斐波那契数列

斐波那契数列

wowui-综合利用

2023年3月20日发(作者：油气储运)

斐波拉契数列

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斐波拉契数列

13世纪初，欧洲最好的数学家是斐波拉契;他写了一本

叫做《算盘书》的著作，是当时欧洲最好的数学书。书中有

许多有趣的数学题，其中最有趣的是下面这个题目：

“如果一对兔子每月能生1对小兔子，而每对小兔在它出

生后的第3个月裏，又能开始生1对小兔子，假定在不发生

死亡的情况下，由1对初生的兔子开始，1年后能繁殖成多

少对兔子?”

斐波拉契把推算得到的头几个数摆成一串：1，1，2，3，

5，8……

这串数里隐含着一个规律：从第3个数起，后面的每个数

都是它前面那两个数的和。而根据这个规律，只要作一些简

单的加法，就能推算出以后各个月兔子的数目了。

于是，按照这个规律推算出来的数，构成了数学史上一个

有名的数列。大家都叫它“斐波拉契数列”，又称“兔子数

列”。这个数列有许多奇特的的性质，例如，从第3个数起，

每个数与它后面那个数的比值，都很接近于0.618，正好与

大名鼎鼎的“黄金分割律”相吻合。人们还发现，连一些生

物的生长规律，在某种假定下也可由这个数列来刻画呢。

斐氏本人对这个数列并没有再做进一步的探讨。直到十九

世纪初才有人详加研究，1960年左右，许多数学家对斐波拉

契数列和有关的现象非常感到兴趣，不但成立了斐氏学会，

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还创办了相关刊物，其后各种相关文章也像斐氏的兔子一样

迅速地增加。

斐波拉契(Fibonacci)数列来源于兔子问题，它有一个递

推关系，

f(1)=1

f(2)=1

f(n)=f(n-1)f(n-2),其中n>=2

{f(n)}即为斐波拉契数列。

斐波拉契数列的公式

它的通项公式

为:{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}/√5

(注：√5表示根号5)

斐波拉契数列的某些性质

■1)，f(n)f(n)-f(n1)f(n-1)=(-1)^n;

■2),f(1)f(2)f(3)……f(n)=f(n2)-1

■3),arctan[1/f(2n1)]=arctan[1/f(2n2)]arctan[1/f

(2n3)]

比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近

黄金分割0.6180339887……(后一项与前一项之比

1.6180339887……)

还有一项性质，从第二项开始，每个奇数项的平方都比前

后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。

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如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成

四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么

64=65?其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13

正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，

只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意

到。

如果任意挑两个数为起始，比如5、-2.4，然后两项两项

地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、

14.6……等，你将发现随着数列的发展，前后两项之比也越

来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项之积的差值

也交替相差某个值。

斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中

所有不包含相邻正整数的子集个数。