三角函数的关系

三角函数的关系

契税暂行条例-档案室管理

2023年2月22日发(作者：直除法)

1

同角的三角函数的基本关系

[基础知识归纳]

1．同角三角函数的基本关系式包括：

平方关系式：sin2α＋cos2α＝1；

商数关系式：tanα＝

sinα

cosα

.

2．商数关系tanα＝

sinα

cosα

成立的角α的范围是{α|α≠kπ＋

π

2

，k∈Z}．

知识要点一：公式的推导

（1）．设P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点，由三角函数的定义：x＝cosα，y＝sinα，

y

x

＝tanα，

及单位圆上的点到原点的距离为1，可知x2＋y2＝1，即cos2α＋sin2α＝1，且

y

x

＝

sinα

cosα

＝tanα.

（2）．由任意角的三角函数的定义也可求得．

设P(x，y)为角α终边上的任一点，|OP|＝r.

则sinα＝

y

r

，cosα＝

x

r

，tanα＝

y

x

.

易知sin2α＋cos2α＝

x2＋y2

r2＝1，tanα＝

y

x

＝

sinα

cosα

.

知识要点二：公式应用时注意的问题

（1）．公式成立的条件

sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R均成立，tanα＝

sinα

cosα

仅在α≠kπ＋

π

2

(k∈Z)时成立．

（2）．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同

角”二字上，如sin22α＋cos22α＝1，

sin8α

cos8α

＝tan8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．

（3）．使用平方关系sinα＝±1－cos2α，

cosα＝±1－sin2α，“±”由角α所在象限来确定．

（4）．对于同角三角函数的基本关系式应注意变用及逆用．

如：sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α，sinα＝tanα·cosα，cosα＝

sinα

tanα

，

sinα

cosα

＝tanα

等．

[例题与练习]

【例1】已知cosα＝－

3

5

，求sinα，tanα的值．

答案：当α为第二象限角时，sinα＝

4

5

，tanα＝－

4

3

.当α为第三象限角时，sinα＝－

4

5

，tanα＝

4

3

.

2

【例2】已知tanα＝3，求下列各式的值．

(1)

3cosα－sinα

3cosα＋sinα

；答案：(1)

3－3

3＋3

(2)2sin2α－3sinαcosα.答案：(2)

9

10

.

【例3】已知0<α<π，sinα＋cosα＝

1

5

，求tanα的值．答案：－

4

3

.

变式训练31：已知－

π

2

1

5

.求sinx－cosx的值．答案：－

7

5

.

3

【例4】化简：

1

cosα1＋tan2α

＋

1＋sinα

1－sinα

－

1－sinα

1＋sinα

.

答案：









1＋2tanαα为第一或第四象限角，

－1－2tanαα为第二或第三象限角.

变式训练41：若tanθ＝2，则

sinθ

1＋sinθ

－

sinθ

1－sinθ

的值为________．答案：－4.

【例5】求证：

cosα

1＋sinα

－

sinα

1＋cosα

＝

2cosα－sinα

1＋sinα＋cosα

.

4

变式训练51：证明：

1－2sinθcosθ

cos2θ－sin2θ

＝

cos2θ－sin2θ

1＋2sinθcosθ

.

【例6】若sinA＝

4

5

，且A是三角形的一个内角，求

5sinA＋8

15cosA－7

的值．答案：6或－

3

4

.

变式训练61：已知在△ABC中，sinA＋cosA＝

1

5

.

(1)求sinAcosA；(2)判断△ABC是锐角三角形，还是钝角三角形？

答案：(1)－

12

25

.(2)钝角三角形．