一阶常微分方程
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2023年2月21日发(作者：雾化器原理)2-12试分析几种简单系统（对象）的数学模型，以说明它们之间的相似性。
⑴水力系统；⑵电系统；
⑶机械系统；⑷传热系统；
⑸气动阻容组件；⑹溶液制备系统。
解⑴图2-9表示一个水槽，假定水槽的截面积为A，输出阀的线性阻力系数为R，则
根据物料平衡有：
式中V表示水槽内水的蓄存量，。另外，经过线性化后与h成线性关系，
即
，将v与代入原始方程并整理后有：
令T=RA,K=R，则有：
其相应的传递函数为：
图2-9水槽图2-10RC电路图2-11弹簧阻尼器系统
⑵图2-10是一电路，根据基本电路定律有：
两式联立，可得：
令T=RC，则上式可写为：
其相应的传递函数为：
⑶图2-11所示这一弹簧阻尼器系统。在弹簧的上端有一位多，其下端就会有一位移。
由于弹簧所受的力与变形成正比，故有：F=k(x-y)
式中F为力，为弹簧的刚度。
对于阻尼器来说，假设其产生的摩擦力与运动速度成正比，有：
式中为阻尼器的粘性摩擦系数。
由于作用在阻尼器上的力与作用在弹簧上的力是相等的，所以有：
可写成：
其相应的传递函数为
如果令，则：
⑷图2-12所示为一水银温度计。为了建立温度计的测量值与被测温度之间的数学模
型，我们忽略温度计玻璃本身的热容，只考虑温度计内水银的热容。水银具有的热量Q为：
Q=McT
式中M——水银的重量；
c——水银的比热容。
单位时间由周围环境（温度为）传给水银温度计的热量应该等水银内蓄存热量的变化率，
因此可写成下列式子：
式中a——水银温度计的等效导热系数；
F——水银温度计的外表面积。
上述方程式可改写为：
如令，则有：
其相应有传递函数G(s)为：
图2-12水银温度计
⑸图2-13所示为一气动阻容组件，由一个气阻R与一个气容C组成。当输入压力增
加时，气体将通过气阻慢慢进入气室，使气室内的压力也逐渐增加，直至为止。
当气压变化不大，气流气量不大时，通过气阻的气流量将与气阻两端的压差成正比，
即：
式中R——气阻值；图2-13气动阻容组件
G——通过气阻的气体质量流
由于气体进入气室，将使气室中的气体密度增加，根据物料平衡，单位时间进入气容的气
体量应该等于气室中气体蓄存量的变化率，即：
（2-2）
式中V——气室体积；
P——气室内气体密度。
因为气体压力不高，气室中的气体可近似看做理想气体，故符合理想气体状态方程，即：
（2-3）
式中n——气室中气体分子的摩尔数；
——通过气体常数；
——气室中气体的绝对温度；
——气室中气体的绝对压力。
气室中气体密度等于单位体积中的气体质量，即：
式中M——气室中气体的平均分子量。
将式（2-3）代入上式并求导得：
（2-4）
将式（2-4）和式（2-1）同时代入式（2-2），可得：
或
令，则有：（2-5）
式中T——时间常数。
⑹图2-14所示为一溶液制备槽。x为单位时间加入的溶质量，q为单位时间加入的溶剂
量。槽中溶液由溢流管引出，因此槽中的溶液体积为一常数。考虑到加入的溶擀很少，
故流出量等于溶剂的加入量由于搅拌均匀，故流出液的浓度等于槽中溶液浓度c，而流
入液的浓度假设为0。根据物料平衡，单位时间进入槽中的溶质量减去单位时间流出槽的溶
质量应该等于槽中溶质蓄存量的变化率，因此有：
（2-6）
如果流入流出量q为一常数，且令：
则有：
式中T——时间常数；
K——放大系数。
图2-14溶液制备槽
以上通过机理推导的方法分别建立了六个系统（或对象）的数学模型。尽管这些系统的物
理过程很不相同，但导得的数学模型却是惊人的相似。如果以x表示输入的变化量，y表
示输出的变化量，则描述x,y之间的关系的都是一阶微分方程式，即：
其传递函数亦具有相同的形式，即：
这是一个典型的一阶惯性环节。
由于各种物理过程的相似性，所以给系统的模拟与仿真提供了方便与可能。同时，通过建
立数学模型，也有得于进行系统的研究和分析。
2-13图2-16是一个有源四端网络，试建立网络的下列形式的数学模型。
⑴微分方程式；
⑵传递函数；
图2-16有源四端网络
解：⑴要建立该网络的微分方程数学模型，一般应按下列步骤进行。
①根据题意，确定模型输入、输出变量。本例可选为输入变量，电阻R上的压降作
为输出变量，目的是要建立起能够描述变化时，是如何变化的数学模型。
②根据基本的物理、化学规律列写原始方程式。本列中可根据电路基本规律列写下列方程：
（2-12）
（2-13）
（2-14）
③消去中间变量，使方程式中只含输入变量与输出变量。本例中就要设法消去中间变量
，使方程式中只含与，消中间变量的步骤可以这样进行，先由式（2-12）、式（2-13）
消去得：
（2-16）
由式（2-13）求导，可得：
将式（2-14）代入上式可得
求导可得：（2-17）
将式（2-17）代入（2-16），可得
将式（2-15）代入上式并整理可得：
（2-18）
式（2-18）就是描述与关系的微分方程式。
⑵为了求得输入输出之间的传递函数，可以将式（2-18）在零初始条件下两取拉氏变换，
可得：
式中分别为的位氏变换。于是可得传递函数为：
（2-19）
为了避免推导微分方程式中消去中间变量的繁琐过程，可以通过画方块图的方法直接求出
输入输出之间的传递函数，为此，将四个原始方程式（2-12）、式（2-13）、式（2-14）、式（2-15）
分别在零初始条件下取拉氏变换，得：
（2-20）
（2-21）
（2-22）
（2-23）
根据上述四个方程，可以分别画出其方块图如图2-17（a）、(b)、(c)、(d)所示。然后根据
信号的传递关系将图2-17中的各方块用信号线连接起来，便成为整个网络的方块图，如图
2-18