成都第七中学

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2023年2月19日发(作者：)

1

绝密☆启封并使用完毕前

高2023届四川省成都七中高三一诊-----数学模拟卷（一）

数学（理工类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。满分150

分。考试时间120分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。考试

结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共50分）

注意事项：

必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。

第Ⅰ卷共12小题。

一、本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求

的。

1．已知集合A＝{(x，y)|(x＋y＋1)(2x－y＋1)＝0}，则集合A中元素的个数是()

A．0个B．1个C．2个D．无数个

2.若复数(4＋ai)(1＋i)(i为虚数单位，a∈R)为纯虚数，则a的值为()

A．－4B．3C．4D．5

3.若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为()

A．

5

5

B．

25

5

C．

35

5

D．

45

5

4．已知(x－m)(x＋2)5＝a

0

＋a

1

x＋a

2

x2＋…＋a

6

x6，其中m为常数，若a

4

＝30，则a

0

＝()

A．－32B．32C．64D．－64

5．已知a＝tan(－

7π

6

)，b＝cos(

23π

4

)，c＝sin(－

33π

4

)，则a，b，c的大小关系为()

A．a>b>cB．b>a>c

C．b>c>aD．a>c>b

6．已知A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，且OA

→

＝mOB

→

＋2nOC

→

(m＞0，n＞0)，则

2

m

＋

1

n

的

最小值为()

A．10B．9C．8D．4

2

7.设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)

＋f(3)＝6，则f









9

2

＝()

A．－

9

4

B．－

3

2

C．

7

4

D．

5

2

8．已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，记a＝f(log

0.5

3)，b＝f(log

2

5)，c＝f(2m)，则()

A．a

C．c

9.考拉兹猜想又名3n＋1猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是

偶数，则对它除以2，如此循环，最终都能得到1，阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的

结果i＝()

A．6B．7C．8D．9

10.如图为一个组合体，底座为一个长方体，凸起部分由一小长方体和一个半圆柱组成，一只小蚂蚁从A

点出发，沿几何体表面爬行，首先到达C点，然后沿凸起部分的表面到达B点，则小蚂蚁走过的最短

距离为()

3

A．4149＋2541B．4149＋22＋10π

C．4205＋42D．122＋10π

11．已知椭圆C：

x2

a2＋

y2

b2＝1(a＞b＞0)和点M(

a2－b2

a

，0).若存在过点M的直线交C于P，Q两点，

满足PM

→

＝λMQ

→

(0＜λ＜

1

2

)，则椭圆C的离心率取值范围是()

A．(0，

2

2

)B．(

3

3

，

2

2

)

C．(

3

3

，1)D．(

2

2

，1)

12.已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)0的解集是()

A．(－∞，ln2)B．(ln2，＋∞)

C．(0，e2)D．(e2，＋∞)

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

注意事项：

必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。作图题可先用铅笔绘

出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。

第Ⅱ卷共11小题。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知S

n

是等比数列

{}a

n的前n项和，若存在m∈N*，满足

S

2m

S

m

＝9，

a

2m

a

m

＝

5m＋1

m－1

，则数列

{}a

n的

公比为_______________

4

14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝

4

5

，cosC＝

5

13

，a＝1，则b＝________．

15.已知球O是正四面体SABC的外接球，E为线段BC的中点，过点E的平面α与球O形成的截面面

积的最小值为6π，则正四面体SABC的体积为_____

16．已知函数f(x)＝

1

x＋1

＋x＋a－1的图象是以点(－1，－1)为中心的中心对称图形，g(x)＝ex＋ax2＋

bx，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线y＝g(x)在点(0，g(0))处的切线互相垂直，则a＋b＝________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.若数列{an}的前n项和为Sn，点(an，Sn)在y＝

1

6

－

1

3

x的图象上(x∈N*).

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若c1＝0，且对任意正整数n都有cn＋1－cn＝log

1

2

an，求证：对任意正整数n≥2，总有

1

3

≤

1

c2

＋

1

c3

＋

1

c4

＋…＋

1

cn

<

3

4

.

18.某校高一200名学生的期中考试语文成绩服从正态分布N(70，7.52)，数学成绩的频数分布直方图如

下：

(1)计算这次考试的数学平均分，并比较语文和数学哪科的平均分较高(假设数学成绩在频率分布直方图

中各段是均匀分布的)；

5

(2)如果成绩大于85分的学生为优秀，这200名学生中本次考试语文、数学优秀的人数大约各多少人？

(3)如果语文和数学两科都优秀的共有4人，从(2)中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都优秀

的有X人，求X的分布列和数学期望.

附参考公式：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ

19.如图，在三棱锥A­BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O是BD的中点．

(1)证明：OA⊥CD；

(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E­BC­D的大小为45°，求

三棱锥A­BCD的体积．

6

20．已知椭圆C：

y2

a2

＋

x2

b2

＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，且椭圆C的离心率为

2

2

.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过椭圆C的上焦点作相互垂直的弦AB，CD，求证：

1

|AB|

＋

1

|CD|

为定值．

21.已知函数f(x)＝(2x－1)lnx＋x－1.

(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)求证：f(x)>－1.

7

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：





x＝2cosφ

y＝6sinφ

(φ为参数)，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴

为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin













θ＋

π

4

＝4.

(1)求曲线C2的直角坐标方程；

(2)若点P是曲线C1上的点，点Q是曲线C2上的点，求|PQ|的最小值．

23．选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|2x＋2|－|x－2|.

(1)解不等式f(x)≥6；

(2)已知a>0，b>0，g(x)＝f(x)－|x＋1|的最大值为m，

1

a

＋

1

b

＝m，求a2＋b2的最小值．

绝密☆启封并使用完毕前

高2023届四川省成都七中高三一诊-----数学模拟卷

（一）

数学（理工类）

1．D.

2.C.

3.B.

4．A.

5．B.

6．C.

7.D.

8．C.

9.C.

10.A.

11．C.

12.A.

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

注意事项：

必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。作图题可

先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。

第Ⅱ卷共11小题。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．q＝2.

14.答案：

21

13

15.83.

16．答案：－

4

3

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.若数列{an}的前n项和为Sn，点(an，Sn)在y＝

1

6

－

1

3

x的图象上(x∈N*).

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若c1＝0，且对任意正整数n都有cn＋1－cn＝log

1

2

an，求证：对任意正整数n≥2，总有

1

3

≤

1

c2

＋

1

c3

＋

1

c4

＋…＋

1

cn

<

3

4

.

【解析】(1)因为点(an，Sn)在y＝

1

6

－

1

3

x的图象上(n∈N*)，所以Sn＝

1

6

－

1

3

an，

当n≥2时，Sn－1＝

1

6

－

1

3

an－1，

所以an＝

1

3

an－1－

1

3

an，化为an＝

1

4

an－1，

当n＝1时，a1＝S1＝

1

6

－

1

3

a1，解得a1＝

1

8

.

所以an＝

1

8

×











1

4

n－1

＝

1

2

×(

1

4

)n＝(

1

2

)2n＋1.

(2)对任意正整数n都有cn＋1－cn＝log

1

2

an＝2n＋1，

所以cn＝(cn－cn－1)＋(cn－1－cn－2)＋…＋(c2－c1)＋c1＝(2n－1)＋(2n－3)＋…＋3

＝

（n－1）（2n－1＋3）

2

＝(n＋1)(n－1).

所以当n≥2时，

1

cn

＝

1

（n－1）（n＋1）

＝

1

2

(

1

n－1

－

1

n＋1

)，所以

1

c2

＋

1

c3

＋…＋

1

cn

＝

1

2

[(1－

1

3

)＋(

1

2

－

1

4

)＋…＋(

1

n－1

－

1

n＋1

)]＝

1

2

(1＋

1

2

－

1

n

－

1

n＋1

)＜

1

2

(1＋

1

2

)＝

3

4

，

又

1

c2

＋

1

c3

＋…＋

1

cn

≥

1

c2

＝

1

3

.

所以

1

3

≤

1

c2

＋

1

c3

＋

1

c4

＋…＋

1

cn

＜

3

4

.

18.某校高一200名学生的期中考试语文成绩服从正态分布N(70，7.52)，数学成绩的频数分

布直方图如下：

(1)计算这次考试的数学平均分，并比较语文和数学哪科的平均分较高(假设数学成绩在频率

分布直方图中各段是均匀分布的)；

(2)如果成绩大于85分的学生为优秀，这200名学生中本次考试语文、数学优秀的人数大约

各多少人？

(3)如果语文和数学两科都优秀的共有4人，从(2)中的这些同学中随机抽取3人，设三人中

两科都优秀的有X人，求X的分布列和数学期望.

附参考公式：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ

0.96.

解(1)数学成绩的平均分为

(0.012×45＋0.020×55＋0.025×65＋0.035×75＋0.006×85＋0.002×95)×10＝65.9，

根据语文成绩的正态分布知语文平均分为70分，所以语文平均分高些.

(2)语文成绩优秀的概率为p1＝P(X≥85)＝(1－0.96)×

1

2

＝0.02，

数学成绩优秀的概率为p2＝













0.006×

1

2

＋0.002

×10＝0.05，

语文成绩优秀人数为200×0.02＝4，数学成绩优秀人数为200×0.05＝10.

(3)语文数学两科都优秀的4人，单科优秀的有6人，X所有可能的取值为0，1，2，3.

P(X＝0)＝

C3

6

C3

10

＝

1

6

，P(X＝1)＝

C1

4C2

6

C3

10

＝

1

2

，

P(X＝2)＝

C2

4C1

6

C3

10

＝

3

10

，P(X＝3)＝

C3

4

C3

10

＝

1

30

.

X的分布列为

X0123

P

1

6

1

2

3

10

1

30

数学期望E(X)＝0×

1

6

＋1×

1

2

＋2×

3

10

＋3×

1

30

＝

6

5

.

19.如图，在三棱锥A­BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O是BD的中点．

(1)证明：OA⊥CD；

(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E­BC­D的大小

为45°，求三棱锥A­BCD的体积．

【规范解答】(1)因为AB＝AD，O为BD中点，所以AO⊥BD，…………2分

因为AO⊂平面ABD，

平面ABD⊥平面BCD且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以AO⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，所

以AO⊥CD.…………4分

(2)以O为坐标原点，OD为y轴，OA为z轴，垂直OD且过O的直线为x轴，

设C(

3

2

，

1

2

，0)，D(0，1，0)，B(0，－1，0)，

A(0，0，m)，E(0，

1

3

，

2

3

m)，…………5分

因为EB

→

＝













0，－

4

3

，－

2

3

m

，BC

→

＝(

3

2

，

3

2

，0)，

设n1＝(x1，y1，z1)为平面EBC法向量，

所以









EB

→

·n1＝－

4

3

y1－

2

3

mz1＝0

BC

→

·n1＝

3

2

x1＋

3

2

y1＝0

，

所以





2y1＋mz1＝0

x1＋3y1＝0

，

令y1＝1，所以z1＝－

2

m

，x1＝－3，

所以n1＝













－3，1，－

2

m

，…………7分

平面BCD法向量为OA

→

＝(0，0，m)，

cos〈n1，OA

→

〉＝















－2

m·4＋

4

m2

＝

2

2

，解得m＝1，…………9分

所以OA＝1，所以S△ABD＝

1

2

×BD×OA＝

1

2

×2×1＝1，VA­BCD＝

1

3

·S△ABD·|xC|＝

3

6

.…………

12分

20．已知椭圆C：

y2

a2

＋

x2

b2

＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，且椭圆C的离心率为

2

2

.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过椭圆C的上焦点作相互垂直的弦AB，CD，求证：

1

|AB|

＋

1

|CD|

为定值．

【解析】(1)由题意可知2b＝2，b＝1，

又椭圆离心率为

2

2

，则a＝2，

故椭圆C的方程为

y2

2

＋x2＝1.

(2)当直线AB的斜率不存在或为零时，

1

|AB|

＋

1

|CD|

＝

32

4

，当直线AB的斜率存在且不为

零时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由









y＝kx＋1，

y2

2

＋x2＝1

消y得(k2＋

2)x2＋2kx－1＝0，

所以x1＋x2＝－

2k

k2＋2

，x1x2＝－

1

k2＋2

，

所以|AB|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2＝

22（k2＋1）

k2＋2

，同理可得|CD|＝

22（k2＋1）

2k2＋1

，

所以

1

|AB|

＋

1

|CD|

＝

k2＋2

22（k2＋1）

＋

2k2＋1

22（k2＋1）

＝

3（k2＋1）

22（k2＋1）

＝

32

4

.

21.已知函数f(x)＝(2x－1)lnx＋x－1.

(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)求证：f(x)>－1.

【解析】(1)由f(x)＝(2x－1)lnx＋x－1，

得f′(x)＝2lnx－

1

x

＋3，

所以f′(1)＝2，f(1)＝0，则切线方程为y＝2x－2.

(2)f′(x)＝2lnx－

1

x

＋3，x∈(0，＋∞)，

令h(x)＝2lnx－

1

x

＋3，x∈(0，＋∞)，

所以h′(x)＝

2

x

＋

1

x2

＝

2x＋1

x2

>0，

故h(x)在(0，＋∞)上单调递增．

又h(1)＝2>0，h











1

2

＝1－ln4＝ln

e

4

<0，

又h(x)在(0，＋∞)上连续，

所以存在x0∈











1

2

，1

使得h(x0)＝0，即f′(x0)＝0，

所以2lnx0－

1

x0

＋3＝0.(*)

f′(x)，f(x)随x的变化情况如下：

x(0，x0)x0(x0，＋∞)

f′(x)－0＋

f(x)极小值↗

所以f(x)min＝f(x0)＝(2x0－1)lnx0＋x0－1.

由(*)式得lnx0＝

1

2x0

－

3

2

，代入上式得

f(x)min＝f(x0)＝(2x0－1)











1

2x0

－

3

2

＋x0－1

＝－2x0－

1

2x0

＋

3

2

.

令t(x)＝－2x－

1

2x

＋

3

2

，x∈











1

2

，1

，

t′(x)＝

1

2x2

－2＝

（1＋2x）（1－2x）

2x2

<0，

故t(x)在











1

2

，1

上单调递减．

所以t(x)>t(1)，又t(1)＝－1，

即f(x0)>－1，所以f(x)>－1.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：





x＝2cosφ

y＝6sinφ

(φ为参数)，以坐标原点O为极点，以

x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin













θ＋

π

4

＝4.

(1)求曲线C2的直角坐标方程；

(2)若点P是曲线C1上的点，点Q是曲线C2上的点，求|PQ|的最小值．

【解析】(1)由ρsin













θ＋

π

4

＝4得：

ρsinθ＋ρcosθ＝42，

将









ρcosθ＝x

ρsinθ＝y

，代入得曲线C2，得直角坐标方程为：x＋y＝42.

(2)由题意，可设P(2cosφ，6sinφ)，由点到直线的距离公式可得：

点P到直线x＋y＝42的距离为：

d＝

|2cosφ＋6sinφ－42|

2

由题意可得：|PQ|≥d，

即|PQ|≥

|2cosφ＋6sinφ－42|

2

＝













22sin













φ＋

π

6

－42

2

≥2，

所以，|PQ|的最小值为2.

23．选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|2x＋2|－|x－2|.

(1)解不等式f(x)≥6；

(2)已知a>0，b>0，g(x)＝f(x)－|x＋1|的最大值为m，

1

a

＋

1

b

＝m，求a2＋b2的最小值．

【解析】(1)函数f(x)＝|2x＋2|－|x－2|＝









x＋4，x>2

3x，－1≤x≤2

－x－4，x<－1

，

当x>2时，不等式f(x)≥6即为x＋4≥6，解得x≥2，所以x>2；

当－1≤x≤2时，不等式f(x)≥6即为3x≥6，解得x≥2，所以x＝2；

当x<－1时，不等式f(x)≥6即为－x－4≥6，解得x≤－10，所以x≤－10.

综上所述，不等式f(x)≥6的解集为{x|x≤－10或x≥2}；

(2)g(x)＝f(x)－|x＋1|

＝|x＋1|－|x－2|≤|(x＋1)－(x－2)|

＝3，

所以g(x)的最大值为m＝3，

则

1

a

＋

1

b

＝3，

故a2＋b2＝(a2＋b2)·

1

9









1

a

＋

1

b

2

＝

1

9











2＋

b2

a2

＋

a2

b2

＋

2a

b

＋

2b

a

≥

1

9











2＋2

a2

b2

·

b2

a2

＋2

2a

b

·

2b

a

＝

8

9

，当且仅当

a2

b2

＝

b2

a2

且

2a

b

＝

2b

a

，即a＝b＝

2

3

时取

等号，

故a2＋b2的最小值为

8

9

.