高中数学参数方程
现代歇后语-半场篮球场尺寸图
2023年2月21日发(作者：脚踏实地作文)1
2０1９极坐标与参数方程高考题型全归纳
一.题型部分
(一)极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化,极坐标与参数
方程的转化
1.极坐标与直角坐标互化公式：
若以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系,点P的
极坐标为(,),直角坐标为(,)xy,则cosx,siny,222xy,
tany
x
。
2.参数方程：
直线参数方程:0
0
cos
()
sin
xxt
t
yyt
为参数
00
(,)xy为直线上的定点,t为直线上任一
点(,)xy到定点00
(,)xy的数量;
圆锥曲线参数方程:
圆的参数方程：cos
()
sin
xar
ybr
为参数
(a，ｂ)为圆心,r为半径;
椭圆22
22
1
xy
ab
的参数方程是cos
()
sin
xa
yb
为参数
；
双曲线22
22
-1
xy
ab
的参数方程是sec
()
tan
xa
yb
为参数
;
抛物线22ypx的参数方程是22
()
2
xpt
t
ypt
为参数
(二)有关圆的题型
题型一：圆与直线的位置关系(圆与直线的交点个数问题）-－－－利用圆心
到直线的距离与半径比较
相离，无交点；:rd个交点；相切，1:rd个交点；相交，2:rd
用圆心（x0,y0)到直线Ax＋By+Ｃ＝０的距离
22
00
BA
CByAx
d
,算出d,在与半径
2
比较。
题型二:圆上的点到直线的最值问题(不求该点坐标，如果求该点坐标请参照
距离最值求法)
思路：第一步：利用圆心（x０,y0）到直线Aｘ＋By+C=0的距离
22
00
BA
CByAx
d
第二步：判断直线与圆的位置关系
第三步：相离：代入公式:rdd
max
,rdd
min
相切、相交：rdd
max
min
0d
题型三:直线与圆的弦长问题
弦长公式222drl，d是圆心到直线的距离
延伸：直线与圆锥曲线(包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题
（弦长:直线与曲线相交两点,这两点之间的距离就是弦长)
弦长公式
21
ttl,解法参考“直线参数方程的几何意义”
(三)距离的最值：-－-用“参数法”
１.曲线上的点到直线距离的最值问题
2.点与点的最值问题
“参数法”：设点---套公式-－三角辅助角
①设点:设点的坐标,点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设
②套公式:利用点到线的距离公式
③辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一
例如:在直角坐标系xOy中，曲线
1
C的参数方程为3cos
()
sin
x
y
为参数，以坐标原
点为极点,以x轴的正半轴为极轴,，建立极坐标系,曲线
2
C的极坐标方程为
3
sin()22
4
．
(I）写出
1
C的普通方程和
2
C的直角坐标方程；
（II)设点P在
1
C上,点Q在
2
C上，求PQ的最小值及此时P的直角坐标
Ⅰ）
1
C的普通方程为2
21
3
x
y，
2
C的直角坐标方程为40xy.
（解说:Ｃ1：
相加-平方-化同-利用三角消元：移项
sinαy
cosα3x
这里没有加减移项省去，直接化同,那系数除到左边
1y
3
x
两道式子相加
asiny
αcos
3
x
两边同时平方
sinαy
cosα
3
x
2
2
22
2
2
（Ⅱ）由题意，可设点P的直角坐标为(3cos,sin)
（解说：点直接用该点的曲线方程的参数方程来表示）
因为
2
C是直线,所以||PQ的最小值即为P到
2
C的距离()d的最小
值,
|3cossin4|
()2|sin()2|
3
2
d
.
解说:利用点到直线的距离列式子，然后就是三角函数的辅助公式进行化一）
当时）（1
3
sin
即当2()
6
kkZ
时，()d取得最小值，最小值为2,此时P
的直角坐标为
31
(,)
22
．
（四)直线参数方程的几何意义
1．经过点P（x０，y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为为参数）t
tyy
txx
(
sin
cos
0
0
若A，B为直线l上两点,其对应的参数分别为ｔ1，t2，线段AB的中点为M,
点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：
4
(1)t0=＼f(t1＋t2,2);(2）|PM｜=｜t0｜=错误!；（3)|AB|=|ｔ2－t1|;(4）
|PA｜·｜PB|=|t1·t2｜
(５）
0,
0,4)(
2121
2121
2
2121
21tttt
tttttttt
ttPBPA
当
当
（注:记住常见的形式,P是定点，A、Ｂ是直线与曲线的交点，Ｐ、A、Ｂ三
点在直线上)
【特别提醒】直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时,t才有几
何意义且其几何意义为:|t|是直线上任一点M(x，y）到Ｍ0(x０,y0)的距离,
即|Ｍ0Ｍ|=|t｜.
直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为
12
,tt,则弦长
12
ltt；
2.解题思路
第一步:曲线化成普通方程,直线化成参数方程
第二步：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t的一元二次
方程：02cbtat
第三步：韦达定理:
a
c
tt
a
b
tt
2121
,
第四步：选择公式代入计算。
例如：已知直线l：错误!(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cｏsθ．
（1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;
（2)设点M的直角坐标为(５，错误!)，直线l与曲线Ｃ的交点为A,Ｂ，
求|MA｜·｜MB|的值．
解：(1)ρ=２ｃoｓθ等价于ρ２＝2ρcosθ.①
将ρ2＝x2+y2,ρcｏsθ＝ｘ代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y２-2ｘ
＝０.②
5
（２)将错误!代入②式，得ｔ２＋5错误!ｔ+１8＝0.
设这个方程的两个实根分别为t1，ｔ2,则由参数t的几何意义即
知,|MA|·|MB｜=｜ｔ１t2|＝18.
(五）．极坐标中ρ的几何意义一直线与两曲线分别相交，求交点间的距离
思路:一般采用直线极坐标与曲线极坐标联系方程求出2个交点的极坐标,
利用极径相减即可。
例如:在直角坐标系xOy中,曲线Ｃ1的参数方程为（其中α为参
数)，曲线C2:（x﹣1)2+y2＝1，以坐标原点O为极点,ｘ轴的正半轴为极轴建
立极坐标系.
(Ⅰ)求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；
(Ⅱ）若射线θ=（ρ＞0）与曲线Ｃ1,C2分别交于A，B两点,求|AＢ｜．
解：(Ⅰ)∵曲线C1的参数方程为（其中α为参数)，
∴曲线C1的普通方程为x2+(y﹣２)2=7.
∵曲线C2：(x﹣1)2+ｙ２=1，
∴把x=ρcosθ,ｙ=ρsinθ代入（x﹣１)2+y2=１，
得到曲线C2的极坐标方程（ρcosθ﹣1)2+(ρsinθ）２=1，
化简，得ρ=2ｃosθ．
（Ⅱ)依题意设Ａ(),Ｂ(),
∵曲线C1的极坐标方程为ρ２﹣4ρsinθ﹣3=０，
将（ρ>0）代入曲线C１的极坐标方程,得ρ2﹣2ρ﹣3=0,
解得ρ1=3，
同理，将（ρ>0）代入曲线C2的极坐标方程,得，
6
∴|AB|＝|ρ１﹣ρ２|=３﹣．
(六).面积的最值问题
面积最值问题一般转化成弦长问题＋点到线的最值问题
例题:在平面直角坐标系xＯｙ中,圆C的参数方程为,(t为参
数),在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线ｌ
的极坐标方程为,A，B两点的极坐标分别为
.
(1）求圆C的普通方程和直线ｌ的直角坐标方程；
（2）点P是圆C上任一点，求△PAＢ面积的最小值.
解:(1）由，化简得:，
消去参数ｔ,得(ｘ+5)２+（y﹣３)2=２，
∴圆C的普通方程为（x+５)2+（y﹣3）2＝2．
由ρcos（θ+）＝﹣,化简得ρcｏsθ﹣ρsinθ＝﹣，
即ρcｏsθ﹣ρsinθ=﹣2，即ｘ﹣y+2=０，
则直线l的直角坐标方程为x﹣y+2=0；
(Ⅱ)将A（2,）,Ｂ(2，π)化为直角坐标为A(0，2）,Ｂ（﹣２,０）,
∴|AB｜=＝2，
设P点的坐标为(﹣5＋ｃost,3+sint）,
∴P点到直线l的距离为d==,
∴dmin＝=2,
则△PAB面积的最小值是S=×２×２=4．
7
附:2019极坐标与参数方程高考题型全归纳
二.:精典配套练习(含答案)部分