中点弦公式
少女摘花-网速变慢
2023年2月22日发(作者：复方冬眠灵)龙源期刊网
巧用点差法公式解决中点弦问题
作者：傅景华
来源：《中学课程辅导·教学研究》2013年第22期
解析几何中的圆锥曲线是高考的重点、难点和热点，而其中的计算往往是非常困难的。解
题过程中，常设一些量而并不解出这些量，利用这些量架起连接已知量和未知量的桥梁从而问
题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。“点差法”是一种常见的设而不求的方法，是由弦的
两端点坐标代入圆锥曲线的方程，得到两个等式，两式相减，可以得到一个与弦的斜率及中点
相关的式子，再结合有关条件来求解，这就可以降低解题的运算量，优化解题过程。
一、抛物线
【规律探踪】在抛物线y2=2mx（m≠0）中，若直线l与抛物线相交于M、N两点，点P
（x0，y0）是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN，则kMN·y0=m。
注意：能用这个公式的条件：①直线与抛物线有两个不同的交点；②直线的斜率存在.
例1设A（x1，y1），B（x2，y2）两点在抛物线y=2x2上，l是AB的垂直平分线。
⑴当且仅当x1+x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论。
⑵当x1=1，x2=-3时，求直线l的方程。
解析：⑴∵x2=12y，∴p=14，F（0，18）。
设线段AB的中点为P（x0，y0），直线l的斜率为k，则x1+x2=2x0
若直线l的斜率不存在，当且仅当x1+x2=0时，AB的垂直平分线l为y轴，经过抛物线的
焦点F。
若直线l的斜率存在，则其方程为y=k（x-x0）+y0，kAB=-1k。
由1kAB·x0=p得：-kx0=14，∴x0=-14k。
若直线l经过焦点F，则得：18=-kx0+y0=14+y0，y0=-14，与y00相矛盾。
∴当直线l的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F。
综上所述，当且仅当x1+x2=0时，直线l经过抛物线的焦点F。
⑵当x1=1，x2=-3时，A（1，2），B（-3，18），x0=x1+x22=-1，y0=y1+y22=10.
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由1kAB·x0=p得：k=14。
∴所求的直线l的方程为y=14（x+1）+10，即x-4y+41=0
二、椭圆
【规律探踪】在椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，若直线l与椭圆相交于M、N两点P
（x0，y0），点是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为KMN，则KMN·y0x0=b2a2。
例2已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=22，右准线
方程为x=2。
⑴求椭圆的标准方程；
⑵过点F1的直线l与该椭圆相交于M、N两点，且|F2M+F2N|=2263，求直线l的方程。
解：⑴根据题意，得e=ca=22x=a2c=2
∴a=2，b=1，c=1。∴所求的椭圆方程为x22+y2=1.
⑵椭圆的焦点为F1（-1，0）、F2（1，0）。设直线l被椭圆所截的弦MN的中点为P
（x，y）。
由平行四边形法则知：F2M+F2N=2F2P。
由|F2M+F2N|=2263得：|F2P|=263。
∴（x-1）2+y2=269.…………………………………①
若直线l的斜率不存在，则l⊥x轴，这时点P与F1（-1，0）重合，
|F2M+F2N|=|2F2F1|=4，与题设相矛盾，故直线l的斜率存在.
由kMN·yx=-b2a2得：yx+1·yx=-12.
∴y2=-12（x2+x）.……………………………………②
②代入①，得（x-1）2-12（x2+x）=269.
整理，得：9x2-45x-17=0；解之得：x=173，或x=-23。
由②可知，x=173不合题意。
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∴x=-23，从而y=±13；∴k=yx+1=±1.
∴所求的直线l方程为y=x+1，或y=-x-1。
三、双曲线
例3设A、B是双曲线x2-y22=1上两点，点N（1，2）是线段AB的中点。
⑴求直线AB的方程；
⑵如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共
圆，为什么？
解析：⑴a2=1，b2=2，焦点在x上；由kAB·y0x0=b2a2得：kAB·2=2，∴kAB=1。
∴所求的直线AB方程为y-2=1·（x-1），即x-y+1=0。
⑵设直线CD的方程为x+y+m=0，点N（1，2）在直线CD上，
∴1+2+m=0，m=-3。∴直线CD的方程为x+y=0。
又设弦CD的中点为M（x，y），由KCD·yx=b2a2得：-1·yx=2，即y=-2x。
由x+y-3=0y=-2x得x=-3，y=6。∴点M的坐标为（-3，6）。
又由x+y+3=0x2-y22=1得A（﹣1，0）.B（3，4）
由两点间的距离公式可知：|MA|=|MB|=|MC|=|MD|=210。
故A、B、C、D四点到点M的距离相等，即A、B、C、D四点共圆。
（作者单位：浙江省金华市艾青中学321015）