克隆巴赫系数
天恒大厦-隶书作品欣赏
2023年2月21日发(作者：慈利一中)★经典测验理论的基本假设（误差独立性）
假设一：在所讨论的范围内，个体的真分数不变。
假设二：误差是完全随机的。
（1）测量误差是均值（期望值）为零的正态随机变量。
()0E（2.2）
（2）测量误差与真分数之间相互独立，误差之间相互独立，误差与被测特
质外的其它变量间，也是彼此独立。
0
TE
（2.3）
12
0
EE
（2.4）
12
0
ET
（2.5）
假设三：观察分数是真分数与误差分数的和。
XTE（2.6）
设，
111
nnn
XTE
XTE
可得，
222
1111
()()()()()
2
nnnn
iiiii
iiii
XXTTEETTEE
nnnn
又知，
1
()()
n
ii
i
TE
TE
TTEE
n
结合式（2.3），
得证：
222
XTE
（2.7）
★经典测验理论的基本假设（平行测验）
平行测验：能以相同程度测量同一心理特质的两个或多个测验（含重复测
量）
,XTEXTE
（2.8a）
和
22()()EE
（2.8b）
可推出观察分数方差相等
12
22
XX
施测于一组大样本的各平行测验上的误差分数平均数均为零，个体被大量
平行测验测试的误差分数平均数为零
12
0
kabn
EEEEEE
（2.9）
施测于一组大样本的各平行测验上的误差分数方差均相等，个体被大量平
行测验测试的误差分数方差均相等，
12
222222
kbn
EEEEaEE
（2.10）
★信度的定义及证明
定义一：观察分数与真分数的相关，即
XT
，称信度指数。
定义二：大批平行测验上被试个体所得误差分数的标准误，即
E
。
定义三：同一组被试在两平行测验上的相关，
XX
。
信度指数的推导：
XT
XT
xt
n
（2.13）
据式（2.6），
XT
XT
xt
n
＝
2()//
XTXT
tettnetn
n
＝
由/
ETXT
etn，则
T
XT
X
（2.14）
信度系数的推导：
假设任意抽得两平行测验
1
X和
2
X，其上的观察分数为
1
TE和
2
TE，则
两平行测验的相关为：
12
12
12
XX
XX
xx
n
（2.15）
12
12
12
()()
XX
XX
tete
n
12
2
1212
////
XX
tntenteneen
由
12
22
XX
，
12
2
2
T
XX
X
即为真分数理论信度系数的定义。（2.16）
测量标准误的推导：
由222
XTE
得
222
EXT
22
22
1ET
XX
12
22(1)
EXXX
12
(1)
EXXX
（2.19）
克隆巴赫系数的推导：
若假定一个测验一次施测中，测验所含全部项目，彼此在测试功能上都是
相互平行的。因此，任何两个项目就都构成了一个“单一项目平行测验”，而两
个项目间观察分数的相关系数，可看成是由单个测验构成的测验的信度系数，
若有K个项目，那么单一项目平行测验组就有(1)/2KK个。若将它们的均值
记为
11
，由于它是由一个项目所构成的测验的信度系数，而原来全测验有K个
项目，就可以使用斯皮尔曼－布朗公式的通式进行校正。即
11
11
1(1)KK
K
K
（2.26）
领域抽样理论认为，既然我们在实际上已编制出能最好地测察特定心理结
构（特质）的测验，就不妨在思想上设想，还有一个与此测验完全平行等值的
测验存在，并可认为这是一个良好的由许多平行测验构成的总体中随机抽得的
两个样本。设实际存在的测验为X
Ⅰ
，设想存在的完全合乎平行要求的测验记为
X
Ⅱ
，两者观察分数的相关为
1
XX
XXXX
xx
xx
N
N
ⅠⅡ
ⅠⅡⅠⅡ
ⅠⅡ
ⅠⅡ
测验总分离均差是各项目分数离均差的和
1212
1
()()
kk
XX
XX
xxxxxx
N
ⅠⅡ
ⅠⅡ
ⅠⅠⅠⅡⅡⅡ
1122
111
kk
XX
xxxxxx
NNN
ⅠⅡ
ⅠⅡⅠⅡⅠⅡ
按积差相关公式
XY
XY
xy
N
XYXY
xy
N
可得
11111212kkkk
xxXXxxXXxxXX
XX
XX
ⅠⅡⅠⅡⅠⅡⅠⅡⅠⅡⅠⅡ
ⅠⅡ
ⅠⅡ
上式可改写为
2
2
iiii
xxXX
XX
X
K
ⅠⅡⅠⅡ
ⅠⅡ
平行测验项目间交叉协方差的平均数，必然等于其中一个测验内各项目间
协方差的平均数，于是有
2
2
iiii
XXXX
XX
X
K
（2.27）
上式是通式，二值记分、非二值记分均可，平行项目和非平行项目均可，
但计算仍然很繁琐。
一个测验间的平均协方差，可用所有项目协方差的和跟协方差的个数的比
来取代，上式可改写为
2
22
/(1)
1
iiiiiiii
XXXXXXXX
XX
XX
KKK
K
K
又因为测验总分方差等于测验项目上分数方差加上所有项目协方差的和，
即有
22
iiiii
XXXXXX
于是有
22
iiiii
XXXXXX
单一测验的信度系数即为
222
22
1
11
ii
XXX
XX
XX
KK
KK
（2.28）
可以证明，2.28是2.26的下限。
如果是二值记分，则得到库德－理查逊20公式，
2
201
1
ii
X
pq
K
KR
K
至此，证明了内部一致性系数与稳定性系数和等值性系数一样，都是基于平行
性要求的策略和方法。