an的通项公式
各个朝代的汉服-成绩分析ppt
2023年2月22日发(作者：02j401钢梯图集)求通项公式的常用方法
一、定义法：
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应
于已知数列类型的题目．
例1．等差数列
n
a是递增数列，前n项和为
n
S，且
931
,,aaa成等比数列，
2
55
aS．求数列
n
a的通项公式.
二、公式法：递推公式为
n
S与
n
a的关系式。(或()
nn
Sfa)
解法：利用
)2(
)1(
1
1
nSS
nS
a
nn
n
与)()(
11
nnnnn
afafSSa消去
n
S
)2(n
或与)(
1
nnn
SSfS)2(n
消去
n
a进行求解。
例题：已知无穷数列
n
a的前n项和为
n
S，并且*1()
nn
aSnN，求
n
a的
通项公式？
跟踪训练1、已知数列
n
a的前n项和
n
S，满足关系1lgn
Sn(1,2)n
.试证
数列
n
a是等比数列.
三、待定系数法：（换元法）
○
1
类型一：qpaa
nn
1
（其中p，q均为常数，
)0)1((ppq
）。解法（待
定系数法）：把原递推公式转化为：)(
1
tapta
nn
，其中
p
q
t
1
，再利用
换元法转化为等比数列{a
n
-t}的形式求解求解。
例题：1、已知数列
n
a中，
1
1a，
1
21(2)
nn
aan
，求数列
n
a的通
项公式.
2、数列{a
n
}满足a
1
=1，a
n
=
2
1
a
1n
+1（n≥2），求数列{a
n
}的通项公式
3、数列{a
n
}满足a
1
=1，073
1
nn
aa,求数列{a
n
}的通项公式。
4、已知数列
n
a满足1
1
a，且
1
32
nn
aa
，求
n
a．
5、已知数列}{
n
a满足：
,4,N,2
3
1
11
anaa
nn
求.
n
a
○
2
类型二、n
nn
qpaa
1
（其中p，q均为常数，
)0)1)(1((qppq
）。（或
1
n
nn
aparq
,其中p，q,r均为常数）。解法：一般地，要先在原递推公式
两边同除以1nq，得：
q
q
a
q
p
q
a
n
n
n
n
1
1
1•
引入辅助数列
n
b（其中
n
n
nq
a
b），得：
q
b
q
p
b
nn
1
1
再待定系数法解决。
例题：已知数列
n
a中，
6
5
1
a
,1
1
)
2
1
(
3
1
n
nn
aa
，求
n
a。
跟踪训练：1、设数列
n
a的前n项的和1
412
2
333
n
nn
Sa
，1,2,3,nggg
求首项
1
a与通项
n
a；
2、已知数列
n
a满足1
1
a，
1
23
n
n
n
aa)2(n，
求
n
a
○
3
类型三、递推公式为
nnn
qapaa
12
（其中p，q均为常数）。
递推公式为
nnn
qapaa
12
（其中p，q均为常数）。解法：先把原递推公式转
化为)(
112nnnn
saatsaa
其中s，t满足
qst
pts
，再应用再利用等比数列
}s{
1
nn
aa求解。
例题：已知数列
n
a中，1
1
a,2
2
a,
nnn
aaa
3
1
3
2
12
，求
n
a。
跟踪训练:1、已知数列
n
a中，1
1
a,2
2
a,
nnn
aaa
3
1
3
2
12
，求
n
a。
2、数列
n
a：),0(0253
12
Nnnaaa
nnn
，baaa
21
,,求
n
a
3、已知数列
n
a满足*
1221
1,3,32().
nnn
aaaaanN
（I）证明：数列
1nn
aa
是等比数列；（II）求数列
n
a的通项公式；
4、数列
n
a满足23,5,2
1221
nn
aaaa
n
a=0，求数列{a
n
}的通项公式
○
3
类型四递推公式为
n
S与
n
a的关系式。(或()
nn
Sfa)与其它类型综合
解法：利用
)2(
)1(
1
1
nSS
nS
a
nn
n
与)()(
11
nnnnn
afafSSa消去
n
S
)2(n
或与)(
1
nnn
SSfS)2(n
消去
n
a进行求解。
例题：数列
n
a前n项和
22
1
4
n
nn
aS.（1）求
1n
a与
n
a的关系；（2）求
通项公式
n
a.
跟踪训练：1、已知数列
n
a的前n项和
n
S满足1,)1(2naSn
nn
．求数列
n
a
的通项公式。
2、数列
n
a中前n项的和
nn
anS2，求数列的通项公式
n
a.
四、累加法：利用
1211
()()
nnn
aaaaaa
求通项公式的方法称为累加法。
累加法是求型如
1
()
nn
aafn
的递推数列通项公式的基本方法（
()fn
可求前n
项和）.
例题：已知无穷数
n
b满足
1
1b，
1
1
2
n
nn
bb
(1)n
，求数列
n
b的通
项公式.
跟踪训练：1、已知数列
n
a满足
2
1
1
a
，
nn
aa
nn
2
1
1
，求
n
a。
2、已知数列
n
a中,
1221
1,(1),k
kk
aa
且a
212
3k
kk
aa
,其中
1,2,3,k
……，
求数列
n
a的通项公式。
五、累乘法:利用恒等式3
2
1
121
(0,2)n
nn
n
aa
a
aaan
aaa
求通项公式的方法称为
累乘法,累乘法是求型如:
1
()
nn
agna
的递推数列通项公式的基本方法(数列
()gn可求前n项积).
例题：已知
1
1a,
1
()
nnn
anaa
*()nN,求数列
n
a通项公式.
跟踪训练：1、已知数列
n
a满足
3
2
1
a，
nn
a
n
n
a
11
，求
n
a。
2、已知3
1
a，
nn
a
n
n
a
23
13
1
)1(n
，求
n
a
3、已知数列{a
n
}，满足a
1
=1，
1321
)1(32
nn
anaaaa(n≥2)，则{an
}
的通项
1
___n
a
1
2
n
n
六：双数列型
解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求
解。
例题：已知数列
n
a中，1
1
a；数列
n
b中，0
1
b。当
2n
时，
)2(
3
1
11
nnn
baa
,
)2(
3
1
11
nnn
bab
，求
n
a,
n
b.
跟踪训练：1、设各项均为正数的数列
n
a的前n项和为
n
S，对于任意正整数n，
都有等式：
nnn
Saa422成立，求
n
a的通项an.
2、设
n
a是首项为1的正项数列，且0
1
2
1
2
nnnn
nanaaa，（n∈N*），
求数列的通项公式an.
3、数列
n
a中，
2
1
1
a
，前n项的和
nn
anS2，求
1n
a.
4、设正项数列
n
a满足1
1
a，2
1
2
nn
aa（n≥2）.求数列
n
a的通项公式.
数列的前n项求和
一、公式法
直接利用公式求和是数列求和的最基本的方法．常用的数列求和公式有：
（1）等差数列求和公式:1
1
()
(1)
22
n
n
naa
nn
snad
（2）等比数列求和公式:
1
1
1
,(1)
(1)
(1)
11
n
n
n
naq
s
aaq
aq
q
例1、求和。
（1）
100321
,21aaaana
n
求
（2）
20543
4,2aaaaan
n
求
二、拆项（分组求和法）
若数列
n
c的通项公式为
nnn
cab，其中
n
a、
n
b中一个是等差数列，
另一个是等比数列，求和时一般利用分组求和法
)()(
)()()()(
321321
332211
321
nn
nn
nn
bbbbaaaa
babababa
ccccS
例1,求
1111
123()
2482n
nL
的值.
例2．求和：.
2
12
8
7
4
3
2
1
n
n
例3.已知数列9，99，999，……，求数列前n项和S
n.
跟踪训练：求和。
（1）
n
n
n
aaaana
321
,
2
1
2求
（2）
n
n
n
aaaaa
321
),110(
3
1
求
三、裂项（裂项相消法）
例题：求
1111
122334(1)nn
L的值.
跟踪训练：1、求
1111
(1)n
L
L
的值.
2、求和.
)12)(12(
1
75
1
53
1
31
1
nn
S
n
四、错位相减法
若数列
n
c的通项公式
nnn
cab，其中
n
a、
n
b中一个是等差数列，一个
是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的
公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。这种
方法叫错位相减法。
nn
ccccS
321
0
332211
nn
babababa①
n
qS
113221
0
nnnn
babababa②
①-②得：
143211
)()1(
nnnn
babbbbdbaSq
1
1
1111
)1(
nn
n
ba
q
qa
ddbba
=……
例1.求和.223222132n
n
nS
例2.求数列.
2
12
n
n
Sn
n
项和的前
跟踪训练：求和。
（1）
n
n
n
aaaana
321
,2)34(求
（2）
n
n
n
aaaana
321
,
2
1
2求
五、特殊法
例1,
111
21321nn
L的值.
六、应用
已知数列
n
a的前n项和
2*10()
n
snnnN,
123
||||||||,
nnn
TaaaaTL求