函数周期公式
苏显儿-左手定则和右手定则图解
2023年2月22日发(作者：社会企业).-
.可修编.
求函数f(x)周期的几种常见方法
函数的周期性是函数的一个重要性质．对一般函数f(x)的周期，不
少中学生往往不知从何入手去求．为了加深对函数f(x)周期概念的理解，
本文以实例来说明求函数f(x)周期的几种常见方法，供读者参考．
1定义法
根据周期函数的定义以及题设中f(x)本身的性质推导出函数的周期
的方法称为定义法．
.-
.可修编.
(1)
∴f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．
注：如果题设函数方程中只有一边含有不为零的常数a，另一边与
a无关，这时周期T应取决于a，假设T能被a整除，就分别试算f(x＋2a)，
f(x＋3a)，f(x＋4a)，…，当出现f(x＋T)＝f(x)(T≠0)的形式时，就可知T
是f(x)的周期．
周期函数，若是，求出它的周期；若不是，说明理由．
(1)
∴f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]
.-
.可修编.
(2)
∴f(x)为周期函数，3a是它的周期．
2特殊值法
当题设条件中有f(m)＝n(m，n为常数)时，常常以此条件为突破口，
采用特殊值法解即可奏效．
f(x)是不是周期函数．若是，求出它的一个周期；若不是，说明理
由．
.-
.可修编.
∴f(x)为周期函数，2π是它的一个周期．
3变量代换法
例4设函数f(x)在R上有定义，且对于任意x都有f(x＋1995)＝f(x＋1994)
＋f(x＋1996)，试判断f(x)是否周期函数．若是，求出它的一个周期；若
不是，说明理由．
解在f(x＋1995)＝f(x＋1994)＋f(x＋1996)(x∈R)中，以x代x＋1995，得
f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)；
(1)
在(1)中以x＋1代x，得
f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)．
(2)
(1)＋(2)，得f(x－1)＋f(x＋2)＝0，
∴f(x－1)＝－f(x＋2)．
(3)
在(3)中以x＋1代x，得
f(x)＝－f(x＋3)；
.-
.可修编.
(4)
在(4)中以x＋3代x，得
f(x＋3)＝－f(x＋6)．
(5)
将(5)代入(4)，得f(x＋6)＝f(x)．
∴f(x)为周期函数，6是它的一个周期．
4递推法
f(x)是不是周期函数．若是，求出它的一个周期；若不是，说明理
由．
(1)
.-
.可修编.
在(1)中以x＋2代x，得
f(x＋4)＝f(x＋6)＋f(x＋2)．
(2)
(1)＋(2)，得f(x)＋f(x＋6)＝0，
∴f(x)＝－f(x＋6)．
(3)
在(3)中以x＋6代x，得
f(x＋6)＝－f(x＋12)．
(4)
(4)代入(3)，得f(x＋12)＝f(x)．
∴f(x)为周期函数，12是它的一个周期．
5消去法
例6若函数f(x)定义在R上，且对一切实数x，都有f(5＋x)＝f(5－x)，
f(7＋x)＝
f(7－x)，试判断f(x)是不是周期函数．若是，求出它的一个周期；
若不是，说明理由．
.-
.可修编.
解在f(5＋x)＝f(5－x)中以5－x代x，得
f(x)＝f(10－x)；
(1)
在f(7＋x)＝f(7－x)中以7－x代x，得
f(x)＝f(14－x)．
(2)
由(1)和(2)，得
f(10－x)＝f(14－x)．
(3)
在(3)中以10－x代x，得f(x＋4)＝f(x)．
∴f(x)是周期函数，4为它的一个周期．
6结构类比法
f(x)是不是周期函数．若是，求出它的一个周期；若不是，说明理
由．
.-
.可修编.
解：
可视sinx为本题中f(x)的一个实例，由此可设想f(x)为周期函数，
且2π是它的一个周期．下面进行证明：
于是f(x＋2π)＝f[(x＋π)＋π]＝－f(x＋π)＝f(x)．
∴f(x)为周期函数，2π是它的一个周期．
7公式法
例8已知y＝f(x)(x∈R)的图象是连续的曲线，且f(x)不为常数，f(x)的图
象关于直线x＝a和直线x＝b对称(a＜b)．
(1)求证：f(x)＝f(2a－x)，f(x)＝f(2b－x)；
(2)求证f(x)是周期函数，并求出它的一个正周期．
证明(1)∵f(x)的图象关于直线x＝a对称，且图象连续，不是平行于x
轴的直线，
∴设P(x，y)为曲线上任一点，点P关于x＝a的对称点P'的坐标为
P'(x'，y'),
.-
.可修编.
同理可证f(x)＝f(2b－x)．
解(2)由(1)可知，f(x)＝f(2a－x)＝f(2b－x)，
∴f(2a－x)＝f(2b－x)，以x代2a－x，得f[x＋(2b－2a)]＝f(x)．
∵a＜b，2b－2a＞0且为常数，
∴f(x)是周期函数，2b－2a为它的周期．
由例8可得到如下的
定理若函数y＝f(x)(x∈R)的图象关于直线x＝a和直线x＝b(a＜b)对称，
且在这两条直线之间再无对称轴，那么f(x)是周期函数，2b－2a为它的
周期．
此定理可当作一个公式用，如例6中函数f(x)的周期为2.7－2.5＝4．