多元复合函数求导
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2023年2月21日发(作者：一见钟情的诗句)多元复合函数的二阶偏导数公式
黄世强郑州工业大学数力系孙跃俊焦作工学院基础部454150摘要本文建立
了多元复合函数的二阶偏导数公式。关键词偏导数矩阵内积中图分类号O17211
使用Jacobi矩阵能够给出多元复合函数的一阶偏导数公式1。但是长期以来对于
多元复合函数的高阶偏导数却只有运算法则没有计算公式。本文以具有两个中间变
元的复合函数为例建立了多元复合函数的二阶偏导数公式。从而使繁冗且易错的运
算可以规范化地进行。1一阶偏导数的各种表示式设函数zfuv?C2其中
uuxy?C2vvxy?C2。构造函数矩阵行向量2:A〔f′uf′v〕Bx〔u′xv′x〕By
〔u′yv′y〕则成立一阶偏导数公式
5z5xf′uu′xf′vv′xABTxABx15z5yf′uu′yf′vv′yABTyABy2
其中AT是A的转置ABx是A与Bx的内积。定义称F,6,9f〃uuf〃uvf〃uvf〃
vv为A关于u、v的导数矩阵。2定理定理一矩阵A关于x或y的偏导数等于矩
阵Bx或By左乘A关于u、v的导数矩阵F。证明5A5x〔55xf′u5A5xf′v〕
〔u′xv′x〕f〃uuf〃uvf〃uvf〃vvBxF3同理可得5A5yByF4定理二设矩阵G
〔Υx、y.7x、y〕?C′则
55xAGTBxFGTA55xGT5第18卷第3期1997年9月郑州工业大学学报
JournalofZhengzhouUniversityofTechnologyVol118No131Sep1
199755yAGTByFGTA55yGT6证明由式
1及内积求导公式2并利用式3有
55xAGT55xAG5A5xGA5G5xBxFGTA55xGT同理可得6式。
3复合函数的二阶偏导数公式取GBx或GBy将其分别代入
式5、6整理后就有:52Z5x2〔u′xv′x〕f〃uuf〃uvf〃uvf〃
vvu′xv′x〔f′u.f′v〕u〃xxv〃xx752Z5y2〔u′yv′y〕f〃uuf〃uvf〃
uvf〃vvu′yv′y〔f′u.f′v〕u〃yyv〃yy852Z5x5y〔u′yv′y〕f〃uuf〃
uvf〃uvf〃vvu′xv′x〔f′u.f′v〕u〃xyv〃xy9特别地当uuxvvx
时有d2Zdx2〔u′v′〕f〃uuf〃uvf〃uvf〃vvu′v′〔f′u.f′v〕u〃v〃。
10参考文献1CGOFFMAN著.史济怀等译.多元微积分.人
民教育出版社.19792谢树艺著.矢量分析与场论第二版.高
等教育出版
社.1990TheFormulaofPartialDerivativeofSecondOrderonCompo
undFunctionofManyVarablesHuangShiqiangZhenzhouUniversit
yofTechnology
SunYuejunJiaozuoInstituteofTechnology454150Abstract
Inthispapertheformulaofpartialderivativeofsecondorderoncom2p
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大学学报1997年