双曲线焦半径
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2023年2月21日发(作者：华兹华斯)曩 帮 ； 课夕卜ｌ翊 读 教育教学探讨
口诀记忆显奇效
双曲线焦半径公式的记忆方法
罗木维
（重庆市合川太和中学，重庆合川４０１ ５５５）
双曲线焦半径公式是双曲线的重要性质，在高考中时有考
查，必须将它记住。但因左支、右支上的点以及左、右焦点的
不同对公式右边符号均有不同的影响，符号的规律难于把握，
很难记住，因此师生对此都深感头痛。尽管利用第二定义可以
将焦半径公式推导出来，但在解题时很少有时间来推导。
那么，如何记忆双曲线的焦半径公式呢？笔者在教学中找
到一种简单快速的记法，那就是口诀记忆法： “同负异正，左
十右一，ａ￣＇ｅｘｏ后；同负异正，下＋上一，ａｈ￣ｌ＇ｅｙｏ后”。
我们知道，双曲线的标准方程有如下两类：一类焦点在ｘ
轴上，标准方程为： 一 ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）
其图象如图（１）所示，
ｙ
ｌ ＼ ／， （）【ｏ，Ｙ０
、
图（１）
ｚ
其焦半径公式如下：
（１）点Ｐ（）【０，ｙ０）在左支：
Ｉ ＰＦｌ １＝一ｅｘ０一ａ
Ｉ ＰＦ２ ｌ：一（ｅｘ０一ａ）
（２）点Ｐ（Ｘｏ，ｙｏ）在右支：Ｉ ＰＦ ｌ＝ｅｘｏ－－Ｐａ
Ｉ ＰＦ２ ｌ＝ｅｘｏ一
另一类焦点在ｙ轴上，标准方程为：
ｄ 一ｂ２＝１ （ａ＞０，ｂ＞０）
图象如图（２）所示，其焦半径公式如下：
＼
Ｐ ，ｙ０）＼
Ｌ
＼
＼
ｒ Ｘ
（１）点Ｐ（Ｘｏ，Ｙ。）在下支：
ｌ ＰＦ１ ｌ＝－－ｅｙｏ—ａ，ｌ ＰＦ２ ｌ＝一（ｅｙｏ—ａ）
（２）点Ｐ（Ｘｏ，Ｙ。）在上支：
ｌ ＰＦ１ Ｉ－－－ｅｙｏ－Ｉ－ａ，Ｉ ＰＦ２ Ｉ＝ｅｙ０一
下面，我们先就焦点在ｘ轴上的双曲线的焦半径公式加以
研究。
双曲线上的点分左支和右支上的点两种，双曲线的焦点分
左焦点和右焦点两种。我们就左支上的点到左、右焦点的距离
和右支上的点到左右焦点的距离，作如下分类和命名。
一类：左支上的点到左焦点的距
离（简称为“左左”），右支上的点
到右焦点的距离（简称为“右右”）。
这一类距离因其方位词相同称之为
“同”，即“左左，右右”为“同”。
如图（３）。
Ｊ Ｌ
图（３）
同：左左右右
另一类：左支上的点到右焦点的距
离（简称为“左右”），右支上的点
到左焦点的距离（简称为“右左”）。
这一类距离因其方位词不同，称之
为“异”，即“左右，右左”为“异”，
如图（４）。
ｙ ｌ
图（４）
异：左右右左
Ｘ
Ｘ
焦半径公式主要由ａ和ｅｘ。用不同符号连接而成，现在将焦
点在ｘ轴上的双曲线的焦半径公式右侧作如下归纳、整理：
（１）先理清ａ和ｅｘ。的顺序，将ａ放在前面，ｅｘ。放在后面，
即我谓之“ａ—ｌ３Ｕｅｘｏ后”。
（２）将ａ和ｅｘｏ按（１）所叙ＪＩ顷序放置在小括号内，得：（ａ
・１９９・
善营 曩 蓦 ｉ 课爹卜阅读 教育教学探讨ｌ
“从生活走向物理从物理走向社会’’的教学实践途径
挛杰
（黔江新华中学，重庆４０９０００）
一 问题的提出
许多物理规律源于生恬。如：牛顿的“万有引力定律”，
“惯性定律”； “电荷的相互作用规律”， “阿基米德定
律”， “光的反射定律、折射定律”， “光的色散”等等。
新一轮物理课程改革中把“从生活走向物理从物理走向社
会”作为课程改革的基础的基本理念之一，也是顺应世界发展
趋势，更是促进中学物理教学改革为国家培养高素质人才的重
要途径之一。
中学毕业，特别是高中毕业后除一部分升人高一级学继续
学习外，有相当一部分人将步入社会，将要把在中学阶段学到
的物理知识用到实际生活中去，把物理知识转化为技术，为社
会创造财富，接受社会的检验。
近几十年来科学技术飞速发展，对社会生产和生活产生了
巨大而深远的影响，从积极方面说，科学技术是第一生产力，
社会需要一大批具有科学文化知识，特别是物理知识的建设
人才，中学物理课堂是他们物理知识的来源的重要途径。形
式要求今天的物理教学必须“从生活走进物理，从物理走向
社会”。
二 如何使学生从生活走向物理
１．要让学生在生活中多观察、多思考
许多物理知识就在学生的身边，布置一些生活中可以观察
到的现象，让学生思考生活中的一些问题，无疑会培养学生良
好的学习习惯。例如：学习液化知识前，布置让学生观察从冰
箱刚拿出的饮料瓶外有水珠的现象。观察烧开水从壶嘴向外喷
“白气”的现象，并思考为什么离开壶嘴一段距离才看出“白
气”？让学生思考早晨雾是怎样形成的？草上的露珠是怎样形
ｅｘ０）。
（３）按焦点所在方位词（即左焦点中的“左”，右焦
点中的“右”）确定连接小括号内的ａ和ｅｘ。的运算符号，编出
口诀： “左＋右一”。“左＋”，即涉及左焦点的焦半径公
式中用“＋”号连接ａ和ｅｘ。，也即对左、右支上的点Ｐ（ｘ。，
Ｙ。），｛ＰＦ Ｉ中均有：（ａ＋ｅｘ。）； “右一”，即涉及右焦点
的焦半径公式中用“一”号连接ａ和ｅｘ。，也即对左、右支上的
点Ｐ（）（０，ｙ０），ｌ ＰＦ２ ｌ中均有：（ａ—ｅ】【０）。
（４）对小括号外面的符号，编出口诀：同负异正，“同
负”，即“左左，右右”所在的焦半径公式中，小括号外为
“
一”号，也即对左支上的点Ｐ（Ｘ。，Ｙ。）有ｌ ＰＦ。Ｉ＝一（ａ＋
ｅｘｏ），对右支上的点Ｐ（】【０，Ｙ０），有ｌ ＰＦ２ ｌ＝一（ａ—ｅｘ。）；
“异正”，即“左右，右左”所在的焦半径公式中，小括号外
为“＋”号，也即对左支上的点Ｐ（Ｘ０，Ｙ０），有ｌ ＰＦ Ｉ＝－ｔ－
（ａ—ｅｘ０），对右支上的点Ｐ（ｘ０，Ｙ。），有Ｉ ＰＦ。ｌ＝－４－（ａ＋
ｅｘｏ）。
如此一来，就得到口诀： “同负异正，左＋右一，ａ前ｅｘ
后”。下面，我把这些焦半径公式按如下步骤写出：
（１）左支：Ｊ ＰＦ Ｉ＝（ ）
Ｉ ＰＦ２ Ｉ＝（ ）
右支：ｌ ＰＦ Ｉ：（ ）
Ｊ ＰＦ２ Ｊ＝（ ）
（２）左支：Ｉ ＰＦ ｌ＝（ａ ｅ）【０）
ｌ ＰＦ：ｌ：（ａ ｅ】（０）（ 茸ｅｘ。后）：顺序
右支： Ｊ ＰＦｌ ｌ＝（ａ ｅｘ０）
Ｉ ＰＦ２ ｌ＝（ａ ｅ】【０）
（３）左支：Ｉ ＰＦ ｌ＝．（ａｑ－ｅｘｏ）
Ｊ ＰＦ ２ Ｉ一（ａ—ｅｘ。）（左＋右一）：
连接ａ和ｅＸｏ的符号
右支：Ｉ ＰＦ Ｉ＝（ａ＋ｅ）【ｏ）
Ｉ ＰＦ２ Ｉ＝（ａ－－ｅｘｏ）
（４）左支： Ｉ ＰＦ。Ｉ＝一（ａ－４－ｅｘｏ）
Ｉ ＰＦ２ Ｉ＝＂４－（ａ—ｅ】【０）（同负异正）：
・２００・
括号外面的符号
右支：ｌ ＰＦｌ ｌ＝－４－（ａ＋ｅｘｏ）
ｌ ＰＦ２ Ｉ＝一（ａ～ｅ】【０）
注：Ｆ ：左焦点， ：右焦点，Ｐ（ｘｏ，Ｙ。）
焦点在ｙ轴上的双曲线，可以看作是焦点在ｘ轴上的双曲线
逆时针旋转９０。而成，因此，类似地可以得到焦点在ｖ轴上的
双曲线的焦半径公式的口诀： “同负异正，下＋上一，ａＳｅｙ
后”。
其中， “同”指下支上的点到下焦点的距离（简称“下
下”）和上支上的点到上焦点的距离（简作“上上”），即
“上上，下下”为“同”。 “异”指上支上的点到下焦点的距
离（简作“上下”）和下支上的点到上焦点的距离（简作“下
上”）即“上下，下上”为“异”。
焦点在ｙ轴上的焦半径公式按如下步骤写出：
（１）下支：Ｉ ＰＦ ｌ＝（ ）
Ｊ Ｐ Ｉ＝（ ）
上支：
（２）下支：
上支
（３）下支：
上支
（４）下支：
上支：
ＰＦｌ
ＰＦ２
ＰＦｌ
ＰＦ２
ＰＦ１
ＰＦ
ＰＦｌ
ＰＦ２
ＰＦＩ
ＰＦ２
ＰＦｌ
Ｐ
ＰＦ１
ＰＦ２
＝（ ）
＝（ ）
＝（ａ ｅｙｏ）
＝（ａ ｅｙ０）
＝（ａ ｅｙ０）
＝（ａ ｅｙｏ）
＝（ａ＋ｅｙ０）
＝（ａ—ｅｙ０）
＝（ａ＋ｅｙ０）
＝（ａ—ｅｙ０）
（ａＳｅｙｏ）￣）
（下＋上一）
注：Ｆ。：下焦点，Ｆ２：上焦点，Ｐ（Ｘｏ，Ｙｏ）
以上，是笔者对双曲线焦半径公式的记忆规律作出的一点
探索。