中垂线定理
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2023年2月22日发(作者：康宁眼镜)---
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与中垂线有关的问题
【基础知识精讲】
一条直线经过线段中点且与该线段垂直，则称该直线为线段的垂直平分线.
线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合.1.定理：垂直平分线上的
点到线段两端距离相等，2.逆定理：到线段两端距离相等的点在线段中垂线上.1
的证明，利用了全等三角形，2的证明利用等腰三角形的“三线合一”的性质.
【重点难点解析】
例1已知△ABC中，AB，BＣ，ＣＡ的中垂线分别为l1
,l2
,l3
（图1）.求证l1
,l2
,l3
三
线共点.
图1
例2若三角形三边的中垂线的交点在某一边上，则该三角形一定是()
A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形
图2
例3如图3,△ABC中∠A=120°AB=AC,AB的中垂线交AB于D，BC于F.
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则
BC
BE
=.
例4如图4，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于E，BC延长线于F，
求证∠CAF=∠B.
图4
【难题巧解点拨】
例1△ABC中，∠A=90°,AB=AC,D、E、F分别在AB，AC，BC上，且AD=AE，CD
为EF中垂线，求证BF=2AD(图5).
图5
例2如图6，AD为△ABC的高，∠B=2∠C，BD=5，BC=20，求AB.
图6
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【同步达纲练习】
一、判断
()1.三角形两边的垂直平分线交在三角形一边上，该三角形为等边三角形.
()2.到三角形三顶点距离相等的点在三角形内.
()3.到三角形距离三边相等的点是三条中垂线的交点.
()4.四边形ABCD中共有一点P，使PA=PB=PC=PD，则∠A+∠C=180°.
()5.和线段两端距离相等的点只有线段的中点.
()6.和线段两端相等的点不一定在线段上.
二、选择题
1.到三角形三个顶点距离相等的是()
A.三条中线交点B.三条高的交点C.三条角平分线的交点D.三条中垂线的交点
2.线段AB外有两点C，D(在AB同侧)使CA=CB，DA=DB，∠ADB=80°,∠CAD=10°,
则∠ACB=()A.90°B.100°C.110°D.120°
为CE的中垂线，A在CB延长线上，∠C=34°,则∠ABE=()
A.17°B.34°C.68°D.136°
4.O为△ABC三边中垂线的交点，则O称为△ABC的()
A.外心B.内心C.垂心D.重心
5.若三角形一边中垂线过另一边中点，则该三角形必为()
A．钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形
图7
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6.△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°AC的中垂线交AC于E.交AB于D，(图7)则图中
60°的角共有()
A．6个B.5个C.4个D3个
三、填空
1.△ABC中，AB=AC，P为形内一点，PB=PC，则P在的中垂线上，P还在∠
的平分线上.
2.△ABC中，AB=AC=14，腰AB的中垂线交AC于D，△BCD周长为4cm,则BC=.
3.△ABC中，AB=AC，∠A=120°,AB中垂线交BC于E，则
BC
BE
=.
4.正△ABC内一点O到三边距离相等，且OA=OB=OC.则∠BOC=.
5.△ABC的边AC、BC的中垂线交于AB上一点O，且OC=BC，则∠A=.
6.若PA=PB，DA=DB，则PD是AB的.
四、解答
1.△ABC中，∠C=90°,AB的中垂线交AB于D，AC于E.且∠EBC=40°,求∠A及∠BED
的度数.
2.已知O为等边三角形三边中线交点，求证BO与CO的中垂线必三等分BC.
【素质优化训练】
为△ABC的角平分线，DE∥AC,交AB于E.过E作AD的垂线交BC延长线于
F(图8),求证
2
1
（∠BAC+∠AFC）=90°-∠B.
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2.如图9，△ABC中，AB=AC，AE∥BC,D为直线AE上任一点.求证DB+DC
＞2AB.
【拓展训练】
例1：如图1，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△
BCE的周长等于50，求BC的长.
点评：此题是△ABC中一边AB的垂直平分线AC相交;那么当AB的垂直平分线与BC相交时，
(如图2),对应的是△ACE的周长，它的周长也等于AC+BC.图形变化，但结论不变.
变式1：如图1，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若∠BEC=70°，
则∠A=.
变式2：如图3，在Rt△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E。若BE=2，∠B=15°
求：AC的长。
例2:如图5，在△ABC中，AB=AC,BC=12,∠BAC=120°,AB的垂直平分线交BC边于点E,AC
B
C
A
E
D
A
B
C
D
E
图2
A
E
D
C
B
图3
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的垂直平分线交BC边于点N.
(1)求△AEN的周长.
(2)求∠EAN的度数.
(3)判断△AEN的形状.
变式1:如图6，在△ABC中，AB=AC,BC=12,∠BAC=130°,AB的垂直平分线交BC边于点E,AC
的垂直平分线交BC边于点N.
(1)求△AEN的周长.
(2)求∠EAN的度数.
(3)判断△AEN的形状.
变式2:如图7，在△ABC中，BC=12,∠BAC=100°,AB的垂直平分线交BC边于点E,AC的垂直
平分线交BC边于点N.
(1)求△AEN的周长.
(2)求∠EAN的度数.
【课后练习】
1、如图，已知：AB=BC=14㎝，DE垂直平分AB，交BC于E，AC=8㎝。求△AEC的周长。
2、如图，已知：在△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，DE垂直平分AB，BD=8。求AC的长。
3、如图，已知AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F。求证：AD⊥EF。
A
BC
D
E
M
N
A
B
C
D
E
M
N
N
E
M
D
A
B
C
F
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
E
D
CB
A
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4、如图，已知△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=20，BD:CD=5:3，求点D到AB的距
离。
5、如图，已知：AB∥CD，BE、CF分别是∠ABC、∠BCD的平分线，EF垂直平分BC。求证：
BE=CF。
7、如图，已知△ABC中，∠ABC的平分线与AC的中垂线相交于点N，ND⊥AB于D，NE
⊥BC于E。求证：AD=CE。
8、如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AC于E，BE∥DF，EF=1。求点F
到的BC距离。
N
M
E
D
C
B
A
F
E
DC
B
A
DCB
A
G
F
E
D
C
B
A