极限四则运算

极限四则运算

监理实习周记-cgf生长因子

2023年2月22日发(作者：关弘波)

分类讨论求极限

例已知数列

n

a、

n

b都是由正数组成的等比数列，公比分别为qp,，其中qp，

且1p，1q，设

nnn

bac，

n

S为数列

n

C的前n项和，求

1

lim



n

n

nS

S

.

（1997年全国高考试题，理科难度0.33）

解：



1

1

1

1

11













q

qb

p

pa

S

nn

n



1111

1111

1

1

1

1

11

1











nn

nn

n

n

qpbpqa

qpbpqa

S

S

.

分两种情况讨论；

（1）当1p时，∵0qp，故10

p

q

，

∴

1

lim





n

n

nS

S









































































































































11

1

1

1

1

1

11

1

1

1

11

1

1

1

11

lim

nn

n

n

n

nn

n

n

n

pp

q

pb

p

qap

pp

q

pb

p

qap



01011

01011

11

11







pbqa

pbqa

p





p

qa

qa

p







1

1

1

1

（2）当1p时，∵10pq，

∴

1

lim





n

n

nS

S



1111

1111

lim

1

1

1

1

11











nn

nn

nqpbpqa

qpbpqa



101101

101101

11

11







pbqa

pbqa





1

11

11

11

11







pbqa

pbqa

.

说明：该题综合考查了数列的基础知识、恒等变形的能力，分类讨论的数学思想方法和

求极限的方法．

自变量趋向无穷时函数的极限

例求下列极限：

（1）

42

24

21

15

lim

xx

xx

x





（2）





















1212

lim

2

2

3

x

x

x

x

x

分析：第（1）题中，当

x

时，分子、分母都趋于无穷大，属于“





”型，变形

的一般方法是分子、分母同除以x的最高次幂，再应用极限的运算法则．

第（2）题中，当

x

时，分式

122

3

x

x

与

12

2

x

x

都趋向于∞，这种形式叫“∞－∞”

型，变形的一般方法是先通分，变成“





”型或“

0

0

”型，再求极限．

解：（1）

2

11

15

1

lim

21

15

lim

24

42

42

24













xx

xx

xx

xx

xx

.

2

1

200

001

2lim

1

lim

1

lim

1

lim

5

lim1lim

24

42



















xxx

xxx

xx

xx

（2）

)12)(12(

)12()12(

lim

1212

lim

2

2232

2

3



























xx

xxxx

x

x

x

x

xx

)

1

2)(

1

2(

1

1

lim

)12)(12(

lim

2

2

23

xx

x

xx

xx

xx













4

1

)02)(02(

01

)

1

2(lim)

1

2(lim

)

1

1(lim

2



















xx

x

xx

x

说明：“





”型的式子求极限类似于数列极限的求法．

无穷减无穷型极限求解

例求极限：

（1）

)11(lim22xxxx

x





（2）

)11(lim22xxxx

x





分析：含根式的函数求极限，一般要先进行变形，进行分子、分母有理化，再求极限．

解：（1）原式

2211

2

lim

xxxx

x

x





22

2

11

2

lim

xxxx

x

x







.1

1

11

1

11

2

lim

22











x

x

x

x

x

（2）原式

2211

2

lim

xxxx

x

x





.1

1

11

1

11

2

lim

22









x

x

x

x

x

说明：当0x时，2xx，因此

2

1

11

1

11

2

11

2

22

22









x

x

x

x

xxxx

x

．

利用运算法则求极限

例计算下列极限：

（1）

























1

23

1

7

1

4

1

1

lim

2222n

n

nnnn

；

（2）

















n

n

n3

1

1

27

1

9

1

3

1

lim1.

（1992年全国高考试题，文科难度0.63）

解：（1）原式



1

13

2

1

lim

2





n

nn

n

2

3

2

2

1

3

lim

12

3

lim

2

2

2

















n

n

n

nn

nn

.

（2）原式

















































3

1

1

3

1

1

3

1

lim

n

n



4

1

01

4

1

3

1

1

4

1

lim

































n

n

.

说明：该题计算时，要先求和，再求所得代数式的极限，不能将只适用有限个数列的加、

减、乘、除的数列极限的四则运算法则，照搬到无限个数列的加、减、乘、除，超出了法则

的适用范围，下面的计算是错误的：

（1）原式

1

23

lim

1

4

lim

1

1

lim

222













n

n

nnnnn



（2）原式



4

1

3

1

1

3

1

0

27

1

9

1

3

1

3

1

1lim

27

1

lim

9

1

lim

3

1

lim1





















n

n

nnnn

用二项式定理展开或逆用等比数列和公式化简求极限

例设*Np，求

n

n

p

n1

1

1

1

lim

1





















．

分析：把

11

1

















p

n

用二项式定理展开或逆用等比数列和公式即可求得．

解：11

1

22

1

1

1

1

)

1

()

1

(

1

1

1

1



















pp

ppp

p

n

C

n

C

n

C

n



pp

pppp

p

n

CC

n

C

n

C

n

n

)

1

()

1

(

1

1

1

1

1

1

1

3

1

22

1

1

1

1



























1

1

1

1

1

lim1

1

1



























pC

n

n

p

p

n

或：逆用等比数列求和公式：

原式





























































p

nnnn

1

1

1

1

1

11lim

2



1111

1





p

p





个

说明：要注意p是与n无关的正整数，

11

1

















p

n

不是无限项，对某些分式求极限应先

对式子进行必要的变形，使之成为便于求极限的形式，以利问题的解决，经常用到的技巧是

分母、分子有理化或按二项式定理展开等等．

零乘无穷型转化为无穷除无穷型

例求.)1(limnnn

n





分析：当

n

时，所求极限相当于0型，需要设法化为我们熟悉的





型．

解：nnn

n

)1(lim



.

2

1

1

1

1

1

lim

1

lim

)1(

)1)(1(

lim























n

nn

n

nn

nnnnn

n

n

n

说明：对于这种含有根号的0型的极限，可采取分子有理化或分母有理化来实现．如

本题是通过分子有理化，从而化为

nn

n

1

，即为





型，也可以将分子、分母同除以n

的最高次幂即

n

，完成极限的计算．

根据极限确定字母的范围

例已知

16

1

)2(4

4

lim

2







nn

n

nm

，求实数m的取值范围．

分析：这是一个已知极限的值求参数的范围问题，我们仍然从求极限入手来解决．

解：

16

1

4

2

16

1

lim

)2(4

4

lim

2



























n

n

nn

n

nm

m

于是1

4

2



m

，即26,424mm．

说明：在解题过程中，运用了逆向思维，由

16

1

4

2

16

1

lim



















n

nm

可知，

nm















4

2

的

极限必为0，而0nq的充要条件是1q，于是解不等式1

4

2



m

．

零比零型的极限

例求

x

x

x

11

lim

10

0





．

分析：这是一个

0

0

型的极限，显然当0x时，直接从函数

x

x1110

分子、分母中

约去x有困难，但是

1110x

当0x时也趋近于0，此时x化为1)1(10

10x，这就启

发我们通过换元来解决这一难题，即设101xy，则110yx．

解：设101xy，则110yx，于是，当0x时，1y．

原式

10

1

1

1

lim

1

1

lim

89

1

10

1













yyyy

y

yy

说明：本题采用的换元法是把0x化为01y，这是一种变量代换．灵活地运用

这种代换，可以解决一些

0

0

型的极限问题．

例如对于

1

1

lim

2

1



x

x

x

，我们一般采用因式分解，然后约去1x，得到2)1(lim

1





x

x

．其

实也可以采用这种代换，即设1xt，则当1x时，0t，这样就有

.2)2(lim

1)1(

lim

1

1

lim

0

2

0

2

1













t

t

t

x

x

ttx

组合与极限的综合题

例)(lim

1

22

2







n

n

n

n

nC

C

A．0B．2C．

2

1

D．

4

1

分析：将组合项展开后化简再求极限．

解：

1

22

2lim







n

n

n

n

nC

C

.

4

1

264

12

lim

)22)(12(

)1(

lim

)!22(

)!1()!1(

!!

)!2(

lim

2

2

2







































nn

nn

nn

n

n

nn

nn

n

n

n

n

故应选D．

说明：本题考查组合的运算和数列极限的概念．

高考填空题

1．计算.________)

2

(lim



n

nn

n

2．若数列

n

a的通项公式是)N(

)1(

1

*



n

nn

a

n

，则.________)(lim2

1





n

n

ana

3．计算：.________)

1

3

(lim







n

nn

n

1．解析2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

1lim

2

lim





























































































e

nnn

n

n

n

n

n

n

n

n

说明：利用数列极限公式e

n

n

n



















1

1lim，把原题的代数式稍加变形即可获解．本题

主要考查灵活运用数列极限公式的能力．

2．解析.

2

1

,

)1(

1

1





a

nn

a

n



.

2

3

1

2

1

)

1

1

1

2

1

(lim

)1(

1

2

1

lim2



























n

nn

n

n

n

说明：本题的思考障碍点是如何求

1

a——只要懂得在通项公式中令1n，可立得

1

a

的具体值，本题考查数列极限的基本知识．

3．解析n

nn

n

)

1

3

(lim







2

1

2

2

1

)

1

2

1(lime

n

n

n

n

n

























说明：本题考查数列极限公式的应用．

根据已知极限和四则运算求其它极限

例若12lim



n

n

na，且

n

n

a



lim存在，则.________)1(lim



n

n

an

A．0B．

2

1

C．

2

1

D．不存在

分析：根据题设知

n

na和

n

a均存在极限，这是进行极限运算的前提，然后相减即可求

得结论．

解：,lim,12lim存在

n

n

n

n

nana





0lim0

2

1

lim

2lim

lim









n

nn

n

n

n

na

nna

a

又

2

1

lim,12lim



n

n

n

n

nana

∴

2

1

2

1

0limlim)(lim)1(lim



n

n

n

n

nn

n

n

n

naanaaan

即.

2

1

)1(lim



n

n

an

选C．

说明：

n

n

a



lim是关键，不能错误地认为0lim



n

n

a，0)1(lim



n

n

an．

两个数列

n

a、

n

b的极限存在是两个数列的和．差、积存在极限的充分条件．但













n

n

b

a

的极限不一定存在．

化简表达式再求数列的极限

例求下列极限

（1）

























1

12

1

7

1

5

1

3

lim

2222n

n

nnnn



（2）

n

n

n

2

1

4

1

2

1

1

3

1

9

1

3

1

1

lim









（3）







































































2

1

1

5

1

1

4

1

1

3

1

1lim

n

n

n



分析：先运用等差数列、等比数列的前n项公式求和，或运用其他方式化简所给表达

式，再进行极限的四则运算．

解：（1）原式

1

)12(753

lim

2





n

n

n



1

1

1

2

1

lim

1

)2(

lim

2

2

















n

n

n

nn

nn

（2）原式

n

n

n

n

n

n































































































2

1

1

3

1

1

lim

3

4

2

1

12

3

1

1

2

3

lim

4

3

01

01

3

4

2

1

lim1lim

3

1

lim1lim

3

4











































n

nn

n

nn

（3）原式.2

2

2

lim

2

1

5

4

4

3

3

2

lim























n

n

n

n

n

nn



说明：先化简，再求极限是求极限经常用到的方法，不能认为

0

1

12

lim,,0

1

5

lim,0

1

3

lim

222





































n

n

nnnnn

而得到（1）的结果是0．

无穷比无穷和字母讨论的数列极限

例求下列极限：

（1）

nn

nn

n3423

352

lim

11







（2）)0(

1

1

lim







a

a

a

n

n

n

分析：第（1）题属“





”型，一般方法是分子，分母同除以各式中幂的值最大的式子．第

（2）题中当a的值在不同范围内变化时，分子，分母的极限或变化趋势）不同，因此要分

各种情形进行讨论．

解：（1）原式

4

3

2

3

15

3

2

2

lim

3423

31522

lim











































n

n

n

nn

nn

n

.

4

15

403

1502

4lim

3

2

lim3

15lim

3

2

lim2











































n

n

n

n

n

n

（2）当10a时，0

11

11

lim

1

1

lim











n

n

n

na

a

，

当1a时，.1

10

10

1lim

1

lim

1lim

1

lim

1

1

1

1

lim

1

1

lim













































































n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

说明：含参数的式子求极限，经常要进行讨论，容易出现的问题是错误地认为

0lim



n

n

a．

根据极限确定等比数列首项的取值范围

例已知等比数列

n

a的首项为

1

a，公比为q，且有

2

1

1

lim1





















n

n

q

q

a

，求

1

a的取

值范围．

分析：由已知条件及所给式子的极限存在，可知n

n

q



lim存在，因此可得q的取值范围，

从而确定出

1

a的取值范围．

解：由

2

1

1

lim1





















n

n

q

q

a

，得n

n

q



lim存在．

∴1q且0q或1q．．

当1q时，有

2

1

1

1

q

a

，

∴12

1

aq，

∴112a解得10

1

a，

又0q，因此

2

1

1

a．

当1q时，这时有

2

1

1

2

lim1

















a

n

，∴3

1

a．

综上可得：10

1

a，且

2

1

1

a或3

1

a．

说明：在解决与数列有关的问题时，应充分注意相关知识的性质，仅从极限的角度出

发来考虑q的特点，容易将0q这一条件忽视，从而导致错误．

求函数在某一点处的极限

例求下列极限：

（1）

























2

2

4

23

lim

3

3

2

2x

x

x

x

x

（2）

4013

35172

lim

2

2

5



xx

xx

x

（3）

x

x

x

3

2

0cos1

sin

lim



（4）















9

6

3

1

lim

2

3xxx

分析：第（1）题中，2x在函数的定义域内，可直接用极限的四则运算法则求极限；

（2）、（3）两个极限分子、分母都趋近于0，属“

0

0

”型，必须先对函数变形，然后施行四

则运算；（4）为“”型，也应先对函数作适当的变形，再进行极限的运算．

解：（1）

2

2

lim

4

23

lim

2

2

4

23

lim

3

3

2

2

2

3

3

2

2

































x

x

x

x

x

x

x

x

xxx

)2(lim

2lim

)4(lim

)23(lim

3

2

3

2

2

2

2



















x

x

x

x

x

x

x

x

2limlim

lim2

4limlim

2limlim3

2

3

2

3

2

2

3

2

22



















xx

x

xx

xx

x

x

x

x

.5

13

5

8

1

22

22

42

223

3

2

2















（2）

.1

8)5(

7)5(2

8

72

lim

)8)(5(

)72)(5(

lim

4013

35172

lim

55

2

2

5

























x

x

xx

xx

xx

xx

xxx

（3）

xxxxx

x

x

x

xxx

2

0

2

2

0

3

2

0coscos1

cos1

lim

)coscos1)(cos1(

cos1

lim

cos1

sin

lim















.

3

2

111

11









（4）.

6

1

33

1

3

1

lim

9

6)3(

lim

9

6

3

1

lim

3

2

3

2

3

































xx

x

xxxxx

说明：不能错误地认为，由于

3

1

lim

3xx

不存在，

9

6

lim

2

3xx

也不存在，因此（4）式的

极限不存在．（4）属于“”型，一般要先对函数式进行变形，变为“

0

0

”型或“





”

型，再求极限．

函数在某一点处零比零型的极限

例求下列极限：

（1）

3

11

1

lim

x

x

x





（2）

x

xx

x

3

2sin

sintan

lim





分析：第（1）题中，当1x时，分子、分母的极限都是0，不能用商的极限的运算

法则，应该先对分式变形，约去一个极限为零的因式后再应用极限的运算法则求分式的极限，

常用的变换方法有：

①对多项式进行因式分解；②对无理式分子或分母有理化；③对三角函数式（如第（2）

题，先进行三角恒等变换，再约分．

解：

（1）原式

)1)(1)((1(

)1)(1)(1(

lim

3

2

33

3

2

3

1xxxx

xxxx

x







.

2

3

11

111

1

)1(

lim

)1)(1(

)1)(1(

lim

3

2

3

1

3

2

3

1

























x

xx

xx

xxx

x

x

（2）原式

xx

xx

x

x

x

x

xxcossin

cossinsin

lim

sin

sin

cos

sin

lim

3

2

3

2











.

2

1

1)11(

1

cos)cos1(

1

lim

cossin

cos1

lim

2

2

2

















xxxxx

说明：如果分子、分母同乘以31x，对（1）式进行变形，思维就会受阻，正确的方

法是分子、分母同乘以分子、分母的有理化因式，分母的有理化因式是)1(3

2

3xx．