求积分公式

求积分公式

肯定句变否定句-幼儿园感谢信

2023年2月22日发(作者：智能小区)

130

常用积分公式表·例题和点评

⑴dkxkxc（

k

为常数)

⑵1

1

d(1)

1

xxxc







特别,

2

11

dxc

xx

，

3

2

2

d

3

xxxc，

1

d2xxc

x



⑶

1

dln||xxc

x



⑷

d

ln

x

x

a

axc

a

,特别,edexxxc

⑸sindcosxxxc

⑹cosdsinxxxc

⑺2

2

1

dcscdcot

sin

xxxxc

x



⑻2

2

1

dsecdtan

cos

xxxxc

x



⑼

22

1

darcsin(0)

x

xca

a

ax





，特别，

2

1

darcsin

1

xxc

x







⑽

22

11

darctan(0)

x

xca

axaa



,特别，

2

1

darctan

1

xxc

x





⑾

22

11

dln(0)

2

ax

xca

axaax







或

22

11

dln(0)

2

xa

xca

xaaxa







⑿tandlncosxxxc

⒀cotdlnsinxxxc

⒁

lncsccot

1

cscdd

lntan

sin

2

xxc

xxx

x

c

x



















⒂

lnsectan

1

secdd

π

lntan

cos

24

xxc

xxx

x

c

x

























⒃

(0)

22

22

1

d===ln

a

xxxac

xa









131

⒄

2

(0)

2222d===arcsin

22

aaxx

axxaxc

a





⒅

2

(0)

222222d===ln

22

axa

xaxxaxxac





⒆

22

22

sincos

esinde

sincos

ecosde

axax

axax

abxbbx

bxxc

ab

bbxabx

bxxc

ab































⒇

1

2222212

123

d

()2(1)()2(1)nn

nn

xn

xc

axnaaxna







（递推公式）

跟我做练习

（一般情形下，都是先做恒等变换或用某一个积分法，最后套用某一个积分公式)

例24含根式2axbxc的积分

⑴2245d(2)1d(2)xxxxx[套用公式⒅]

22

21

(2)1ln(2)(2)1

22

x

xxx





⑵22

1

45d(24)445d

2

xxxxxxxx

222

1

45d(45)245d

2

xxxxxxx

(请你写出答案)

⑶

22

11

dd(2)

45(2)1

xx

xxx





2ln2(2)1xx







[套用公式⒃]

⑷

22

1(24)4

dd

2

4545

xx

xx

xxxx







2

22

1d(45)1

2d

2

4545

xx

x

xxxx









（请你写出答案）

⑸22254d3(2)d(2)xxxxx2

22

322

arcsin3(2)

232

xx

x





[套用公式⒄］

⑹22

1

54d(42)454d

2

xxxxxxxx



132

222

1

54d(54)254d

2

xxxxxxx

（请你写出答案）

⑺

222

dd(2)

543(2)

xx

xxx







2

arcsin

3

x

［套用公式⑼]

⑻



22

(42)4d

d1

2

5454

xx

xx

xxxx









2

22

1d(54)d

2

2

5454

xxx

xxxx











（请你写出答案)

例25求原函数

4

1

d

1

x

x。

解因为

)21)(21()2()1(2)21(1222222424xxxxxxxxxx

所以令

4

22

1

1

2121

AxBCxD

x

xxxx









为待定常数）DCBA,,,(

22

22

()(21)()(21)

2121

AxBxxCxDxx

xxxx







从恒等式1)12)(()12)((22xxDxCxxBAx（两端分子相等），可得方程组























（三次项系数）

（二次项系数）

（一次项系数）

常数项

0

022

022

)(1

CA

DCBA

DCBA

DB

解这个方程组（在草纸上做),得

2

1

,

22

1

,

2

1

,

22

1

DCBA

。因此，

4

1

d

1

x

x22

1111

22

2222

dd

2121

xx

xx

xxxx







右端的第一个积分为

2222

11

1(22)21(22)d11

2

22

ddd

4

2

x

xxx

xxx

xxxxxxxx









133

2

2

2

2

1d(21)11

d

4

4221

21

2

2

xx

x

xx

x





















（套用积分公式)

2

11

ln(21)arctan(21)

4222

xxx

类似地，右端的第二个积分为

2

2

11

11

2

22

dln(21)arctan(21)

214222

x

xxxx

xx







所以

4

1

d

1

x

x2

2

12111

lnarctan(21)arctan(21)

42212222

xx

xx

xx







2

2

2

12112

lnarctan

1

422122

xxx

x

xx









(见下注）

【注】根据

tantan

tan()

1tantan













,则

22

(21)(21)222

tanarctan(21)arctan(21)

2(1)1

1(21)(21)

xxxx

xx

xx

xx













因此,

2

2

arctan(21)arctan(21)arctan

1

x

xx

x





例26求

d

(01)

1cos

x

x









.【关于

d

(01)

1cos

x

x









，见例17】

解令tan

2

x

t（半角替换），则

222

22

22

coscossin2cos111

222

sec1tan

22

xxx

x

xx





2

2

1

1

t

t







2

2

dd(2arctan)d

1

xtt

t





于是,

2

22

2

d12d

d2

1

1cos1(1)(1)

1

1

xt

t

t

xtt

t















2

2d

1

1

1

t

t



















2

21

arctan

1

1

tc













22

21

arctantan

2

11

x

c











【点评】求初等函数的原函数的方法虽然也有一定的规律，但不像求它们的微分或导数

那样规范化.这是因为从根本上说，函数()yyx的导数或微分可以用一个“构造性"的公式

134

0

()()

()lim

h

yxhyx

yx

h





或d()dyyxx





确定下来，可是在原函数的定义中并没有给出求原函数的方法.积分法作为微分法的逆运算，

其运算结果有可能越出被积函数所属的函数类。譬如，有理函数的原函数可能不再是有理函

数，初等函数的原函数可能是非初等函数(这就像正数的差有可能是负数、整数的商有可能是

分数一样)。有的初等函数尽管很简单，可是它的原函数不能表示成初等函数，譬如

21esin

ed,d,d,d

ln

x

x

x

xxxx

xxx

等

都不能表示成初等函数.因此,一般说来求初等函数的原函数要比求它们的微分或导数困难得

多.我们用上面那些方法能够求出原函数的函数,只是初等函数中的很小一部分.尽管如此，我

们毕竟可以求出足够多函数的原函数，而这些正好是应用中经常遇到的函数。因此，读者能

够看懂前面那些例题并能够基本完成各节后的练习就足够了。