幂函数知识点
路上奔跑-安徽行政区划图
2023年2月22日发(作者：形容天空)幂函数定义：
形如y=某^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的
函数称为幂函数。
定义域和值域：
当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，
那么函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，那么某肯定不能为0，不
过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，那么
某不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，那么
函数的定义域为不等于0的所有实数。当某为不同的数值时，幂函数的值域的不
同情况如下：在某大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在某小于0时，那
么只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函
数的值域。
性质：
对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：
排除了为0与负数两种可能，即对于某>0，那么a可以是任意实数;
排除了为0这种可能，即对于某0的所有实数，q不能是偶数;
排除了为负数这种可能，即对于某为大于且等于0的所有实数，a就不能是负
数。
总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
如果a为任意实数，那么函数的定义域为大于0的所有实数;
如果a为负数，那么某肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的
奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，那么某不能小于0，这时函数的定义域为大
于0的所有实数;如果同时q为奇数，那么函数的定义域为不等于0的所有实数。
在某大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在某小于0时，那么只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数，0才进入函数的值域。
由于某大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象
限的各自情况。
可以看到：
(1)所有的图形都通过(1，1)这点。
(2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减
函数。
(3)当a大于1时，幂函数图形下凹;当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。
(4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。
(5)a大于0，函数过(0，0);a小于0，函数不过(0，0)点。
(6)显然幂函数无界。
趣谈平分
把饼那样的物体分成2等份，可以采用一个人切而让另一个人挑的方法，这
样分的优点是很明显的。在第一个人看来，他必须把饼分成他认为价值相等的两局
部，才能保证得到他应得的那一局部；而第二个人只要选取价值大的那一局部，或
在两局部价值相等的情况下任选其中一局部，就能保证他得到他至少应得的那一局
部。在这里，我们假定物体具有在分割时不会损失它的总价值。
假设要把一个物体分成3或假设干等份，我们可以采用这样的方法：这里以5
个人分配来说明，对于任意多个分配者，分法大致是相同的。我们把这5个人叫
做甲、乙、丙、丁、戊。甲有权利从饼上割下任一局部；乙有把甲所割出的一块减
少的自由，但没有人强迫他这样做；然后丙又有减少这一块的自由，这样继续下去。
假定最后是戊接触这块饼，那么由戊拿走这块饼，然后把剩余的饼在甲乙丙丁四人
之间平分。第二轮可一用同样的步骤把参加的人数减少到三，以此分配下去。现在
我们来看，每一个参加分配的人应如何做才能保证自己应得的那一局部归自己。在
第一轮甲割下它认为值1/5的一块后，很可能没有人再去碰它而甲就到达值1/5
的那一局部；在这种情况下，他没有做错。然而，如果有另一个或几个人减少了这
块饼，那么最后接触到他的人就要得到它，所以甲当然认为价值超过/5的饼被留
下由4个人平分，而他是这4个人中的一个。在第二轮甲照前面的办：如果他仍
就是第一个，那么他割下认为有余下局部1/4价值的那一块。这个策略还不完全，
我们还应指出一个分配者在他不是第一时应怎样做。假定乙认为甲所个下的局部太
大，也就是比他估计的整个饼的1/5大了，那么他只要把它减少到他认为适当的
大小；如果他成为最后一个减少这局部饼的人，他就得到了它，而且并没有做错，
如果他没有得到它，那是因为在乙以后又有别的人接触了它。因而在乙以后的减小
者中有一人要得到被乙认为是价值小于1/5的一块饼，所以乙在下一轮将参加分
配他认为价值大于原来4/5的局部。现在方法就清楚了：如果你在任一轮中是n
个分配者的第一个，那么不管放在你面前的是整个饼还是余下的局部，你总应该割
下你认为价值时这局部饼的1/n的一块；如果你在这一轮中不是第一个，而且你
看到由别人割下的一块比你估计的那局部饼的1/n大，那你就把它减小到1/n；
如果割下的你估计的那局部饼的1/n小，那你就不要动它。这个方法保证每一个
人得到他认为是应得的局部。高中地理
在经济生活中，存在着另一种分配问题：分配的是不能分割的物体，如房子、
家畜、家具、汽车、艺术品等。例如一笔遗产，包括：一座房子、一座磨坊和一辆
汽车，要在享有同等继承权的四个继承人甲乙丙丁之间分配，需要一个公正人，请
读者想一想，应如何去做？
高中数学再次梳理知识
1、再次梳理知识，及时查漏补缺
这阶段，许多考生备考状况是杂乱无章，没有头绪，心中无底，忐忑不安，效
率低下。其实最需做的仍是梳理知识网，查漏补缺。一般来说，在梳理过程中难免
会遇到不是很明白的地方，这时需翻书对照，防止概念错误。另外，要进行重要和
典型问题的解题方法的归纳，只有这样才能以不变应万变，这里要注意各种方法的
适用范围，防止只是形式的简单套用导致原理错误，比方在做数列问题时不要简单
套用连续函数的性质，注意离散和连续函数的区别。
2、适量模拟练习，保持临考状态
考前50天一定要有针对性进行套卷训练，一是通过模拟可以查漏补缺，二是
提高应试能力，包括答题技巧，心理调节。建议大家练几套有标准答案和评分标准
的模拟卷(包括近几年高考卷)，并且自批自改，在模拟练习时一定要了解评分标准，
对照评分标准自我修正，提高得分的时机，力争减少无谓的失分，保证会做的不错
不扣分，即使不完全会做，也应理解多少做多少，增加得分时机。
3、全科规划意识，突破偏文学科
冲刺阶段，一定要有全科规划意识，高考是看总分的，不管是强势学科还是弱
势学科都要有相应的时间分配方案，做到重点学科重点突破。实践说明后期在记忆
性学科上多下功夫，会立竿见影，象语文，英语，文综，生物等，考生应向这些学
科适当倾斜。但是思维性强的学科，如数学，物理，假设几天不做会上手慢，出错
率高，因此在后期也应该安排一定的时间去做去练，保持一个良好的临考状态。
4、调整心理状态，争取笑到最后
高考临近，有些考生精神过度紧张，甚至病倒。因此提醒大家，防止两个极端
的做法，一是彻底放松，破坏了长期形成的生物钟，会适得其反。另一个就是挑灯
夜战，加班加点，导致考前过度疲劳，临考时打不起精神。建议考生，休息调整是
必要的，但必须的是微调，特别要把兴奋状态逐步调整到上午9：00——11：30，
下午3：00——5：00。高考前还要注意饮食的科学性和规律性，不能大吃大喝，
宜清淡又要保证全面营养，总之，生活有节奏，亦张亦弛，保持心态平稳。同时考
前保持必胜的信心是非常必要的，走进考场要信心百倍，即使遇到困难也不要慌张，
自我暗示，及时调整，只要大家精心准备，充满自信，沉着应战，就一定能笑到最
后!
三角函数的性质及三角恒等变形
一.本周教学内容：三角函数的性质及三角恒等变形
【考点梳理】
一、本章内容
1.角的概念的推广，弧度制．
2.任意角的三角函数、单位圆中的三角函数、同角三角函数的根本关系、正弦、
余弦的诱导公式．
3.两角和与差的正弦、余弦、正切，二倍角的正弦、余弦、正切．
4.正弦函数、余弦函数的图像和性质、周期函数、函数y=Ain〔ω某〕的图
像、正切函数的图像和性质、三角函数值求角．
5.余弦定理、正弦定理．利用余弦定理、正弦定理解斜三角形．
二、本章考试要求
1.理解任意角的概念、弧度制的意义，并能正确地进行弧度和角度的换算．
2.掌握任意角的三角函数的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三
角函数的根本关系，掌握正弦、余弦的诱导公式，了解周期函数和最小正周期的意
义，了解奇函数、偶函数的意义．
3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、
正切公式．
4.能正确地运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．
5.了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函
数、余弦函数和函数y=Ain〔ω某〕的简图，理解A、ω、的意义．
6.会由三角函数值求角，并会用符号
【命题研究】
分析近五年的全国，有关三角函数的内容平均每年有25分，约占17%．的内
容主要有两方面；其一是考查三角函数的性质和图象变换；尤其是三角函数的最大
值、最小值和周期，题型多为选择题和填空题；其二是考查三角函数式的恒等变形，
如利用有关公式求值，解决简单的综合问题，除了在填空题和选择题中出现外，解
答题的中档题也经常出现这方面的内容，是命题的一个常考的根底性的题型．其命
题热点是章节内部的三角函数求值问题，命题新趋势是跨章节的学科综合问题．的
走势，表达了新课标的理念，突出了对创新的考查．
如：福建卷的第17题设函数，
〔2〕假设函数的图象按向量平移后得到函数的图象，求实数的值．此题“重
视拓宽，开辟新领域”，将三角与向量交汇．
【策略】
三角函数是传统知识内容中变化最大的一局部，新教材处理这一局部内容时有
明显的降调倾向，突出“和、差、倍角公式”的作用，突出正、余弦函数的主体地位，
加强了对三角函数的图象与性质的考查，因此三角函数的性质是本章复习的.重
点．第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上，要注重抓根本知识点的落实、根
本的再认识和根本技能的掌握，力求系统化、条理化和网络化，使之形成比拟完整
的知识体系；第二、三轮复习以根本综合检测题为载体，综合试题在形式上要贴近
高考试题，但不能上难度．当然，这一局部知识最可能出现的是“结合实际，利用
少许的三角变换〔尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的应用〕来考查三角函
数性质”的命题，难度以灵活掌握倍角的余弦公式的变式运用为宜．由于三角函数
解答题是根底题、常规题，属于容易题的范畴，因此，建议三角函数的复习应控制
在课本知识的范围和难度上，这样就能够适应未来高考命题趋势．总之，三角函数
的复习应立足根底、加强训练、综合应用、提高能力．
解答三角函数高考题的一般策略：
〔1〕发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”．
〔3〕合理转化：选择恰当的三角公式，促使差异的转化．
三角函数恒等变形的根本策略：
〔1〕常值代换：特别是用“1”的代换，如1=co2θin2θ=tan某cot某=tan45°
等．
〔2〕项的分拆与角的配凑．如分拆项：in2某2co2某=〔in2某co2某〕co2
某=1co2某；配凑角：α=〔αβ〕－β，β=－等．
〔3〕降次，即二倍角公式降次．
〔4〕化弦〔切〕法．将三角函数利用同角三角函数根本关系化成弦〔切〕．
〔5〕引入辅助角．ainθbcoθ=in〔θ〕，这里辅助角所在象限由a、b的符号
确定，角的值由tan=确定．
典型例题分析与解答
例1、
解法二：〔从“名”入手，异名化同名〕
的图像过点，且的最大值为的解析式；〔2〕由函数图像经过平移是否能得
到一个奇函数解析：〔1〕，解得，
所以，将的图像，再向右平移单位得到的图像先向上平移1个单位，再向右
平移单位就可以得到奇函数点评：此题考查的是三角函数的图象和性质等根底知
识，这是高考命题的重点内容，应于以重视．
例3、为使方程内有解，那么的取值范围是〔〕
分析一：由方程形式，可把该方程采取换元法，转化为二次函数：设in某=t，
那么原方程化为，于是问题转化为：假设关于的一元二次方程上有解，求的取值
范围，解法如下：
分析二：上的值域．
解法如下：
点评：换元法或方程思想也是高考考查的重点，尤其是计算型试题．
例4、向量的值．
所以；
〔2〕，所以，所以，所以点评：本小题主要考查平面向量的概念和计算，
三角函数的恒等变换的根本技能，着重考查数学运算能力．平面向量与三角函数结
合是高考命题的一个新的亮点．
例5、向量，向量，且，
〔1〕求向量与向量的夹角为，向量为依次成等差数列，求的取值范围．
解析：〔1〕设，由，有①
向量，有，那么②
由①、②解得：
〔2〕由垂直知，
由，那么，
例6、如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的
地方种草，△ABC的内接正方形PQR为一水池，其余的地方种花.假设BC=a，
∠ABC=
〔1〕用a，变化时，求取最小值时的角解析：〔1〕，那么
固定，
令
函数在上是减函数，于是当．
点评：三角函数有着广泛的应用，此题就是一个典型的范例．通过引入角度，
将图形的语言转化为三角函数的符号语言，再将其转化为我们熟知的函数的图象
的一条对称轴方程是〔〕
A.
C.D.
2、以下函数中，以为周期的函数是〔〕
A.
B.
D.
3、等于〔〕
A.
4、B.
C.D.
5、函数A、B、C、D、
6、如图，半径为2的⊙M切直线AB于O点，射线OC从OA出发绕着O点
顺时针方向旋转到OB．旋转过程中，OC交⊙M于P，记∠PMO为某，弓形PnO
的面积为，那么的图象是〔〕
7、tan15°－cot15°＝〔〕
A.2B.C.4D.
8、给出以下的命题中，其中正确的个数是〔〕
〔1〕存在实数α，使inαcoα=1；
〔2〕存在实数α，使inαcoα=；
〔3〕的值域为〔〕
A.B.C.在下面哪个区间内是增函数〔〕
A.C.
11、假设点P］内
D.
12、定义在R上的函数即是偶函数又是周期函数，假设的最小正周期是，且
当，那么B.C.
二、填空题
13、，且当P点从水面上浮现时开始计算时间，有以下四个结论：
；，那么其中所有正确结论的序号是．
15、给出问题：，试判定，去分母整理可得，．故，
〔1〕求函数的奇偶性．
18、〔1〕：，求证：的最小值为0，求某的集合．
20、在所对的边分别为，
〔1〕求，求的最大值．
21、向量，函数的周期为，当22、如图，足球比赛场的宽度为a米，球门
宽为b米，在足球比赛中，甲方边锋沿球场边线，带球过人沿直线向前推进．试
问：该边锋在距乙方底线多远时起脚射门可命中角的正切值最大？〔注：图中表示
乙方所守球门，所在直线为乙方底线，只考虑在同一平面上的情形〕．
【试题答案】
1、A2、D3、A4、A5、A6、A
7、D8、B9、B10、D11、B12、D
13、
17、解：〔1〕，
定义域：R，最小正周期为；
〔2〕，且定义域关于原点对称，
所以
〔2〕
当，
当
19、解：，因为，有，
亦即，由，
解得，
当，最大值为0，不合题意，
当，最小值为0，
当时，某的集合为：
〔2〕，又时，，故的最大值是．
21、解：〔1〕且最大值为1，所以由；
〔2〕由〔1〕知，令所以是的对称轴．
22、解：以L为某轴，D点为坐标原点，建立直角坐标系，
设AB的中点为M，那么根据对称性有
设动点C的坐标为，记，
当且仅当，
故该边锋在距乙方底线时起脚射门可命中角的正切值最大．
高一数学学习：集合大小定义的根本要求三
不过作为集合大小的定义，我们希望能够比拟任意两个集合的大小。所以，对
于任何给定的两个集合A和B，或者A比B大，或者B比A大，或者一样大，这
三种情况必须有一种正确而且只能有一种正确。这样的偏序关系被称为“全序关系”。
最后，新的定义必须保持原来有限集合间的大小关系。有限集合间的大小关系
是很清楚的，所谓的“大”，也就是集合中的元素更多，有五个元素的集合要比有四
个元素的集合大，在新的扩充了的集合定义中也必须如此。这个要求是理所当然的，
否那么我们没有理由将新的定义作为老定义的扩充。
经过精心的整理，有关“高一数学学习：集合大小定义的根本要求三”的内容已
经呈现给大家，祝大家学习愉快!
学好高中数学也需阅读积累
阅读，在语文中要抓住精炼的或生动形象的词与句，而在数学中，那么应抓住
关键的词语。比方在初二课本第一学期第21章第五节反比例函数性质的第一条：
“当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限内，在每个象限内，自变量
某逐渐增大时，y的值那么随着逐渐减小。&rdquo高中历史;这句话中，关键词语
是“在每个象限内”，反比例函数的图像为双曲线，而这个性质是对于其中某一分支
而言，并不是对整个函数来说的。所以在做题时，应注意到这一点。从这一实例来
看，我们不难发现阅读时抓住关键词语的重要性。
积累，在语文中有利于写作，在数学中有利于解题。积累包括两方面：一、概
念知识，二、错误的题目。脑子中多一些概念就多了一些思考的方法，多了一些解
题的突破口，在做较难的题目时，也就得心应手了。积累错误的题目，指挑选一些
自己平时易错或难懂的题目，记在本子上，在复习时，翻看这本本子就能更加清楚
地了解自己在哪些方面还有所欠缺，应特别注意。所以积累对学好数学起着极大的
作用。
自主复习最好各科交替进行
大局部区县都将实行全区统考，并将考生成绩进行大排队。这次考试将成为考
生填报高考志愿的重要参考依据。考生对此非常重视。元旦假期，不少考生方案把
时间都用来补习薄弱科目。
北京老师王梅生建议，在重点复习薄弱学科的同时，考生也要兼顾其他科目。
不要在一大段时间内把精力全部用在某一科目上，这样容易造成头脑疲劳，影响复
习效果。考生最好将各科交替进行，文理科兼顾，强弱科相间，单科与综合科目结
合进行。
此外，考生最好将各科复习时间安排得与考试时间同步。比方，考试第一天上
午考语文，下午考数学，第二天上午考综合，下午考英语。考生这几天最好上午复
习语文与综合，下午复习数学与英语，这样有利于在相应的时间对相应科目产生兴
趣，提快乐奋点。
提醒注意的是，考生在考前这几天，不要打乱原有的生物钟，尽量别开夜车复
习，并注意把学习与休息相结合，保证8小时睡眠和适度体育锻炼。这样才能精
力充分，保证复习效果。