高中数学数列

发布时间：2023-06-06 作者：admin 来源：文学

高中数学数列

田合禄-英语畅谈中国文化

2023年2月21日发(作者：电磁波谱)

数列基础知识点

《考纲》要求：?

1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公

式写出数列的前几项；?

2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题；??

3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。?

数列的概念

1．数列的概念：数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N*或其子集

{1，2，3，……n}的函数f(n)．数列的一般形式为a1，a2，…，an…，简记为{an}，其中an是数列{an}的

第项．

2．数列的通项公式

一个数列{an}的与之间的函数关系，如果可用一个公式an＝f(n)来表示，我们就把这

个公式叫做这个数列的通项公式．

3．在数列{an}中，前n项和Sn与通项an的关系为：

4．求数列的通项公式的其它方法

⑴公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法．

⑵观察归纳法：先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n的特

珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明．

⑶递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过

代数方法由递推关系求出通项公式.

例1.根据下面各数列的前n项的值，写出数列的一个通项公式．

⑴－



，



，－



，



…；

⑵1，2，6，13，23，36，…；

⑶1，1，2，2，3，3，

解：⑴an＝(－1)n

)12)(12(





⑵an＝)673(

2nn

（提示：a2－a1＝1，a3－a2＝4，a4－a3＝7，a5－a4＝10，…，an－an－1＝1＋3(n－2)=3n－5．各式相加得

⑶将1，1，2，2，3，3，…变形为,

11

∴

)1(12

)1(1













变式训练1.某数列{an}的前四项为0，2，0，2，则以下各式：

①an＝

[1＋(－1)n]②an＝n

)(11

③an＝







)(0

)(2

为奇数

为偶数

其中可作为{an}的通项公式的是（）

A．①B．①②

C．②③D．①②③

解：D

典型例

基础过

例2.已知数列{an}的前n项和Sn，求通项．

⑴Sn＝3n－2

⑵Sn＝n2＋3n＋1

解⑴an＝Sn－Sn－1(n≥2)a1＝S1

解得：an＝













)1(1

)2(32

⑵an＝











)2(22

)1(5

变式训练2：已知数列{an}的前n项的和Sn满足关系式lg(Sn－1)＝n，(n∈N*)，则数列{an}的通项公式

为．

解：,110101)1lg(n

SSnS当n＝1时，a1＝S1＝11；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝10n－10n－1＝9·10

n－1．故an＝















)2(109

)1(11

例3.根据下面数列{an}的首项和递推关系，探求其通项公式．

⑴a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2)

⑵a1＝1，an＝1

3



n

a(n≥2)

⑶a1＝1，an＝



(n≥2)

解：⑴an＝2an－1＋1(an＋1)＝2(an－1＋1)(n≥2)，a1＋1＝2．故：a1＋1＝2n，∴an＝2n－1．

⑵an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a3－a2）＋（a2－a1）＋a1＝3n－1＋3n－2＋…＋33＋3＋1＝)13(

n．

(3)∵







∴an＝











n

变式训练3.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝



(n∈N*)，求该数列的通项公式．

解：方法一：由an＋1＝



得

111



nn

，∴{

}是以1



为首项，

为公差的等差数列．

∴

＝1＋(n－1)·

,即an＝

n

方法二：求出前5项，归纳猜想出an＝

n

，然后用数学归纳证明．

例4.已知函数)(xf＝2x－2－x，数列{an}满足)(log

af＝－2n，求数列{an}通项公式．

解：nafn

222)(log2

log



得nna

12

变式训练4.知数列{an}的首项a1＝5．前n项和为Sn且Sn＋1＝2Sn＋n＋5（n∈N*）．

(1)证明数列{an＋1}是等比数列；

(2)令f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn，求函数f(x)在点x＝1处导数f1(1)．

解：(1)由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5，∴n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n＋4，两式相减，得：

Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，即an＋1＝2an＋1

从而an＋1＋1＝2(an＋1)

当n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，∴a1＋a2＝2a1＋6,

又a1＝5，∴a2＝11

∴



＝2，即{an＋1}是以a1＋1＝6为首项，2为公比的等比数列.

(2)由(1)知an＝3×2n－1

∵

)(xf

＝a1x＋a2x2＋…＋anxn

∴

)('xf

＝a1＋2a2x＋…＋nanxn－1

从而

)1('f

＝a1＋2a2＋…＋nan

＝(3×2－1)＋2(3×22－1)＋…＋n(3×2n－1)

＝3(2＋2×22＋…＋n×2n)－(1＋2＋…＋n)

＝3[n×2n＋1－(2＋…＋2n)]－

)1(nn

＝3(n－1)·2n＋1－

)1(nn

＋6

1．根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系，常用的方法有

观察法、通项法，转化为特殊数列法等.

2．由Sn求an时，用公式an＝Sn－Sn－1要注意n≥2这个条件，a1应由a1＝S1来确定，最后看二者能否统一．

3．由递推公式求通项公式的常见形式有：an＋1－an＝f(n)，

1＝f(n)，an＋1＝pan＋q，分别用累加法、

累乘法、迭代法（或换元法）．

数列的概念与简单表示法

●三维目标

知识与技能：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列

的前几项；理解数列的前n项和与

a的关系

过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。

情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

●教学重点

根据数列的递推公式写出数列的前几项

●教学难点

理解递推公式与通项公式的关系

1、通项公式法

如果数列

a的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项

公式。

归纳小结

如数列的通项公式为

；

?的通项公式为

；

的通项公式为

；

2、图象法

启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数

为横坐标，相应的项

为纵坐标，即以

为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列

为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群

孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右

侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋

势．

3、递推公式法

知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．

观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．

模型一：自上而下：

第1层钢管数为4；即：1



4＝1+3

第2层钢管数为5；即：2



5＝2+3

第3层钢管数为6；即：3



6＝3+3

第4层钢管数为7；即：4



7＝4+3

第5层钢管数为8；即：5



8＝5+3

第6层钢管数为9；即：6



9＝6+3

第7层钢管数为10；即：7



10＝7+3

若用

a表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且1(3na

≤n≤7）

运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求

出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。

让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）

模型二：上下层之间的关系

自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。

即4

a；1145

aa；1156

aa

依此类推：



nn

aa（2≤n≤7）

对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。

定义：

递推公式：如果已知数列

a的第1项（或前几项），且任一项

a与它的前一项

1n

a（或前n项）间的

关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式

递推公式也是给出数列的一种方法。

如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89

递推公式为：

)83(,5,3

2121





naaaaa

nnn

数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，

图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用

表示第一项，用

表示第一项，……，用

表示第

项，依次写出成为

4、列表法

．简记为

．

[范例讲解]

例3设数列

a满足

1(1).

















写出这个数列的前五项。

解：分析：题中已给出

a的第1项即1

a，递推公式：





解：据题意可知：

1,2

1,1



aa，

a

[补充例题]

例4已知2

a，

aa2





写出前5项，并猜想

a．

法一：2

a2

222a32

222a

，观察可得n

a2

法二：由

aa2





∴





aa即



n

∴1

2



n



∴nn

aa221



[补充练习]

1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式

(1)

a＝0,

1n

a＝

a＋(2n－1)(n∈N)；

(2)

a＝1,

1n

a＝



(n∈N)；

(3)

a＝3,

1n

a＝3

a－2(n∈N).

解：(1)

a＝0,

a＝1,

a＝4,

a＝9,

a＝16,∴

a＝(n－1)2;

(2)

a＝1,

a＝

,

a＝

,∴

a＝

n

;

(3)

a＝3＝1+203,

a＝7＝1+213,

a＝19＝1+223,

a＝55＝1+233,

a＝163＝1+243,∴

a＝1＋2·31n;

Ⅳ.课时小结

本节课学习了以下内容：

1．递推公式及其用法；

2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关

系。

等差数列的定义与性质

定义：

1nn

aad



（d为常数），

aand

等差中项：xAy，，成等差数列2Axy

前n项和



aannn

Snad





性质：

a是等差数列

（1）若mnpq，则

mnpq

aaaa；

（2）数列

12212

nnn

aaa仍为等差数列，

232nnnnn

SSSSS，，……仍为等差数列，公差为

dn2；

（3）若三个成等差数列，可设为adaad，，

（4）若

ab，

是等差数列，且前n项和分别为

ST，

，则21





（5）

a为等差数列2

Sanbn（ab，为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）

S的最值可求二次函数2

Sanbn的最值；或者求出

a中的正、负分界项，

即：当

00ad，，解不等式组













可得

S达到最大值时的n值.

当

00ad，，由













可得

S达到最小值时的n值.

(6)项数为偶数n2的等差数列

，

有

ndSS

奇偶

，

1



偶

奇.

（7）项数为奇数12n的等差数列

，

有

)()12(

为中间项

nnn

aanS



，

aSS

偶奇

，

1



偶

奇.

等比数列的定义与性质

定义：1n

（q为常数，0q），1

aaq

等比中项：xGy、、成等比数列2Gxy，或Gxy

前n项和：1

(1)

naq





















（要注意！）

性质：

a是等比数列

（1）若mnpq，则

mnpq

aaaa··

（2）

232nnnnn

SSSSS，，……仍为等比数列,公比为nq

注意：由

求

时应注意什么？

1n时，

aS；

2n时，

1nnn

aSS





求数列通项公式的常用方法

（1）求差（商）法

如：数列

a，

111

222n

aaan……，求

解1n时，

215

a，∴

14a①

2n时，

121

111

215

222n

aaan



……②

①—②得：

a，∴12n

a，∴

14(1)

2(2)n

n













［练习］数列

a满足

111

3nnn

SSaa



，，求

注意到

11nnn

aSS



，代入得14n



；

又

4S，∴

S是等比数列，4n

S

2n时，1

34n

nnn

aSS



……·

（2）叠乘法

如：数列

a中，1





，，求

解3

121

aaan



·……·……，∴

又

3a，∴



（3）等差型递推公式

由

110

()

aafnaa



，，求

a，用迭加法

2n时，

(2)

(3)

()

aaf

aafn





















…………

两边相加得

(2)(3)()

aafffn……

∴

(2)(3)()

aafffn……

［练习］数列

a中，1

132n

aaan



，，求

答案：

1

a

（4）等比型递推公式

1nn

acad



（cd、为常数，010ccd，，）

可转化为等比数列，设

nnnn

axcaxacacx





令(1)cxd，∴





，∴











是首项为





，为公比的等比数列

∴1

111

aac













·，∴1

111

aac













（5）倒数法

如：

a





，，求

由已知得：

111

nnn

aaa



，∴

111





∴







为等差数列，

，公差为

，∴

111

·，

∴





(附：

公式法、利用1

(2)

(1)

SSn







、累加法、累乘法.构造等差或等比

1nn

apaq



或

()

apafn



、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)

4.求数列前n项和的常用方法

(1)裂项法

把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.

如：

a是公差为d的等差数列，求







解：由



11111

kkkkkk

aaaaddaa













∴

1112231

kkkknn

aadaadaaaaaa

























……

［练习］求和：

111

12123123n





……

（2）错位相减法

若

a为等差数列，

b为等比数列，求数列

ab（差比数列）前n项和，可由

SqS，求

，

其中q为

b的公比.

如：2311234n

Sxxxnx……①

23412341nn

xSxxxxnxnx·……②

①—②2111nn

xSxxxnx……

1x时，



2







，1x时，

1

123



……

（3）倒序相加法

把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.

121

nnn

Saaaa













……

相加

1211

nnnn

Saaaaaa



……

［练习］已知

()





，则

由

222

()1

111

fxf

xxxx

























∴原式

11111

(1)(2)(3)(4)1113

23422

fffffff















(附：

a.用倒序相加法求数列的前n项和

如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和

式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更

要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式

的推导，用的就是“倒序相加法”。

b.用公式法求数列的前n项和

对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公

式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。

c.用裂项相消法求数列的前n项和

裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n

项和。

d.用错位相减法求数列的前n项和

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{an·bn}

中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出

前n项和。

e.用迭加法求数列的前n项和

迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个

式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an，从

而求出Sn。

f.用分组求和法求数列的前n项和

所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分

为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

g.用构造法求数列的前n项和

所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本

数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。)

数列的综合应用

高考要求

(1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推

公式写出数列的前几项

(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题

(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题

知识点归纳

1.通项与前n项和的关系：















)2(,

)1(,

nSS

2.迭加累加法：

(),(2)

aafnn



若，

)2(

faa则，)3(

faa，………，)(

nfaa





3.迭乘累乘法：

)(

n



若，)2(

则，)3(

，………，)(

n



4.裂项相消法：)

(

))((

CAnBAnBCCAnBAn

n











5.错位相减法：

nnn

cba,

b是公差d≠0等差数列，

c是公比q≠1等比数列

所以有

13211

)()1(





nnnn

cbdccccbSq

6.通项分解法：

nnn

cba

7.等差与等比的互变关系：

8.等比、等差数列和的形式：

9.无穷递缩等比数列的所有项和：

题型讲解

例1等差数列{an}的首项a1>0,前n项和为Sn,若Sm=Sk(m≠k),问n为何值时，Sn最大？

解：根据BnAnSBAnaa

nnn

2成等差数列，首项a1>0,若m+k为偶数,则当n=(m+k)/2

时，Sn最大；

若m+k为奇数，当n=(m+k─1)/2或n=(m+k+1)/2时，Sn最大

例2已知关于n的不等式1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)>

)1(log

a

对于一切大于1的自然数n

都成立，求a的取值范围

解：把1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)看成一个函数f(n),将问题转化为函数f(n)的最小值大于右式

∵f(n)＝1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)

∴f(n+1)－f(n)＝〔1/(n+2)+1/(n+3)+…+1/(2n+2)〕

－〔1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)〕

＝1/(2n+2)+1/(2n+1)－1/(n+1)

＝1/(2n+1)－1/(2n+2)>0

∴f(n+1)>f(n)

∴函数f(n)是增函数，故其最小值为f(2)=7/12,

∴7/12>

)1(log

a

解得：1

+1)/2

例3已知数列{an},{bn}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p,q,其中p>q且q≠1,p≠1,设

Cn=an+bn,Sn为数列{Cn}的前n项和，求

lim





解：

)1)(1()1)(1(









qpbpqa

,以下分两种情况讨论：

(1)当p>1时,

∵p>q>0,∴0

)(lim



=0,n

)

(lim



=0,

两边同除以pn,得：

lim





=p;

(2)当p<1时,

∵p>q>o,∴0



lim=0,n



lim=0,∴

lim





例4如图所示：已知抛物线y=x2,点An的坐标为(1,0),将OAn分为n等分，分点为A1,A2,…An─1,过A1,A2,…

An─1,An分别作y轴的平行线，分别交抛物线于B1,B2,B3,…Bn─1,Bn,再分别以OA1,A1A2,A2A3,…An─1An为宽

作n个小矩形求n个小矩形的面积之和；求



lim(即曲边梯形OAnBn的面积)

解：Sn=222

)(

)

(

)

(

111

nnnnnnn

••••

=(n+1)(2n+1)/(6n2);



lim=1/3

本题用极限的思想求曲边梯形的面积，正是高等数学中的思想

例5等差数列{an}中，已知公差d≠0,an≠0,设方程arx2+2ar+1x+ar+2=0(r∈N)是关于x的一组方程

①证明这些方程中有公共根，并求这个公共根；

②设方程arx2+2ar+1x+ar+2=0的另一根记为mr,证明：数列{1/(mr+1)}是等差数列

解：①依题意，由{an}是等差数列，有ar+ar+2=2ar+1(r∈N),即x=─1时，方程成立，因此方程恒有实数根

x=─1;

②设公差为d(化归思想),先解出方程的另一根mr=─ar+2/ar,

∴1/(mr+1)=ar/(ar─ar+2)=─ar/(2d),

∴1/(mr+1+1)─1/(mr+1)=〔─ar+1/(2d)〕─〔─ar/(2d)〕=─1/2,

∴{1/(mr+1)}是等差数列

例6数列{an}的前n项和Sn=na+(n─1)nb,(n=1,2,…),a,b是常数，且b≠0,

①求证{an}是等差数列；

②求证以(an,Sn/n─1)为坐标的点Pn都落在同一直线上，并求出直线方程；

③设a=1,b=1/2,C是以(r,r)为圆心，r为半径的圆(r>0),求使得点P1,P2,P3都落在圆外的r?的取值范围

证明：①根据















)2(,

)1(,

nSS

得an=a+(n─1)2b,

∴{an}是等差数列，首项为a,公比为2b

②由x=an=a+(n─1)2b,y=Sn/n─1=a+(n─1)b

两式中消去n,得：x─2y+a─2=0,

（另外算斜率也是一种办法）

(3)P1(1,0),P2(2,1/2),P3(3,1),它们都落在圆外的条件是：

(r─1)2+r2>r2;(r─2)2+(r─1/2)2>r2;(r─3)2+(r─1)2>r2

∴r的取值范围是(1,5/2─2)∪(0,1)∪(4+

,+∞)

例7已知数列{an}满足条件a1=1,a2=r(r>0),且{anan+1}是公比为q(q>0)的等比数列，设bn=a2n─1+a2n

(n=1,2,3,…)

①求出使不等式anan+1+an+1an+2>an+2an+3(n∈N)成立的q的取值范围；

②求bn和

lim



,其中Sn为数列bn的前n项的和；

③设r=2192─1,q=05,求数列{

log

}的最大项和最小项的值

解：①rqn─1+rqn>rqn+1,q>00

)/2;

②q

nn



2

21

qaqa

212

22121











=q≠0

∴{bn}是首项为1+r,公比为q的等比数列，从而bn=(1+r)qn─1,

当q=1时，Sn=n(1+r),

lim



=0;

当0

lim



=(1─q)/(1+r);

当q>1时，

lim



=0;

③

log

=f(n)=



2.20

2.19

=1+1/(n─202),

当n21时，f(n)递减，∴f(n)f(21)1

当n20时，f(n)递减，∴f(n)f(20)1>f(n)─4;

∴当n=21时，

log

有最大值225;当n=20时，

log

有最小值─4

例8一个水池有若干出水相同的水龙头，如果所有的水龙头同时放水，那么24分钟可注满水池，如果开

始时全部开放以后隔相等时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且关闭最

后一个水龙头放水的时间恰好是关闭前一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多少

时间？

解：设每个水龙头放水时间依次为x1,x2,…xn,

由已知x2─x1=x3─x2=x4─x3=…=xn─xn─1,

∴{xn}为等差数列，又每个水龙头每分钟放水时间是1/(24n),

∴1)(



xxx

x1+x2+…+xn=24n;

即n(x1+xn)/2=24nx1+xn=48,又xn=5x1,

∴xn=40即最后一个水龙头放水时间是40分钟

例9某林场原有森林木材量为a，木材以每年25%的增长速度增长，而每年要砍伐的木材量为r,为使经

过20年木材存量翻两番，求每年的最大砍伐量x（取lg2=0.3)

解：用归纳法求解，

第一年存量：1.25a─x;

第二年存量：1.25(1.25a─x)─x=a1.252─x(1+1.25);

第三年存量：1.25[a1.252─x(1+1.25)]─x=a1.253─x(1+1.25+1.252);

……

第20年末存量：a1.2520─x(1+1.25+1.252+…+1.2519)=a1.2520─4x(1─1.2520)

依题意：a1.2520─4x(1─1.2520)=4a,

又设y=1.2520lgy=20lg1.25=20(1─3lg2)=2

∴y=100,即1.2520=100x=8a/33

答：每年的最大砍伐量为8a/33

例10某地区现有耕地面积10000公顷，规划10年后粮食单产比现在提高22%,人均粮食占有量比现在提

高10%,如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？(精确到1公顷)

解法一：以粮食单产比现在提高22%为目标建立数学模型，设现有的人口为A人，人均粮食占有量为b

吨，平均每年减少耕地x公顷，由题意可知：

1010

)1.01()01.01(





)22.01(

104



解得：

22.110

)1.01()01.01(10)22.01(101044





x,

再用二项式定理进行计算可得：x4

解法二：以10年后人均粮食占有量比现在提高10%为目标建立数学模型，粮食单产为a吨/公顷，可得：

)01.01(

)1010)(22.01(





%)101(

104





x4(公顷)

例10某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每

年新增汽车数量相同.为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数

量不应超过多少辆？

解：设2001年末的汽车保有量为

a，以后每年末的汽车保有量依次为....,

aa，每年新增汽车

万辆

由题意得)

06.0

(94.0

06.0

94.0

axaa

nnnn





即

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