△ACD

可得结论；

②

由

AB

＞

AC

得

∠C

＞

∠B

即可得出结论；

（

2

）

①

由

SSS

证明

△ABD≌△ACD

可得结论；

②

作辅助线证明

△BDECDA，得BECA，

∠BEDCAD，证得

∠BADBED，即可得到结论．

【详解】

解：（

1

）

①

证明：

∵AD

是

BC

边上的高线

∴∠ADB=∠ADC=90°

，

在

Rt△ADB

和

Rt△ADC

中

ABAC

ADAD











∴Rt△ABD≌Rt△ACD

∴∠BAD=∠CAD

；

②

证明：

∵AD

是

BC

边上的高线，

∴∠ADB=∠ADC=90°

．

∴∠BAD=90°-∠B

，

∠CAD=90°-∠C

．

∵AB

＞

AC

，

∴∠B<∠C

（在同一个三角形中，大边对大角）．

∴∠BAD>∠CAD

．

故答案为：

∠B<∠C

，

>

；

（

2

）

①

证明：

∵AD

是

BC

边上的中线

∴BD=CD

在

△ABD

和

△ACD

中

ABAC

ADAD

BDCD

















∴△ABD≌△ACD

∴∠BAD=∠CAD

②

如图，延长

AD

至点

E

，使

AD=ED

，连接

BE

，

∵AD

是

△ABC

的

BC

边上的中线，

∴BDCD

在

△BDE

和

△CDA

中，

BDCD

BDECDA

EDAD

















∴△BDECDA

∴BECA，

∠BEDCAD，

又ABAC，

则ABBE

∴∠BADBED

∴∠BADCAD．

故答案为：＜．

【点睛】

此题主要考查了全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关

键．

23

．见详解

【分析】

先根据条件求出

BC=EF

，根据平行线性质求出

∠B=∠E

，

∠ACB=∠DFE

，根据

ASA

推出

△ABC≌△DEF

即可．

【详解】

∵FB

＝

CE

，

∴FB+FC=FC+CE

，

即

BC=FE

，

又

∵AB∥ED

，

AC∥FD

，

∴∠B=∠E

，

∠ACB=∠DFE

，

在

△ABC

和

△DEF

中，

BE

BCFE

ACBDFE

















，

∴△ABC≌△DEF

（

ASA

）

∴AB=DE

．

【点睛】

本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理论证能

力．

24

．见详解

【分析】

先证明

∠AFB=∠DEC

，再根据

ASA

证明

∆AFB≅∆DEC

，进而即可得到结论．

【详解】

∵AFCDEB，

∴∠AFB=∠DEC

，

又

∵AD，AFDE，

∴∆AFB≅∆DEC

（

ASA

），

∴BF=CE

，

∴BF-EF=CE-EF

，

∴BECF．

【点睛】

本题主要考查三角形全等的判定和性质定理，熟练掌握

ASA

证明三角形全等，是解题的关

键．

25

．见解析

【分析】

通过角平分线上点的性质、

D

为

BC

中点、

DE⊥AB

、

DF⊥AC

证明出BDECDF≌，从而

证明

∠B=∠C

．

【详解】

∵AD

是

AD

是

∠BAC

的角平分线，

DE⊥AB

，

DF⊥AC

，

∴DE=DF

，

∵D

是

BC

的中点，

∴BD=CD

∵△BDE

与

△CDF

是直角三角形

∴BDECDF≌

∴∠B=∠C

．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质以及角平分线上点的性质，正确证明全等三角形并得

出各角之间的关系是本题的关键．

26

．（

1

）见解析；（

2

）见解析；（

3

）

60°

【分析】

（

1

）推出同旁内角互补即可

（

2

）如图，过点M作

//MRAB

，利用平行线性质推出////ABCDMR．得

GMRAGM，HMRCHM．利用角的和MGMRHMR代换即

可．

（

3

）如图，令2AGM，

CHM

，由NAGM推得2N，

2M

，由射线GH是BGM的平分线，推得

1

90

2

FGMBGM，

则90AGHAGMFGM，由

1

2

MNFGN

，求出

2FGN

，过点N作//HTGN，由平行线的性质

22GHMMHTGHT

，求出

CHG

23

，利用//ABCD的性质180AGHCHG，即

9023180

，求出

30

，再求260MHG

即可．

【详解】

（

1

）证明：如图，

∵180AGEDHE，AGEBGF．

∴180BGFDHE，

∴//ABCD．

（

2

）证明：如图，过点M作

//MRAB

，

又

∵//ABCD，

∴////ABCDMR．

∴GMRAGM，HMRCHM．

∴MGMRHMRAGMCHM；

（

3

）解：如图，令2AGM，

CHM

，

∵NAGM

则2N，

2M

，

∵

射线GH是BGM的平分线，

∴11

18090

22

FGMBGMAGM

，

∴29090AGHAGMFGM，

∵

1

2

MNFGN

，

∴

1

22

2

FGN

，

∴

2FGN

，

过点N作//HTGN，则2MHTN，

2GHTFGN

，

∴

22GHMMHTGHT

，

∴CHGCHMMHTGHT2223

，

∵//ABCD，

∴180AGHCHG，

∴

9023180

，

∴

30

，

∴260MHG

．

【点睛】

本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，解决问题的关键是作平行线构造内错角，

和同位角，利用两直线平行，内错角相等，同位角相等来计算是解题关键．