合分比定理
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2023年2月22日发(作者：goole地球)公理、定理或性质
1．数的公理、定理或性质
【小数性质】小数的性质有以下两条：
（1）在小数的末尾添上或者去掉几个零，小数的大小不变。
（2）把小数点向右移动n位，小数就扩大10n倍；把小数点向左移动n位，小数就缩小10n倍。
【分数基本性质】一个分数的分子和分母都乘以或者都除以同一不为零的数，分数的大小不变。即
【去九数的性质】用9去除一个数，求出商后余下的数，叫做这个数的“去九数”，或者叫做“9余数”。
求一个数的“去九数”，一般不必去除，只要把该数的各位数字加起来，再减去9的倍数，就得到该数的
“去九数”。（求法见本书第一部分“（四）法则、方法”“2．运算法则或方法”中的“弃九验算法”词条。）
去九数有两条重要的性质：
（1）几个加数的和的去九数，等于各个加数的去九数的和的去九数。
（2）几个因数的积的去九数，等于各个因数的去九数的积的去九数。
这两条重要性质，是用“弃九验算法”验算加、减、乘、除法的依据。
【自然数平方的性质】
（1）奇数平方的性质。任何一个奇数的平方被8除余1。
为什么有这一性质呢？这是因为奇数都可以表示为2k+1的形式，k为整数。而
（2k+1）2=4k2+4k+1
=4k（k+1）+1
k与k+1又是连续整数，其中必有一个是偶数，故4k（k+1）是8的倍数，能被8整除，所以“4k（k+1）
+1”，即（2k+1）2能被8除余1，也就是任何一个奇数的平方被8除余1。
例如，272=729
729÷8=91……1
（2）偶数平方的性质。任何一个偶数的平方，都是4的倍数。
这是因为偶数可以用2k（k为整数）表示，而（2k）2＝4k2
显然，4k2是4的倍数，即偶数的平方为4的倍数。
例如，2162=46656
46656÷4=11664
即4|46656
【整数运算奇偶性】整数运算的奇偶性有以下四条：
（1）两个偶数的和或差是偶数；两个奇数的和或差也是偶数。
（2）一个奇数与一个偶数的和或差是奇数。
（3）两个奇数之积为奇数；两个偶数之积为偶数。
（4）一个奇数与一个偶数之积为偶数。
由第（4）条性质，还可以推广到:
若干个整数相乘，只要其中有一个整数是偶数，那么它们的积就是个偶数。
【偶数运算性质】偶数运算性质有：
（1）若干个偶数的和或者差是偶数。
（2）若干个偶数的积是偶数。
例如，四个偶数38、126、672和1174的和，是偶数2010；用偶数相减的算式3756-128-294-1350的
差，也是偶数1984。
【奇数运算性质】奇数运算性质有：
（1）奇数个奇数的和（差）是奇数；偶数个奇数的和（差）是偶数。
（2）若干个奇数的积是奇数。
2．整除性质或定理
【最大公约数定理】
定理一如果第一个数能被第二个数整除，那么第二个数就是这两个数的最大公约数。
证明：由于b|a，b|b，∴b是a、b的公约数。
又由于比b大的数不可能是b的约数，也不可能是a、b的公约数，所以，（a，b）=b。
定理二如果第一个数除以第二个数，余数不等于零，那么这两个数的最大公约数，就是第二个数与
这个余数的最大公约数。即
如果a÷b=q（余r）（r≠0），
那么（a，b）=（b，r）。
证明设p是a、b两数的一个公约数，∴a÷b=q（余r），
又∵p|a，p|b，
∴p|r（根据“有余除法”的整除性定理--定理五）。
因此，a、b两数的公约数，一定是b、r两数的公约数。
又因为a、b的公约数与b、r的公约数是完全一致的，所以，它们的最大公约数也完全是一致的。即
（a，b）＝（b，r）。
（注：定理二是用“辗转相除法”求最大公约数的理论依据。）
【最大公约数的性质】最大公约数具有以下一些性质：
（1）两个数分别除以它们的最大公约数，所得的两个商是互质数。
例如，（45，27）=9（此式表示“45和27的最大公约数是9”）
45÷9=5，27÷9=3，（5，3）=1，
所以，所得的两个商5和3是互质数。
（2）两个数的最大公约数的约数，都是这两个数的公约数。
例如，（48，60）=12，
12的约数有1，2，3，4，6，12。
1，2，3，4，6，12也都是48和60的公约数。
（3）两个数的公约数，都是这两个数的最大公约数的约数。
例如，（32，48）=16；
32和48的公约数有1，2，4，8，16；
1，2，4，8，16也都是16的约数。
（4）两个数都乘以一个自然数m，所得的两个积的最大公约数，等于这两个数的最大公约数乘以m
的积。这就是
如果（a，b）=c，m≠0
那么（am，bm）=cm。
例如，（24，32）=8，
则（24×2，32×2）=8×2，
即（48，64）=16
（5）若两个数都除以它们的一个公约数m，则所得的两个商的最大公约数，等于这两个数的最大公
约数除以m的商。这就是
如果（a，b）=c，且m|a，m|b（即m能整除a，m能整除b，也就是m是a和b的公约数）；
例如，（24，32）=8，
【最小公倍数的性质】最小公倍数的性质如下：
（1）两个数的任意一个公倍数，都是它们的最小公倍数的倍数。
例如，[4，6]=12（它表示“4和6的最小公倍数是12），则4与6的其他任何一个公倍数24、36、48……，
就都是最小公倍数12的的倍数。
（2）两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个数的乘积。这就是（a，b）·[a，b]=a·b。
例如，（24，32）×[24，32]
=8×96
=768
而24×32=768，
∴（24，32）×[24，32]=24×32
【和差整除性定理及推论】
定理一如果两个数都能被同一个自然数整除，那么它们的和（或差）也能被这个自然数整除。
用字母表达，就是
如果ba，ca，且b＞c，那么，（b+c）a，或者（b-c）a。
（符号“”是整除符号，如“ba”读做“b能被a整除”，或“a能整除b”。）
它也可以表达为
如果a|b，a|c，且b＞c，那么a|（b+c），或者a|（b-c）。
（符号“|”也是整除符号，但写的前后顺序与“”符号恰好相反。“a|b”读做“a能整除b”，或者
读作“b能被a整除”。）
例如，123，153，则（12+15）3，或者（15-12）3。
改用另一种整除符号“|”表达，就是
如果3|12，3|15，
那么3|（12+15），3|（15-12）。
推论一如果若干个数都能被同一个自然数整除，那么它们的和也能被这个自然数整除。也就是：
如果am，bm，cm，……，dm，
那么（a+b+c+……+d）m。
或者是：
如果m|a，m|b，m|c，……，m|d，
那么，m|（a+b+c+……+d）
例如，11|22，11|33，11|99，11|121，
那么，11|（22+33+99+121）。
定理二如果两个数中的一个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和（或差）能被这个自然数整
除的充分必要条件是：另一个数也能被这个自然数整除。也就是：
如果am，那么（a+b）m的充分必要条件是bm；
如果am，那么（a-b）m的充分必要条件是ba。
推论二如果两个数中，一个数能被某一自然数整除，另一个数不能被这个自然数整除，那么，它们
的和（或差）也不能被这个自然数整除。也就是：
如果am，b不m，
那么（a+b）不m，（a-b）不m。
（“不”是不能整除的符号）或者是：如果m|a，mb，
那么m（a+b），m（a-b）
（“”也是不能整除的符号）
例如，7|35，720，
那么，7（35+20），7（35-20）。
推论三如果两个数的和及其中的一个加数能被同一个自然数整除，那么另一个加数也能被这个自然
数整除。也就是
如果（a+b）m，am，则bm。
例如，两数的和408，其中的一个加数248，那么另一个加数168。
【整除的传递性】“整除的传递性”见下面的“定理三”。
定理三如果第一个数能被第二个数整除，第二个数能被第三个数整除，那么第一个数也能被第三个
数整除。这也就是
如果ab，bc，那么ac。
例如，4824，246，则486。
【积的整除性定理及推论】积的整除性定理见“定理四”。
定理四一个数如果能被某一自然数整除，则这个数的整数倍数，也能被这个自然数整除。这也就是
如果ab，m为整数，那么amb。
例如，217，则（21×11）7，即2317。
推论在若干个数的积中，如果有一个因数能被某一个自然数整除，那么，它们的积也能被这个自然
数整除。用字母来表达，可以是
在abc中，若am，则abcm。
例如，在算式“11×19×21”中，因217，所以（11×19×21）7。
【有余除法整除性定理】
定理五在有余数的除法里，如果被除数和除数都能被同一个自然数整除，那么余数也能被这个自然
数整除。用字母来表达，就是
如果a÷b＝q……r，
且am，bm，
那么rm。
例如，在84÷49=1……35中，
847，497，则357。
定理六在有余数的除法里，如果除数和余数都能被同一个自然数整除，则被除数也能被这个自然数
整除。用字母表达，就是
如果a÷b=q……r，
且bm，rm，
那么am。
例如，在3029÷91=33………26中，
由9113，2613，
可知302913。
3．比和比例的定理或性质
【比的性质】比的前项和后项都乘以（或除以）不等于零的同一个数，比值不变。这叫做“比的性质”
（或“比的基本性质”）。用字母表示，就是
a∶b=（a×m）∶（b×m）（m≠0，n≠0）
=（a÷n）∶（b÷n）
例如，1∶0.75=（1×100）∶（0.75×100）
=100∶75
=（100÷25）∶（75÷25）
=4∶3
【比例基本性质】在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做“比例的基本性质”。
反过来，如果两个数的积等于另外两个数的积，则这四个数成比例。这一性质，又称“比例的性质定
理”。用字母表达，就是：
比例的基本性质：
如果a∶b=c∶d，
那么ad=bc。
比例的性质定理：
如果ad=bc，
那么a∶b=c∶d。
例如，若有3∶4=6∶8，则有3×8＝4×6。
反之，若有3×6=2×9，则有3∶2=9∶6。
特殊的，如果比例的两个内项相同，即a∶b=b∶c，则有b2=ac。反过来也是成立的。此处的“b”，
叫做a和c的“比例中项”。
例如，2∶4=4∶8，则42=2×8。4是2和8的比例中项。反过来，如果62=4×9，则4∶6=6∶9。这
里的6是4和9的比例中项。
【反比定理】在一个比例中，两个比的前、后项同时交换位置，比例式仍然成立。用字母表达，就是
如果，2∶6=3∶9，则6∶2=9∶3。
【更比定理】一个比例的两个内项（或两个外项）交换位置，比例式仍然成立。用字母表达就是
例如，若3∶4=6∶8，
则3∶6=4∶8（交换内项）；
或8∶4=6∶3（交换外项）。
【合比定理】比例式中，一个比的前、后项之和与其后项的比，等于另一个比的前、后项之和与其后
项的比。用字母表达，就是
例如，3∶4=6∶8，
则（3+4）∶4=（6+8）∶8，
即7∶4=14∶8。
【分比定理】比例式中，每一个比的前项减后项的差与它的后项的比相等。用字母表达就是
例如，8∶6=4∶3，
则（8-6）∶6=（4-3）∶3，
即2∶6=1∶3。
【合分比定理】比例式中，每一个比的前、后项之和与它的前项减后项的差的比相等。用字母表达就
是
例如，5∶2=25∶10，
则（5+2）∶（5-2）=（25+10）∶（25-10），
即7∶3=35∶15。
【等比定理】如果若干个比相等，那么这些比的前项之和与它们的后项之和的比，仍等于原来的每一
个比。用字母表达就是
例如，1∶2=3∶6=4∶8，
则（1+3+4）∶（2+6+8）=1∶2=3∶6=1∶8，
即8∶16=1∶2=3∶6=4∶8。
4．几何公理、定理或性质
【直线公理】经过两点有一条直线，并且只有一条直线。
【直线性质】根据直线的公理，可以推出下面的性质：
两条直线相交，只有一个交点。
【线段公理】在所有连结两点的线中，线段最短。（或者说：两点之间线段最短。）
【垂线性质】
（1）经过一点，有一条而且只有一条直线垂直于已知直线。
（2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。（也可以简单地说成：垂线段最短。）
【平行公理】经过直线外一点，有一条而且只有一条直线和这条直线平行。
【平行公理推论】如果两条直线都和第三条直线平行，那么，这两条直线也相互平行。
【有关平行线的定理】
（1）如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行。
（2）如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么，这条直线也和另一条垂直。
【三角形的特性】三角形有不变形的特性，一般称其为三角形的稳定性。由于三角形有这一特性，所
以在实践中它有广泛的应用。
【三角形的性质】三角形的性质（或定理及定理的推论），一般有：
（1）三角形任意两边的和大于第三边；三角形任意两边的差小于第三边。
（2）三角形三内角之和等于180°。
由三角形上述第（2）条性质，还可以推出下面的两条性质：
①三角形的一个外角，等于它不相邻的两个内角之和。如图1.1，∠4=∠1+∠2。
②三角形的一个外角，大于任何一个同它不相邻的内角。如图1.1，
∠4＞∠1，∠4＞∠2。
【勾股定理】在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方。
用字母表达就是a2+b2=c2。（a、b表直角边长，c表斜边长。）
我国古代把直角三角形叫做“勾股形”，直立的一条直角边叫做“股”，另一条直角边叫做“勾”，斜
边叫做“弦”。所以我国将这一定理称为“勾股定理”。
勾股定理是我国最先发现的一条数学定理。而古希腊数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）较早地证明了
这个定理。因此，国外常称它为“毕达哥拉斯定理”。
【平行四边形的性质】
（1）平行四边形的对边相等。
（2）平行四边形的对角相等。
（3）平行四边形邻角的和是180°。如图1.2，∠A+∠B=∠B+∠C=∠C+∠D=∠D+∠A=180°。
（4）平行四边形的对角线互相平分。如图1.2，AO=CO，BO=DO。
平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心。
【长方形的性质】
长方形除具有平行四边形的性质以外，还具有下列性质：
（1）长方形四个角都是直角。
（2）长方形对角线相等。
长方形是中心对称图形，也是轴对称图形。它每一组对边中点的连线，都是它的对称轴。
【菱形的性质】菱形除具有平行四边形的性质以外，还具有下列性质：
（1）菱形的四条边都相等。
（2）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。例如图1.3，AC⊥BD，AO=CO，
BO=DO，AC平分∠A和∠C，BD平分∠B和∠D。
菱形是中心对称图
形，也是轴对称图形，它每一条对角线都是它的对称轴。
【正方形的性质】正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
【多边形内角和定理】n边形的内角的和，等于（n-2）·180°。（又称“求多边形内角和”的公式。）
例如三角形（三边形）的内角和是
（3-2）×180°=180°；
四边形的内角和是
（4-2）×180°=360°。
【多边形内角和定理的推论】
（1）任意多边形的外角和等于360°。
这是因为多边形每一个内角与它的一个邻补角（多边形外角）的和为180°，所以，n边形n个外角
的和等于n·180°-（n-2）·180°=360°。
（2）如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。
例如图1.4，∠1的两边分别垂直于∠A的两边，则∠1+∠A=180°，即∠1与∠A互补。
又∠2、∠3、∠4的两边也分别垂直于∠A的两边，则∠3和∠A也互补，而∠2=∠A，∠4=∠A。
【圆的一些性质或定理】
（1）半径相等的两个圆是等圆；同圆或等圆的半径相等。
（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆。
（3）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
（4）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
（5）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
【轴对称图形的性质】轴对称图形具有下面的性质：
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对应点的连结线段被对称轴垂直平分。
例如图1.5，图中的AA′对称点连结线段，被对称轴L垂直且平分，即L⊥AA′，AP=PA′。
（2）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或其延长线相交，那么，交点在对称轴上。
例如图1.5中，BA与B′A′的延长线相交，交点M在对称轴L上。
（3）两个关于某直线对称的图形，一定是全等形。
例如，图1.5中△ABC与△A′B′C′全等。
【中心对称图形的性质】如果把一个图形绕着一个点旋转180°后，它和另一个图形重合，那么，这
两个图形就是关于这个点的“中心对称图形”。
中心对称图形具有以下性质：
（1）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
例如，图1.6中对称点A与A′，B与B′，C与C′，它们的连线都经过O（对称中心），并且OA=OA′，
OB=OB′，OC=OC′。
（2）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
5．其他定理或性质
【算术基本定理】任意一个大于1的整数，都能表示成若干个质数的乘积，如果不计质因数的顺序，
则这个分解式是唯一的。即任意一个大于1的整数
a=[p1×p2×p3×……×pn（p1≤p2≤p3≤……≤pn）其中p1、p2、p3、…、np都质数；并且若
a=q1×q2×q3×…qm（q1≤q2≤q3≤…≤qm）
其中q1、q2、q3、…、qm都是质数。那么，m=n，qi=pi（i=1，2，3，…，n）
当这个整数是质数时是符合定理的特例。
上述定理，叫做“算术基本定理”。
【方程同解变形定理】方程的同解变形，有下列两个基本定理：
定理一方程两边同时加上（或同时减去）同一个数或整式，所得的方程与原方程同解。
根据这一同解定理，可把方程中某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边。这种变形叫做移项。
例如，解方程3x=2x+5。
解移项，得
3x-2x=5
合并同类项，得
x=5。
定理二方程两边同时乘以（或除以）同一个不是零的数，所得的方程与原方程同解。
是同解的。
【一笔画的性质】为掌握“一笔画”的性质，先介绍“一笔画”的有关概念。
图──用若干条线（不一定是直线段）把一些点连接起来的图形，如图1.7。这些点叫图的顶点，如A、
B、C、D；这些线叫图的边，如AB、AC、AD等。
点的次--每个点上所连接的线的条数，叫做这个点的“次”。如图1.7中，A点有五条线与它相连，B
点有三条线与它相连，则A点的次为5；B点有三条线与它相连，则B点的次为3。
奇点--点的次数为奇数，则这个点为“奇点”。如图1.7中的A、B、C、D点，全部都是奇点。
偶点--点的次数为偶数，则这个点叫做“偶点”。
如图1.8中的B点（4次）、D点（2次），都是偶点。一笔画问题--在图1.8中，能否从A点（或其他
点）出发，不重复任一边（点可随便经过若干次）而一笔画出全图的问题，叫做“一笔画问题”（也称“七
桥问题”，见本书第九部分“七桥问题”词条）。
能一笔画的图形，具有下面两条性质：
（1）若一个图形中，奇点的个数不大于2，则这个图形必能一笔画成，否则就不能画成。
例如图1.7中，奇点有A、B、C、D四个，它无论从哪一点出发，都是不可能一笔画成的。而图1.8
中，奇点只有A、C两个，它是可以一笔画成的。其画法可如图1.9所示：从A点出发，经1到C，经2到
D，经3到B，经4到A，又经5到B，再经6到A，然后经7到C，完成全图。显然，此图的画法并不止
于这一种，这只是多种画法中的一种画法。
（2）若一个图中没有奇点，那么始点和终点必须重合；若一个图中有两个奇点，则这两个奇点必是
起点和终点。
例如图1.10中，点A、B、C均为偶点，没有奇点。若从A点出发，按图外箭头所指的方向，经①、
②、③、④、⑤，便又回到了A点。这样，A点便既是始点又是终点。而图1.8中有A、C两个奇点，按性
质（1）中的画法，可从A点出发，到C点结束，A是始点，C是终点。图1.9（也可以从C点出发，到A
点结束，C为始点，A为终点。）