二次函数性质

二次函数性质

洗衣店管理软件-静电喷涂原理

2023年2月21日发(作者：申请助学金理由50字)

文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。

1word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。

二次函数图象与性质

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：

通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；

会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；

会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；

会用待定系数法求二次函数的解析式。

重点难点：

二次函数的图象及性质。

学习策略：

二次函数是反应现实世界中变量间的数量关系和变化规律的一种常见的数学模型．要学会分析实际问题中的变量与

变量问的关系，列出函数关系式，善于利用二次函数的图象和性质去解决问题。

二次函数的图象是研究二次函数性质的重要工具，注意把握二次函数图象的特点(对称轴，开口方向，顶点坐标)，

并由此发现和认识二次函数的一些性质．如：何时函数值y随自变量x的增加而增加(或减小)？何时函数取最大(小)

值？在学习二次函数时要善于运用图象，领会和运用数形结合的思想方法(包括利用函数的图象求解方程与方程组)。

在研究二次函数的图象和性质时，首先抓住最简单的二次函数2(0)yaxa

的图象和性质，对于一般的二次函数，常

利用配方法，将函数关系式化为

2()yaxhk

(h、k为常数)的形式，抓住它与

2yax

的图象之间的联系来研究．要

注意在研究具体实例的过程中，体会这种化归(化未知为已知，变复杂为简单)的思想方法。

二、学习与应用

图象特殊点性质

一

次

函

数

与x轴交点是

与y轴交点是

(1)当k>0时，y随x的增大

而；

(2)当k<0时，y随x的增大

而。

“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对

知识回顾——复习

学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。

2word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。

正

比

例

函

数

与x、y轴交点是。

(1)当k>0时，y随x的增大而，

且直线经过第象限；

(2)当k<0时，y随x的增大而，

且直线经过第象限。

反

比

例

函

数

与坐标轴交点，

但与坐标轴无限靠近。

(1)当k>0时，双曲线经过第象

限，在每个象限内，y随x的增大

而；

(2)当k<0时，双曲线经过第﹍﹍

﹍﹍象限，在每个象限内，y随x

的增大而。

知识点一：二次函数的定义

形如y=(a﹍﹍0，a，b，c为常数)的函数称为二次函数

(quadraticfuncion)。其中a为系数，b为系数，c为项。

知识点二：二次函数的图象及画法

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是对称轴平行于轴(或是轴本身)的

线。几个不同的二次函数。如果二次项系数a相同，那么其图象的方

向、完全相同，只是顶点的位置不同。

方法一：用描点法画图象

首先确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后在对称轴两侧，以顶点为

中心，左右对称地画图。画结构图时应抓住以下几点：轴、点、与轴的

交点、与轴的交点。

方法二：用平移法画图象

由于a相同的抛物线y=ax2+bx+c的开口及形状完全相同，故可将抛物线y=ax2的图

象平移得到a值相同的其它形式的二次

函数的图象.步骤为：利用配方法或公式

法将二次函数化为y=a(x-h)2+k的形式，

确定其顶点，然后做出二次

函数y=ax2的图象.将抛物线y=ax2平移，

使其顶点平移到。

知识要点——预习和课堂学习

认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真

听课学习。若有其它补充可填在右栏空白处。

详细内容请参看网校资源ID：#tbjx4#228623

3

知识点三：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质

（一）函数y=ax2(a≠0)的图象与性质：

函数

a的

符号

图象开口方向

顶

点坐标

对称

轴

增减性最大(小)值

y=ax2a>0

x>0时，y随x增

大而

x<0时，y随x增

大而

当x=﹍﹍时，

y最小=﹍﹍

y=ax2a<0

x>0时，y随x增

大而减小

x<0时，y随x增

大而增大

当x=﹍﹍时，

y最大=﹍﹍

（二）函数y=ax2+c(a≠0)的图象及其性质：

（1）当a>0时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax2相同，不同的是顶点坐标

为，当x=时，y最小=。

（2）当a<0时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax2相同，不同的是顶点坐标

为，当x=时，y最大=。

（三）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质：

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线.它的顶点坐标是，对称轴是直线。

函数

二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)

图象a>0a<0

性质（1）当a>0时，抛物线开口，并向上无限延

伸，顶点，是它的最点。

（2）在对称轴直线的左侧，抛物线自左

向右，在对称轴的右侧，抛物线自左向

右。

（1）当a<0时，抛物线开口，并向

下，顶点，是它的最点。

（2）在对称轴直线的左侧，抛物线自左

向右；在对称轴右侧，抛物线自左向

右。

知识点四：抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c的作用

a，b，c的代

数式

作用字母的

符号

图象的特征

a1.决定抛物线的方向；

2.决定增减性

a>0开口

a<0开口

c决定抛物线与轴交点的位置，

交点坐标为

c>0交点在轴上方

c=0抛物线过点

c<0交点在轴下方

-

2

b

a

决定对称轴的位置，对称轴是直线

﹍﹍﹍﹍﹍

>0对称轴在轴左侧

<0对称轴在轴右侧

b2-4ac

决定抛物线与﹍﹍轴公共点的﹍

﹍

b2-4ac>0

抛物线与轴有交点

b2-4ac=0

顶点在﹍﹍轴上

b2-4ac<0

抛物线与轴公共点

4

类型一：二次函数的概念及意义

例1．(1)下列函数中，哪些是二次函数?

①02xy；②

2)1()2)(2(xxxy；

③

x

xy

1

2；④322xxy.

（2）（2011山东滨州）抛物线223yx可以由抛物线

2yx平移得到,则下列

平移过程正确的是()

A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位

B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位

C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位

D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位

举一反三：

【变式】m取哪些值时，函数)1()(22mmxxmmy是以x为自变量的

二次函数？

总结升华：形如cbxaxy2

的函数只有在的条件下才是二次函数。

例2．写出下列各函数关系，并判断它们分别是什么类型的函数？

（1）写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a(cm)之间的函数关系；

经典例题——自主学习

认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一

反三。若有其它补充可填在右栏空白处。

更多精彩请参看网校资源ID：#jdlt0#228623

5

（2）写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系；

（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息税，求本息和

y(元)与所存年数x之间的函数关系；

（4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)

之间的函数关系。

举一反三：

【变式】正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x(cm)的小正方形，

用余下的部分做成一个无盖的盒子。

（1）求盒子的表面积S(cm2)与小正方形边长x(cm)之间的函数关系式；

（2）当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积。

类型二：二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

第一类：二次函数y=ax2的图象和性质

例3．已知

42)2(kkxky是二次函数，且当0x时，y随x的增大而增大。

(1)求k的值；

(2)求顶点坐标和对称轴。

思路点拨：我们知道：二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，对称轴是轴，顶点是

﹍﹍点，a的绝对值越大，图象越y轴。

①当a>0时，抛物线的开口，在对称轴的侧，y随x的增大而减小；在对

称轴的侧，y随x的增大而增大，函数图象有最低点.

②当a<0时，抛物线的开口，在对称轴的侧，y随x的增大而增大；在对

称轴的侧，y随x的增大而减小，函数图象有最高点.

基于上述性质，我们逆向推理很快就能得出结论。

例4．在已知正方形的周长为Ccm，面积为Scm2.

(1)求S和C之间的函数关系式，并画出图象；

(2)根据图象，求出S=1cm2时，正方形的周长；

(3)根据图象，求出C取何值时，S≥4cm2.

6

总结升华：

(1)此图象原点处为点；

(2)横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y；

(3)在自变量取值范围内，图象为抛物线的。

第二类：y=ax2+k的图象和性质

例

5

．一条抛物线的开口方向和对称轴都与2

2

1

xy相同，顶点纵坐标是

-2

，且抛物线经过点

(1

，

1)

，求这条抛物线的函数关系式。

第三类：y=a(x-h)2的图象和性质

例6．不画出图象，你能说明抛物线

23xy与

2)2(3xy之间的关系吗?

第四类：y=a(x-h)2的图象和性质

例7．把抛物线cbxxy2

向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛

物线

2xy，求b，c的值。

第五类：二次函数y=ax2＋bx+c的图象和性质

例8．通过配方，确定抛物线6422xxy的开口方向、对称轴和顶点坐标，

再描点画图。

7

总结升华：

(1)列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由_________得到；

(2)描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出点，并用虚线画﹍

﹍轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点；

例9．（1）已知抛物线9)2(2xaxy的顶点在坐标轴上，求

a

的值。

（2）（2011四川重庆）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置

如图所示，则下列结论中正确的是()

A．a>0B．b＜0C．c＜0D．a＋b＋c>0

类型三：二次函数的最值

例10．（1）求下列函数的最大值或最小值.

①5322xxy；②432xxy.

（2）（2011•温州）已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自

变量取值范围内，下列说法正确的是（）

8

A、有最小值0，有最大值3B、有最小值﹣1，有最大值0

C、有最小值﹣1，有最大值3D、有最小值﹣1，无最大值

总结升华：当自变量取值范围是全体实数时，最大值或最小值的求法：

第一步确定的符号，a＞0有最值，a＜0有最值；

第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.

例11．某商场试销一种成本为60元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，

又获利不得高40%，经试销发现，销售量

y

(件)与销售单价

x

(元/件)符合一次函数

bkxy

，且70x时，

50y

；80x时，

40y

；

(1)求出一次函数bkxy的解析式；

(2)若该商场获得利润为

w

元，试写出利润

w

与销售单价

x

之间的关系式，销售

单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？

总结升华：解决实际问题时，应先分析问题中的______关系，列出___________式，再

研究所得的函数，一定要考虑在__________的取值范围内得出正确结果。

类型四：用待定系数法确定二次函数的解析式

例12．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式.

(1)已知二次函数的图象经过点A(0，-1)，B(1，0)，C(-1，2)；

(2)已知抛物线的顶点为(1，-3)，且与y轴交于点(0，1)；

(3)已知抛物线与x轴交于点M(-3，0)，(5，0)，且与y轴交于点(0，-3)；

(4)已知抛物线的顶点为(3，-2)，且与x轴两交点间的距离为4.

.

总结升华：确定二次函数的关系式的一般方法是______系数法，在选择把二次函数的

关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则.二次函数的关

9

系式可设如下三种形式：

(1)一般式：，给出三点坐标可利用此式来求.

(2)顶点式：，给出两点，且其中一点为顶点时可利

用此式来求.

(3)交点式：，给出三点，其中两点为与x轴的两个

交点)0,(

1

x.)0,(

2

x时可利用此式来求.

☆例13．有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度

为6m，跨度为8m，把它放在如图所示的平面直角坐标系

中。

(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；

(2)若要在隧道壁上点P(如图)安装一盏照明灯，

灯离地面高4.5m.求灯与点B的距离.

三、总结与测评

要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们

巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。

（一）求二次函数解析式的方法

一般来说，二次函数的解析式常见有以下几种形式.

(1)一般式：

y=(a，b，c为常数，a≠0)

(2)顶点式：

y=(a，h，k为常数，a≠0)

要确定二次函数解析式，就是要确定解析式中的待定系数(常数)，由于每一种形式中都含有三个待定系数，所以用待定系

数法求二次函数的解析式，需要已知三个独立条件.

当已知抛物线上任意三点时，通常设函数解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后列出三元一次方程组求解.

当已知抛物线的坐标和抛物线上另一点时，通常设函数解析式为顶点式y=a(x-h)2+k求解.

(3)交点式：

y=(a≠0)，其中x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标.

（二）确定二次函数最值的方法

确定二次函数

2(0)yaxbxca的最大值或最小值，首先先看________的取值范围.再分别求出二次函数在顶点

处的函数值和在端点处的函数值，比较这些函数值，其中最大的是函数的最大值，最小的是函数的最小值.

①若自变量

x

的取值范围是全体实数，函数

2(0)yaxbxca有最大值或最小值，如图所示.

总结规律和方法——强化所学

认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。

相关内容请参看网校资源ID：#tbjx12#228623。

10

图(1)中，抛物线开口向上，有最点，则当x=时，函数有最小值是；

图(2)中，抛物线开口向下，有最点，则当x=时，函数有最大值是.

②若自变量

x

的取值范围不是全体实数，函数

2(0)yaxbxca有最大值或最小值，如图所示.

图(1)中，当x=______时，函数有最大值_____；当x=______时，函数有最小值_________；

图(2)中，当x=______时，函数有最大值_____；当x=______时，函数有最小值_________；

图(3)中，当x=______时，函数有最大值_____；当x=______时，函数有最小值_____；

图(4)中，当x=______时，函数有最大值_________；当x=______时，函数有最小值_____；

图(5)中，当x=______时，函数有最大值_________；当x=______时，函数有最小值_____.

知识点：二次函数有关概念、二次函数的图象及性质

测评系统分数：模拟考试系统分数：

如果你的分数在80分以下，请进入网校资源ID：#cgcp0#228623做基础达标部分的练习，如果你的分数在80分以上，

你可以进行能力提升题目的测试。

成果测评

现在来检测一下学习的成果吧！请到网校测评系统和模拟考试系统进行相关知识点的

测试。

自我反馈

学完本节知识，你有哪些新收获？总结本节的有关习题，将其中的好题及错题分类整

理。如有问题，请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流。

11

我的收获

习题整理

题目或题目出处所属类型或知识点分析及注意问题

好题

错题

注：本表格为建议样式，请同学们单独建立错题本，或者使用四中网校错题本进行记录。

○网○校○重○要○资○源

知识导学：二次函数图象与性质（ID:#228623）

视听课堂：二次函数的图象和性质（一）（ID:#26750）、二次函数的图象和性质（二）（ID:#26752）、二次函数（ID:#217329）

12

更多资源，请使用网校的学习引领或搜索功能来查看使用。

对本知识的学案导学的使用率：

□好（基本按照学案导学的资源、例题进行复习、预习和进行课堂笔记等，使用率达到80%以上）

□中（使用本学案导学提供的资源、例题和笔记，使用率在50%-80%左右）

□弱（仅作一般参考，使用率在50%以下）

学生：_______________家长：______________指导教师：_________________

请联系北京四中网校当地分校以获得更多知识点学案导学。