拉普拉斯展开定理
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2023年2月22日发(作者：丑末寅初)拉普拉斯（Laplace）定理的新证明
殷红彩
【摘要】利用排列和行列式的定义给出了行列式拉普拉斯展开定理一种简单证明，
并得到了排列的两个性质．
【期刊名称】《赤峰学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2012(000)009
【总页数】2页(P6-7)
【关键词】排列;行列式;拉普拉斯定理
【作者】殷红彩
【作者单位】安徽财经大学管理科学与工程学院,安徽蚌埠233000
【正文语种】中文
【中图分类】O151.22
拉普拉斯定理是行列式展开的一个重要定理,该定理在理论上有重要的应用,为了叙
述方便引述相关概念[1]如下:
定义1在一个n级行列式D中任意选定k行k列(k≤n-1)，位于这些行和列的交
点上的k2个元素按照原来的次序组成一个k级行列式M，称为行列式D的一个k
级子式.在D中划去这k行k列后余下的元素按照原来的次序组成的n-k级行列式
M'称为k级子式M的余子式.
定义2设D的k级子式M在D中所在的行、列指标分别是i1,i2,…,ik;j1,j2,…,jk，
则M的余子式M'前面加上符号(-1)(i1++i2+…+ik)+(j1+j2+…+jk)后称做M的
代数余子式.
为了证明拉普拉斯定理用到了下面的引理,该引理的证明较为繁琐,在这里只叙述该
引理,证明略去.
引理行列式d的任一个子式M与它的代数余子式A的乘积中的每一项都是行列
式D的展开式中的一项，而且符号也一致.
拉普拉斯定理设在行列式D中任意取定了k(1≤k≤n-1)个行.由这k行元素所组成
的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.
证明设D中取定k行后得到的子式为M1,M2,…,Mt,它们的代数余子式分别为
A1,A2,…,At,定理要求证明D=M1A1+M2A2+…+MtAt根据引理,MiAi中每一项
都是D中一项而且符号相同,且MiAi与MjAj(i≠j)无公共项.因此为了证明定理,只
要证明等式两边项数相等就行了.显然等式左边共有n!项,为了计算右边的项数,首先
来求出t.根据子式的取法知道
因为Mi中共有k!项,Ai中共有(n-k)!项.所以右边共有t·k!·(n-k)!=n!项.定理得证.
先引入排列和行列式的定义[1]:
定义3由1,2,…,n组成的一个有序数组称为一个n级排列.
定义4在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于
后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆
序数.
排列j1j2…jn的逆序数记为τ(j1j2…jn).
定义5n级行列式
等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积
的代数和，这里j1j2…jn是1,2,…,n的一个排列，每一项(2)都按下面规则带有符号；
当j1j2…jn是偶排列时，(2)带有正号，当j1j2…jn是奇排列时，(2)带有负号.这一
定义可写成
这里表示对所有n级排列求和.由数的乘法是可交换的，利用排列的性质，不难证
明
这里i1i2…in与j1j2…jk都是一个n级排列.同样可以把每一项按列指标排起来，
于是定义又可以写成
为了证明引理,先给出下面两个关于排列的结论:
定理1设i1,i2,…,ik,ik+1,ik+2,…,in是一个n级排列,若i1,i2,…,ik满足
i1 证明n级排列i1…ikik+1…in的逆序数可分为两部分:一部分是排列i1,i2,…,ik和排 列ik+1,ik+2,…,in的逆序数,即分别为τ(i1i2…ik)与τ(ik+1ik+2…in);另一部分是排 列i1,i2,…,ik中的数码和排列ik+1ik+2…in中的数码构成逆序产生的逆序数.注意 到i1,i2,…,ik已是按顺序排列,故在排列ik+1,ik+2,…,in中,比数码i1小的数码有 i1-1个.类似,在排列ik+1ik+2…in中,比数码i2小的数码有i2-2个,…,在排列 ik+1ik+2…in中,比数码ik小的数码有ik-k个.故有等式 +[(i1-1)+(i2-2)+…(ik-k)]证毕. 定理2设j1,j2,…,jk,jk+1,jk+2,…,jn是一个n级排列,若jk+1,jk+2,…,jn满足 jk+1 证明n级排列j1,j2,…,jk,jk+1,jk+2,…,jn的逆序数可分为两部分:一部分是排列 j1,j2,…,jk和排列jk+1,jk+2,…,jn的逆序数,即分别为τ(j1j2…jk)与τ(jk+1jk+2…jn); 另一部分是排列j1,j2,…,jk中的数码和排列jk+1,jk+2,…,jn中的数码构成逆序产生 的逆序数.注意到jk+1,jk+2,…,jn已是按顺序排列,比数码jk+1大的数码共有n- jk+1个,而jk+2,…,jn就是其中的n-(k+1)个.故剩余比jk+1大的数码的个数为(n- jk+1)-(n-(k+1))=(k+1)-jk+1,它们在在排列jk+2,…,jk中.类似,可知在在排列 j1,j2,…,jk中,比数码jk+2大的数码有(k+2)-jk+2个,…,在排列j1,j2,…,jk中,比数码 jn大的数码有n-jn个.故有等式 有了上面的准备,下面证明引理. 引理的证明设D的任一个k级子式M取自的行列为i1,i2,…,ik,j1,j2,…,jk.其余子式 M'取自的行列为ik+1,ik+2,…,in；jk+1,…,jn;其中i1,…,ik,ik+1,…,in与 j1,…,jk,jk+1,…,jn分别为12…n的一个排列,对M按(3)式展开,其一般项为 其中i1,i2,…,ik满足i1 为 其中jk+1,jk+2,…,jn满足jk+1 (8),(9)两式相乘得 显然,不考虑(10)式的符号,由(4)式,ai1j1ai2j2…aikjkaik+1jk+1aik+2jk+2…ainjn 应是行列式(1)的展开式(4)中右边的项.下面再考察(10)式的符号,由定理1,即(6)式, 得 由定理2,即(7)式,得 注意到 所以 由(11),(12)两式得 所以(10)式可化为 即行列式D的k级子式的一般项与其余子式的一般项的积是行列式D的一般项前 多了符号 而这恰是行列式D的代数余子式的前带的符号,故行列式D的k级子式的一般项与 其代数余子式的一般项的积是行列式D展开式中的的一般项,引理证毕. 显然用引理的新的证明方法,就文献[1]的内容安排可先在第二章的第一节给出了排 列的两个新的性质,即文中的定理1和定理2,这样既分散了拉普拉斯定理证明的难 度,又可使第一节的内容有了增加不再显得单薄,整个文章的安排上更为合理. 〔1〕北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].北京:高等教育出 版社，2003. 〔2〕陈志杰.高等代数与解析几何(上)[M].北京:高等教育出版社;海德堡:施普林格 出版社，2000. 【相关文献】 〔1〕北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].北京:高等教育出版社，2003. 〔2〕陈志杰.高等代数与解析几何(上)[M].北京:高等教育出版社;海德堡:施普林格出版社，2000. 中图分类号：O151.22