求逆矩阵的公式
戒指怎么戴-漆器工艺
2023年2月22日发(作者：学校领导)3、逆矩阵的求法
1.1一样矩阵的逆矩阵的求法
3.1.1用概念去求逆矩阵
概念3.1.1设A是一个n阶矩阵，若是存在n阶矩阵B，使AB=BA=E，那么称A为可逆矩阵，
并称B是A的可逆矩阵。
例3.1已知n阶矩阵A知足0322EAA。证明A+4E可逆并求出14EA
.
证明：把0322EAA变形为(A+4
E
)（
EA2
）=-5
E
，可得（A+4
E
）（
EA
5
2
5
1
）=
E
，
因此存在一个矩阵B=
EA
5
2
5
1
，B使（A+4E）B=E。由概念得A+4E可逆，且B14EA
=B=
EA
5
2
5
1
.
3.1.2用伴随矩阵去求逆矩阵
定理3.1.1n阶矩阵A=（
ij
a
）为可逆的充要条件是A非奇异。且
1A=
A
1
11211
12222
12
n
n
nnnn
AAA
AAA
AAA
，其中
ij
A
是A中元素
ij
a
的代数余子式。矩阵
11211
12222
12
n
n
nnnn
AAA
AAA
AAA
称
为矩阵A的伴随矩阵，记作*A，于是有1A=
A
1
*A.
例3.2判定矩阵A=
343
122
321
，A是不是可逆？假设可逆，求1A.
解：因为
A
=20，因此A可逆。又
11
A=2，
12
A=-3，
13
A=2，
21
A=6，
22
A=-6，
23
A=2，
31
A=-4，
32
A=5，
33
A=-2.
因此1A=
A
1
*A=
2
1
222
563
462
=
111
2
5
3
2
3
231
.
3.1.3用初等变换去求逆矩阵
若是A可逆，那么A可通过初等行变换化为单位矩阵
E
，即存在相应的初等
矩阵
1
E、
2
E…
s
E使
s
E…
2
E
1
EA＝
E
（1），用1A又乘上式两头，得
s
E…
2
E
1
EE
＝1A（2），比较（1）、（2）两式，可知当A通过行初等变换化为
E
的同时，对
单位矩阵E作一样的初等行变换，就化为A的逆矩阵1A.一样，只要用列的初等
变换也能够求逆矩阵。
(1)初等行变换
若是n阶矩阵A可逆，作一个n
2n的矩阵（A，E），然后对此矩阵施以
初等行变换，使矩阵A化为单位矩阵E，那么同时即化为1A了。即（A，E）
（E，1A）.
例3.3用初等行变换求矩阵A=
521
310
132
的逆矩阵。
解：（A,E）
100521
010310
001132
001132
010310
100521
201910
010310
100521
211600
010310
100521
3
1
6
1
6
1
100
010310
100521
3
1
6
1
6
1
100
1
2
3
2
1
010
3
2
6
5
6
5
021
3
1
6
1
6
1
100
1
2
3
2
1
010
3
4
6
13
6
1
001
，故1A=
3
1
6
1
6
1
1
2
3
2
1
3
4
6
13
6
1
.
(2)初等列变换
若是n阶矩阵A可逆，作一个2n
n的矩阵
E
A
，然后对此矩阵施以初等列
变换，使矩阵A化为单位矩阵
E
，那么同时
E
化为1A,即
E
A
1A
E
.
例3.4用初等列变换求矩阵A=
101
111
123
的逆矩阵。
解：
E
A
=
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
2
1
3
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
3
1
2
1
1
3
0
2
1
1
0
1
2
0
2
0
1
2
0
1
0
1
1
1
2
2
1
1
0
1
2
0
2
0
1
0
0
1
0
1
1
2
1
1
2
1
1
0
2
1
1
0
2
0
1
0
0
1
0
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
2
1
1
1
0
2
1
0
0
0
1
0
1
1
2
1
1
1
1
2
1
0
2
1
1
1
0
2
1
0
0
0
1
0
0
1
2
1
1
1
1
2
1
0
2
1
1
1
0
2
1
0
0
0
1
0
0
1
,因此1A=
121
220
121
2
1
.
(3)混合采纳初等行、列变换
若是n阶矩阵A可逆，列出三个矩阵如下：E，A，E（E为单位矩阵）。
对这三个矩阵施以变换，当对A做一次行变换，便对左侧的矩阵E
做一样的行变换；每对A做一次列变换，便对右边的矩阵
E
作一样的列变换。
最后可得：
P
，
E
，Q,因此1A=QP
.
3.4用分块矩阵去求逆矩阵
设A、
B
别离为
p
、
q
阶可逆矩阵，那么
1
0
B
CA
＝
1
11
0B
CBAA
，
10
BD
A
＝
111
10
BDAB
A
，
1
0
0
B
A
＝
1
1
0
0
B
A
，
1
0
0
B
A
＝
0
0
1
1
A
B
.
例3.5求矩阵
S
＝
3111
5221
0011
0012
的逆矩阵。
解：令A＝
11
12
，
B
＝
31
52
，
D
＝
11
21
，因此1A＝
21
11
1B＝
21
53
，11DAB
＝
117
3019
.
故1S＝
10
BD
A
＝
111
10
BDAB
A
＝
21117
533019
0021
0011
.
3.1.5分解矩阵求逆法
分解矩阵求逆法，即将已知矩阵分解成两个矩阵之和，然后再求其逆。
定理3.1.2设A为n阶可逆矩阵，且A＝B＋
X
C
Y
，其中1B已知，
C
是
r
r
可逆阵，
r
n，又设1C＋1B可逆，那么
1A＝1B－1B
X1
11
XYBCY1B.（１）
例3.6求矩阵A=
55432
64432
65332
6
6
5
5
4
4
2
3
2
1
的逆矩阵。
解：A=
1
1
1
1
1
+
65432
65432
65432
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
=
1
1
1
1
1
+
1
1
1
1
1
1
1
1
11
54321
11111
=
B+
X
2
EY由公式得：1A=
19
1
135432
614432
651532
6
6
5
5
4
4
16
3
2
7
专门的，当
X
是nl,
Y
是1n，且
C
=（1）时，公式（1）就变成了
1A=1B-
XYB11
1
1B
X1B，此公式为Sherman-Morrvson公式。
例3.7A=
512
010
211
，求1A.
解：设B＝
300
010
001
，
X
＝
1
0
1
，
Y
＝212
，那么
A＝B＋BY，1B＝
3
1
00
010
001
，Y1B
X＝212
3
1
00
010
001
1
0
1
＝
3
4
1B
XY1B=
3
1
00
010
001
1
0
1
212
3
1
00
010
001
=
9
2
3
1
3
2
000
3
2
02
,
∴1A=
3
1
00
010
001
-
3
4
1
1
9
2
3
1
3
2
000
3
2
02
=
112
010
235
.
利用Sherman-Morrvson公式可专门快的求出类型，如：A=
baa
aba
aab
...
...
...
的
矩阵的逆。
例3.8当
ba时，且
b(1-n)a时，求证：1A=
E
anb
a
E
ab)1(
1
.
证明：∵A=
ba
ba
ba
+
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
=（b-a）E+
a
a
a
1...111
.
于是由Sherman-Morrvson公式定理可求得A的逆为：
1A=
E
anb
a
E
ab)1(
1
，其中
E
=
1...11
............
1...11
1...11
.
由该例题假设求形如矩阵A的逆，只要将a、
b
的值代入上述公式，即可求
得。这比用初等变换、分块矩阵和伴随矩阵法要简单得多。
3.1.6特点多项式法
定理3.1.3设A是nn矩阵，那么A可逆存在常数项不为0的多项式
g
（x），
使
g
(A)=0.
证：必要性，设A的特点多项式为：f(λ)=
01
1
1
aaan
n
n
其中，
0
a=
n1
A0，而f(A)=0，故f(x)是适合条件的
g
（x）.
充分性，设
g
（λ）=
01
bbbm
m
，
0
b0,
那么0=g(A)=EbEbAbAbm
m001
=A（
EbAbm
m1
1）
因此1A=-
0
1
b
（
EbAbm
m1
1）.
3.1.7递推法
递推法利用n阶可逆矩阵的n-1阶矩阵的逆来递推取得原矩阵的逆。
引理3.1.4任何一个m+1阶可逆方阵都能够只通过行列互换初等变换化为左上
角为m阶可逆块的方块方阵形式，即对任意m+1阶可逆方阵
1m
A，存在互换初
等矩阵
i
P（1
i
P
=
i
P）（i=1,2,…,n）使得
1
P
2
P…
j
P
1m
A
1j
P
…
n
P=
mm
mm
b
B
，其中，
m
B
为m阶可逆方阵，
m
为m×1阶矩阵，
m
为1×m阶矩阵，
m
b=
11mm
b，于是
1
1
m
A
=
j
P
…
2
P
1
P
1
mm
mm
b
B
n
P…
1j
P
.
证明：由
1m
A可逆知，至少有一个m阶子式不为零，于是能够只通过行列的互换
变换将
此子式对应的矩阵换到左上角，取得新矩阵
mm
mm
b
B
形式，即存在互换初等矩
阵
i
P（1
i
P
=
i
P）（i=1,2,…,n）使得
1
P
2
P…
j
P
1m
A
1j
P
…
n
P=
mm
mm
b
B
，其中，
m
B、
m
、
m
、
m
b如条件所设，于是依照互换初等矩阵性质1
i
P
=
i
P即可取得定理后半
部份结论。
依照引理3.4,只需要考虑左上角的m阶分块为可逆矩阵的m+1阶可逆方阵
1m
A.
引理3.1.5设m+1阶可逆方阵
1m
A=（
ij
a
）=
mm
mm
a
A
，其中
m
A为m阶可逆方
阵，
m
为m×1阶矩阵，
m
为1×m阶矩阵，
m
a=
1,1mm
a
，那么
m
a-
m
a1
m
A
m
0.
证明：由分块矩阵乘法及
m
A可逆，，有
mm
mm
a
A
10
11
mmm
AA
=
mmmmmm
m
AaA
E
11
0
，(1)
由
1m
A可逆，即可取得
m
a-
m
a1
m
A
m
0，证毕。
推论令
m
c=
m
a-
m
a1
m
A
m
，那么
m
c=
1m
A1
m
A
=
1m
A1
m
A=
m
m
A
A
1.
证明：在（1）式两边取行列式既得。
依照引理3.5，可取得下面的结论。
定理3.1.6
1m
A，
m
A，
m
，
m
，
m
a，
m
c如引理及推论所述，又令
m
=-1
m
A
m
，
m
=-
m
1
m
A
，那么1
1
m
A
=
00
01
m
A
+
m
c
1
1
m
mmm
=
00
01
m
A
+
m
c
1
1
m
1
m
，
其中，1
m
A
=
11
1
a
.
证明：显然1
m
A
=
11
1
a
，设
1m
A的逆矩阵1
1
m
A
=
mm
mm
b
B
，其中
m
B为m阶方阵
m
为m×1阶矩阵,
m
为1×m矩阵，
m
b=
11mm
b，依照
1m
A1
1
m
A
=
mm
mm
a
A
mm
mm
b
B
=
10
0
m
E
，其中
m
E是m阶单位矩阵，再
由分块矩阵乘法和矩阵相等取得矩阵方程组
4,1
3,0
2,0
1,
mmmm
mmmm
mmmm
mmmmm
ba
aB
bA
EBA
依照
m
A可逆，由（3）式得
m
=-
m
b1
m
A
m
，（6）
将（6）式代入（5）式得
m
b=
mmmm
Aa1
1
=
m
c
1
，（7）
将（7）式代入（6）式得
m
m
mc
A
1
=
m
c
1
m
，（8）
又由（2）式得
m
B=1
m
A
-1
m
A
m
m
，（9）
将（9）式代入（4）式得
m
=
mmm
mm
Aa
A
1
1
=
m
c
1
m
，（10）
将（10）式代入（9）式得
m
B=1
m
A
+
m
c
1
（-1
m
A
m
）
m
=1
m
A
+
m
c
1
m
m
，（11）
综合（7）（8）（10）（11）即可取得
1
1
m
A
=
00
01
m
A
+
m
c
1
1
m
mmm
=
00
01
m
A
+
m
c
1
1
m
1
m
.定理证毕。
推论1设
1m
A=diag(
1
a,
2
a,...,
1m
a)(
i
a
0,i=1,2,...,m+1),那么
1
1
m
A
=diag(1
1
a，1
2
a，...，1
1
m
a
).
证明：现在
m
=0，
m
=0，
m
c=
1m
a,于是
1
1
m
A
=
00
01
m
A
+
1
1
0
00
m
a
=
1
1
1
0
0
m
m
a
A
=......=diag(1
1
a，1
2
a，...，1
1
m
a
).
推论2设
A
=
dc
ba
(0bcad)，那么1
m
A
=
bcad
1
ac
bd
.
证明：设a
0，现在1
1
A=
a
1
，
1
=
a
c
，
1
=
a
b
，
1
c=
a
bcad
，因此
1
1
A=
00
0
1
a
+
bcad
a
1
2
a
c
c
b
a
bc
=
bcad
1
ac
bd
，上式在a=0也成立，证毕。
例3.9求矩阵A的逆矩阵，其中A=
165
283
141
.
解：1
1
A=（1），且
2
A=
83
41
=-4
0，于是
1
=（-3），
1
=（-4），
1
c=（-4），因
此
1
2
A=
00
01
-
4
1
13
412
=
4
1
13
48
；
又
2
=-
4
1
（-58，26），
2
=-
4
1
1
0
，
2
c=-
2
1
，因此
1
1
A=
000
0
4
1
4
3
012
+（-2）
1
2
13
2
29
4
1
8
13
8
29
000
=
21329
2
1
3
2
13
012
.
最后给出右下角为m+1阶可逆矩阵的
1m
A逆矩阵的递推公式。
定理3.1.7设m+1阶方阵
1m
A=（
ij
a
）=
mm
mm
A
a
，其中
m
A为m阶方阵,
m
为
1m，
m
为m1矩阵，
m
a=
11
a，那么当
m
A，
1m
A皆可逆时，有
1
1
m
A
=
10
00
m
A
+
mmmm
Aa1
1
111
11
mmmmmm
mm
AAA
A
，其中1
1
A=
1,1
1
mm
a
.
3.1.8求方阵的逆矩阵的他法
一、重要结论法
利用逆矩阵的性质及一些结论，可迅速地求出一类矩阵的逆阵，这些性质和结论
是：
(1)初等矩阵的逆阵：
E1,ji
＝E（i，j），E1,ki
＝E（i,（
k
1
）），
E1,ki
＝E（j（
k
），i）．
(2)1AB
＝1B1A；
(3)1
TA＝TA1；
(4)正交阵的逆阵：1A＝TA；
(5)主、次对角线上的分块对角阵的逆阵：设
i
A都是方阵，且det
i
A
0，i=（1，2，…s）
那么，
1
1
2
s
A
A
A
=
1
1
1
2
1
s
A
A
A
；
1
1
2
s
A
A
A
=
1
1
2
1
1
s
A
A
A
.
例3.10设
A
=
123
123
220
，
B
=
100
0
2
2
0
00
3
3
，求1AB
.
解：注意到
6
1
A
为正交矩阵，由（4）知，
1
6
1
A
=
T
A
6
1
=
6
1
TA，因此1A
=
6
1
TA；由（5）或（1）得：1B=
100
020
003
；
于是1AB
=
6
1
1BTA=
6
1
112
222
330
.
例3.11设
A
=
1
2
1
000
000
000
000
n
n
a
a
a
a
，
i
a0(i=1，2，...，n)，求1A.
解：设A=
0
0
1
n
a
A
，其中
1
A=diag(
1
a，
2
a，…，
1n
a)，由于detA
0，据（5）
得1A=
0
0
1
1
1
A
a
n，那个地址1A=diag（1
1
a，1
2
a，…，1
1
n
a
），故
1A=
1
1
1
000
1
000
1
000
n
n
a
a
a
.
二、和化积法
关于一类给出矩阵之和的有关等式问题，通过适当的恒等变换，可化为形如
AB
=
E
的形式，从而判定所求矩阵的可逆性，且可求出其矩阵。
例3.12设n阶方阵
A
知足2A+2
A
-3
E
=0，说明
A
+nE
是不是可逆。假设可逆，
求此矩阵逆阵。
解：由2A+2
A
-3
E
=（
A
+nE
）（
A
-（n-2）
E
）－（2n-2n-3）
E
＝0得，
(
A
+nE
）（
A
-（n-2）
E
）＝－（2n-2n-3）E＝－（n－3）（n＋１）E.
ｉ）当n
3且n
－1时，
A
+nE
可逆，
且1nEA
＝－
)1)(3(
1
nn
（
A
-（n-2）
E
）；
ｉｉ）当n＝3时，有（A＋3E）（A－E）＝0，假设A＝E，那么A＋3E＝4E，
13EA
＝
4
1
E，假设A
E，（A＋3E）
X
＝0有非零解，得
EA3
＝0，故
A
3
E
不可逆；
ｉｉｉ）当n
－1时，有（A＋3E）（A－E）＝0，假设A＝－3E，那么A－E＝
－4
E
，1EA
＝－
4
1
E，假设A
－3E，那么A＋3E
0，（A－E）
X
＝0
有非零解，得
EA
＝0，故A－E不可逆。
3、设元法
关于给定的可逆阵A，可假设1A的每一个待求元，据A1A＝E及矩阵相
等的条件，利用解方程组，逐个求出个元素。
例3.13已知：A＝
43
21
AA
AA
，其中
1
A、
4
A别离为
r
、s阶可逆方阵，，求1A.
解：设1A＝
42
21
ZZ
ZZ
，其中
i
Z与
i
A（i＝１，２，３，４）为同形阵。
由
A1A＝
43
21
AA
AA
42
21
ZZ
ZZ
＝
s
r
E
E
2
1
0
0
，得
s
r
EZAZA
ZAZA
ZAZA
EZAZA
4423
23413
14221
3211
0
0
1
2
1
1344
1
3
1
4213
1
43
1
21342
1
12
1
3
1
4211
AAAAZ
AAAAAAZ
AAAAAAZ
AAAAZ
注：应用此法，还可得出：
（１）
1
43
1
0
AA
A
＝
1
4
1
13
1
4
1
1
0
AAAA
A
（
1
A，
4
A可逆）;
（２）
1
4
21
0
A
AA
＝
1
4
1
42
1
1
1
1
0A
AAAA
（
1
A，
4
A可逆）;
（３）
1
43
2
0
AA
A
＝
01
2
1
3
1
24
1
3
A
AAAA
（
2
A，
3
A可逆）;
（４）
1
3
21
0
A
AA
＝
1
31
1
2
1`
2
1
3
0
AAAA
A
（
2
A，
3
A可逆）。
3.2循环矩阵的逆矩阵的求法
3.2.1解线性方程组法
由循环矩阵的性质（3）可知
A
=（
0
a，
1
a，
2
a，...，
1n
a）的逆矩阵为
1A=1A（
0
x，
1
x，
2
x，...，
1n
x），其中
i
x，i=0，1，2，...，n-1是线性方
程
组TA
0
1
1n
x
x
x
=
1
0
0
的唯一解。
例3.14求A=A（1，2，3）的逆矩阵。
解：构造线性方程组TA
3
2
1
x
x
x
=
0
0
1
.已知A=
132
213
321
，TA=
123
312
231
，
解线性方程组得
023
032
123
321
321
321
xxx
xxx
xxx
，得
1
x=
18
2
，
2
x=
18
7
，
3
x=
18
1
故1A=1A（
18
2
，
18
7
，
18
1
）.
此方式在阶数比较大时要通过初等变换化为阶梯型才可解出方程组，现在计
算量比较大，比较适用于低阶循环矩阵。
3.2.2欧几里得算法
令
g
(x)=nx-1那么
g
()=0，即
g
(x)是的最小零化多项式，同前，
R
为全部实数集，设
R
[x]是
R
上的一元多项式环，
B
为
R
上全部循环矩阵组成的
集合，那么
B
关于矩阵的加法和乘法组成互换环，概念
：
R
[x]→
B
，f(x)
→f()，f(x)
R
[x]，易证
是
R
[x]到
B
的满环同态，由同态大体定理可
得
B
xR
ker
，即
B
x
xR
n
1
.
定理3.2.1循环矩阵
A
=
A
（
0
a，
1
a，
2
a，...，
1n
a）可逆，当且仅当（f(x)，
nx-1）=1，
即存在u(x)，v(x)
R
[x]使得f(x)u(x)+v(x)（nx-1）=1，其中
f(x)=
0
a+
1
ax+
2
a2x+....+
1n
a1nx=1.
利用定理可构造如下求逆的方式：求出f(x)与nx-1的最大公因式
d
(x)及u
(x)、v(x)
R
[x],使得：f(x)+v(x)（nx-1）=d(x)（1）.
若
d
(x)不是非零常数，那么A（
0
a，
1
a，
2
a，....，
1n
a）不可逆；
d
(x)假
设是非零常数
p
，那么A（
0
a，
1
a，
2
a，....，
1n
a）可逆现在将代入（1）
式得f()u()=
p
，从而1A=
p
1
u().
例3.15判定以下矩阵A=
24444
42444
44244
44424
44442
是不是可逆？假设可逆，求其逆。
解：利用辗转相除法可得5x-1=f(x)(
4
1
4
1
x)+
2
1
2
1
x,
f(x)=(322416823xxx)(
2
1
2
1
x)+18.上两式中消去
2
1
2
1
x，并整理得
72222
18
1
234xxxxf(x)+13224168
18
1
523
xxxx=1.
由上知
d
(x)=10,故
A
可逆，且u(x)=72222
18
1
234xxxx
，
则u()=
A
（
18
7
，
9
1
，
9
1
，
9
1
，
9
1
）=1A.
用欧几里德方式求循环矩阵的逆矩阵可直接判定该矩阵是不是可逆，而且计
算起来比较快捷。
3.2.3用三角算法（此算法可得循环矩阵求逆矩阵的公式）
由循环矩阵性质（6）咱们得知存在，使得1
A
=
0
1
1n
f
f
f
.因为det为─Vandermonde行列式，当
k
1时
有
k
1
，故det
0，因此可逆，从而A可逆。当且仅当
1
0
1
n
i
f
0，且
1A=
0
1
1n
f
f
f
1
，设1A=1A（
0
b，
1
b，...，
1n
b），由
矩阵乘法规那么可得公式：
j
b
=
n
1
1
0
1
n
i
i
i
in
f，j=0，1，2，...，n-1.
在一样情形下，用以上公式时需要进行大量的三角函数的计算，但是关于许
多特殊的情
况，只要充分利用n次单位根的性质，就能够够比较容易的求出所需要的逆矩阵。
3.3一类阶数较高矩阵的逆矩阵的求法
关于二阶矩阵
dc
ba
（1）当bcad时，那么可逆，且其逆为
ac
bd
bcad
1
，
利用这一简单结论可得出形如（2）
1
1
1
1
1
1
ab
cd
一类方阵的逆矩阵，其中（2）中未标的元素主对
角线上全为1，其它元全为0.
定理3.3.1矩阵（2）可逆，且矩阵（1）的逆为
hg
fe
，那么矩阵（2）的逆
为
1
1
1
1
ef
gh
.
证明：设矩阵（2）为
A
，对
A
实施一系列互换两行和两列的初等变换，那么
A
化
成
1
1
1
1
eb
gd
，这相当于存在
ij
P
型的初等矩阵，使得
（3）
s
P
2
P
1
PA
1
P
2
P
s
P=
1
A成立，由于A可逆，那么
1
A可逆，易知
1
1
A=
1
1
1
1
ef
gh
，对(3)式两边求逆得
1
12
1
1
21
PPPAPPP
ss
=1A=
1
1
1
1
ef
gh
，对等式两边
左乘
1
P
2
P
s
P，右乘
s
P
2
P
1
P得
（4）
1
P
2
P
s
P
1
1
1
1
eb
gd
，由（4）式知，1A是通过1
1
A
实施行互换两行和两列初等变换取得的，而对1
1
A实施的初等变换，正是（3）式
中对A实施的初等变换，只是初等变换的前后顺序恰恰相反，那么有
1A=
1
1
1
1
ef
gh
.
例3.16判定矩阵
A
=
100000
010040
001000
000100
020030
000001
是不是可逆？假设可逆求其逆。
解：由
34
23
=1
0，知矩阵
34
23
可逆，其逆为
34
23
，因此矩阵
A
可逆，
由定理知1
1
A=
100000
030040
001000
000100
020030
000001
.