人教版初中数学

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数学素材-收付实现制与权责发生制的区别

2023年2月21日发(作者：市特殊教育学校)

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初中数学学问点总结〔精华〕

第一章有理数

1、有理数的分类:①



























负分数

负整数

负有理数

零

正分数

正整数

正有理数

有理数

②

2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.

3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另

一个的相反数；0的相反数还是0；

(2)相反数的和为0a+b=0.

4、.肯定值：

(1)正数的肯定值是其本身，0的肯定值是0，负数的肯定值是

它的相反数；留意：肯定值的几何意义是数轴上表示某数的点

离开原点的距离；

(2)肯定值可表示为：或；肯定值的问题经常分类探讨；

5、互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；留意：0没有倒数；

假设a≠0，那么a的倒数是

a

1

；假设ab=1a、b互为倒数

6、有理数的四那么运算：〔1〕有理数的加法法那么：同号两数

相加，取一样的符号，并把肯定值相加；肯定值不相等的异号

两数相加，取肯定值较大的加数的符号，并用较大的肯定值减

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去较小的肯定值；互为相反数的两个数相加为0；0及任何数相

加都等于任何数

〔2〕有理数减法法那么：:减去一个数等于加上这个数的相反

数

〔3〕有理数的乘法法那么：两个数相乘，同号得正，异号得

负，并把肯定值相乘；

0乘以任何一个数都等于0；

多个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数确定：

负因数有偶数个时，积为正数，负因数有奇数个时，积为负数，

再把各个因数的肯定值相乘

〔4〕有理数的除法法那么两数相除，同号得正，异号得负，

再把肯定值相除；0除以任何一个不为0的数都得0；

除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数

7、有理数乘法的运算律：〔1〕乘法的交换律：ab=ba；

〔2〕乘法的结合律：〔ab〕c=a〔bc〕；

〔3〕乘法的安排律：a〔b+c〕=ab+ac.

8、比拟两个数的大小：〔1〕负数<0<正数，任何一个正数都

大于一切负数

〔2〕数轴上的点表示的有理数，左边的数总比右边的数小

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〔3〕两个正数比拟大小，肯定值大的数就大；两个负数比拟大

小，肯定值大的数反而小

〔4〕两数相乘〔或相除〕，同号得正>0，异号得负<0

9、有理数乘方的法那么：〔1〕正数的任何次幂都是正数；

〔2〕负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；留意：当n

为正奇数时:(-a)n=-an或(a-b)n=-(b-a)n,当n为正偶数时:

(-a)n=an或(a-b)n=(b-a)n.

10、科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其

中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.

11、非负数的性质：假设02cba，那么000cba且且

其次章整式的加减

1．单项式：在代数式中，假设只含有乘法〔包括乘方〕运算。

或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式.

2．单项式的系数及次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项

式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中

全部字母指数的和，叫单项式的次数.

3．多项式：几个单项式的和叫多项式.

4．多项式的项数及次数：多项式中所含单项式的个数就是多项

式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项

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的次数叫多项式的次数。

5、整式：单项式和多项式统称整式

6、同类项：所含字母一样，并且一样字母的指数也一样的项叫

做同类项。

7、合并同类项的法那么：将同类项的系数相加作为结果的系数，

字母和字母的指数不变。

8、去括号法那么：去括号，看符号；是“+”号，不变号；是

“－”号，全变号

第三章一元一次方程

1、等式的性质1：等式两边加〔或减〕同一个数〔或式子〕，

结果仍相等。

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的

数，结果仍相等。

2．一元一次方程的一般式：ax+b=0〔x是未知数，a、b是常数，

且a≠0〕.

3．一元一次方程解法的一般步骤：整理方程……去分

母……去括号……移项……合并同类项……系数化为

1……得到方程的解.

4．列方程解应用题的常用公式：

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〔1〕行程问题：距离=速度·时间；

〔2〕工程问题：工作量=工效·工时；

〔3〕比率问题：局部=全体·比率；

〔4〕顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度

=静水速度-水流速度；

〔5〕商品价格问题：售价=定价·折·

10

1

，利润=售价-本钱，

%100





成本

成本售价

利润率；

〔6〕周长、面积、体积问题：C圆=2πR，S圆=πR2，C长方形=2(a+b)，

S长方形=ab，C正方形=4a，S正方形=a2，S环形=π(R2-r2)，V长方体=abc，

V正方体=a3，V圆柱=πR2h，V圆锥=

3

1

πR2h.

第四章图形的相识初步

1、直线公理：两点确定一条直线

2、线段公理：两点之间，线段最短

3、两点之间的距离：连接两点的线段的长度叫做两点之间的距

离

4、'0601；'''601；1周角=0360；1平角=0180

5、两个角的和等于直角，这两个角互余；两个角的和等于平角，

这两个角互补

6、同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等

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第五章相交线及平行线

1、命题：判定一件事情的语句叫命题。命题是由题设和结论两

局部构成的，它可以改写成“假如……那么……”的形式。

2、垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线及确定直线

垂直。

性质2：连接直线外一点及直线上各点的全部线段中，垂线段

最短。

3、.平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线及确定直线

平行。

平行公理的推论：假如两条直线都及第三条直线平行，那么这

两条直线也相互平行。

4、平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等。

性质2：两直线平行，内错角相等。

性质3：两直线平行，同旁内角互补。

5、平行线的判定：判定1：同位角相等，两直线平行。

判定2：内错角相等，两直线平行。

判定3：同旁内角互补，两直线平行。

6、平移的性质：平移前后的图形全等

第六章实数

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1、实数的分类









































































负无理数

正无理数

无理数

负分数

正分数

分数

负整数

正整数

自然数

整数

有理数

实数

0

、



























































负无理数

负分数

负整数

负有理数

负实数

正无理数

正分数

正整数

正有理数

正实数

实数0

2.算术平方根：一般地，假如一个正数x的平方等于a，即x2=a，

那么正数x叫做a的算术平方根，记作a。0的算术平方根为

0。即)0(aa。

3.平方根：一般地，假如一个数x的平方根等于a，即x2=a，

那么数x就叫做a的平方根。

4.平方根的性质：正数有两个平方根〔一正一负〕它们互为相

反数；0只有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根。

5、立方根定义：假如ax3，那么3ax

6、立方根的性质：正数的立方根是正数；0的立方根是0；负

数的立方根是负数

7、实数a的相反数是－a；一个正实数的肯定值是它本身，一

个负数的肯定值是它的相反数，0的肯定值是0

8、实数和数轴上的点一一对应；有序实数对及平面内的点成一

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一对应关系

第七章平面直角坐标系

1、平面直角坐标系：在平面内，两条相互垂直且有公共原点的

数轴组成平面直角坐标系。

2、〔1〕将点〔x，y)向右〔或左〕平移a个单位长度，可以得

到对应的点〔x



a，y)；

〔2〕将点〔x，y)向上〔或左下〕平移a个单位长度，可以得

到对应的点〔x，y



b)

(3)平移的口诀是：左减右加，上加下减

3、坐标平面内的点及有序实数堆成一一对应的关系

第八章二元一次方程组

1、二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等

的未知数的值叫做二元一次方程的解。

2、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程

的公共解叫做二元一次方程组。

3、解二元一次方程组的根本思想：消元思想：根本方法是：代

入消元法和加减消元法

4、解三元一次方程的根本方法是：

一元二元（消元）三元（消元）

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第九章不等式及不等式组

1、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的全部解，组成这

个不等式的解集。

2、定理及性质

不等式的根本性质1：不等式的两边都加上〔或减去〕同一个

数〔或式子〕，不等号的方向不变。

不等式的根本性质2：不等式的两边都乘以〔或除以〕同一个

正数，不等号的方向不变。

不等式的根本性质3：不等式的两边都乘以〔或除以〕同一个

负数，不等号的方向变更。

3、不等式的解集：一般地，几个不等式的解集的公共局部，叫

做由它们所组成的不等式组的解集。

4、解不等式组的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，

大大小小找不到。

第十章数据的收集、整理及描述

1.全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。

2.抽样调查：调查局部数据，依据局部来估计总体的调查方式

称为抽样调查。

3.总体：要考察的全体对象称为总体。

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4.个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。

5.样本：被抽取的全部个体组成一个样本。

6.样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。〔不带单位〕

7.频数：一般地，我们称落在不同小组中的数据个数为该组的

频数。

8.频率：频数及数据总数的比为频率。即：，，频率数据总数频数

第十一章三角形

1、三边关系：三角形随意两边的和大于第三边，随意两边的差

小于第三边。

2、正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边

形叫做正多边形。

3、公式及性质〔1〕三角形的内角和：三角形的内角和为180°

〔2〕三角形外角的性质：

性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

〔3〕多边形内角和公式：n边形的内角和等于〔n-2〕·180°

〔4〕多边形的外角和：多边形的外角和为360°。

〔5〕多边形对角线的条数：从n边形的一个顶点启程可以引

〔n-3〕条对角线，把多边形分词〔n-2〕个三角形。

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n边形共有条对角线。

第十二章全等三角形

1、全等三角形：两个三角形的形态、大小都一样时称为全等三

角形。一个图形经过平移、旋转、对称等运动〔或称变换〕后

得到另一个图形，变换前后的图形全等。

2．全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相

等。

3、三角形全等的判定公理及推论有：

〔1〕“边角边”简称“SAS”：〔2〕“角边角”简称“ASA”：

〔3〕“边边边”简称“SSS”〔4〕“角角边”简称“AAS”：

〔5〕斜边和直角边相等的两直角三角形〔HL〕。

4、〔1〕角平分线的性质：在角平分线上的点到角的两边的距离

相等

〔2〕角平分线推论〔或称判定〕：角的内部到角的两边的距离

相等的点在叫的平分线上。

第十三章轴对称

1.对称轴：假如一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的局部

能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做

对称轴。

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图1

l

C

B

1

B

A

2.性质：〔1〕轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线

段的垂直平分线。

〔2〕角平分线上的点到角两边距离相等。

〔3〕线段垂直平分线上的随意一点到线段两个端点的距离相

等。

〔4〕及一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直

平分线上。

〔5〕轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

3.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，〔等边对等

角〕

4.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线相互

重合，简称为“三线合一”。

5.等腰三角形的判定：等角对等边。

6.等边三角形角的特点：三个内角相等，等于60°，

7.等边三角形的判定：〔1〕三个角都相等的三角形是等边三角

形：〔2〕有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形：〔3〕有

两个角是60°的三角形是等边三角形。

8.直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜

边的一半。

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9．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

10、最短路径为题：如图1，确定点A、B在直线l的同侧，此

时此刻l上求一点C，使CA＋CB最小，作法如下：

作点B〔或点A〕关于l的对称点B

1

，连接AB

1

，交l于C，那

么点C就可使AC+BC最短。

第十四章整式的乘除及分解因式

1.同底数幂的乘法法那么:nmnmaaa

(m,n都是正数)

2.幂的乘方法那么：mnnmaa)(

(m,n都是正数)

3.积的乘方法那么：nnnbaab)（(m,n都是正数)

4.整式的乘法

〔1〕单项式乘法法那么:单项式相乘,把它们的系数、一样字

母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指

数作为积的一个因式。

〔2〕单项式及多项式相乘:单项式乘以多项式，是通过乘法对

加法的安排律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式及多

项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积

相加。mcmbmacbam)(

〔3〕．多项式及多项式相乘

多项式及多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个

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多项式的每一项，再把所得的积相加。：

bnbmanamnmba))(（

5．乘法的平方差公式:22))((bababa

6．乘法的完全平方公式:2222)(bababa

7.同底数幂的除法法那么:同底数幂相除,底数不变,指数相减,

即nmnmaaa

(a≠0,m、n都是正数,且m>n).

在应用时须要留意以下几点:

①法那么运用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除

数,所以法那么中a≠0.

②任何不等于0的数的0次幂等于1,即

)0(10aa

③任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p次

幂的倒数,即(a≠0,p是正整数),

8．整式的除法

〔1〕单项式除法单项式:单项式相除，把系数、同底数幂分别

相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，那么连

同它的指数作为商的一个因式；

〔2〕多项式除以单项式:多项式除以单项式，先把这个多项式

的每一项除以单项式，再把所得的

商相加.cbamcmbmam)（

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9.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形

叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式

分解因式的一般方法：1.提公共因式法2.运用公式法3.十字

相乘法

分解因式的步骤：(1)先看各项有没有公因式,假设有,那么先提

取公因式;

(2)再看能否运用公式法;

(3)十字相乘法可对二次三项式试一试；

(4)因式分解的最终结果必需是几个整式的乘积,否那么不是因

式分解;

(5)因式分解的结果必需进展到每个因式在有理数范围内不能

再分解为止.

10、因式分解公式：平方差公式))((22bababa；

完全平方公式222)2bababa（

11、特殊记住：完全平方式有两个：22222-2babababa和

第十五章分式

1.分式：形如

B

A

，A、B是整式，且B中含字母叫做分式。

2.〔1〕分式

B

A

有意义的条件：0B；〔2〕当时，

B

A

的值是0

3、分式的根本性质:分式的分子和分母同时乘以〔或除以〕同

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一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为：〔A,B,C为

整式，且C≠0〕

4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数〕约去，

这种变形称为约分。

5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做

通分。

6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称

为最简分式.约分时,一般将一个分式化为最简分式或整式。

7.分式的四那么运算：〔1〕同分母分式加减法那么:同分母的

分式相加减,分母不变，把分子相加减.用字母表示为：

〔2〕异分母分式加减法那么:异分母的分式相加减,先通分,

化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法那么进展

计算.用字母表示为：

〔3〕分式的乘法法那么:两个分式相乘,把分子相乘的积作

为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：

〔4〕分式的除法法那么:(1).两个分式相除,把除式的分子

和分母颠倒位置后再及被除式相乘：.

8.分式方程的定义:分母中含有未知数的方程叫做分式方

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程.

9.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分

母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出

未知数的值;③验根(求出未知数的值后必需验根,因为在把

分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,

可能产生增根).：使最简公分母为零的整式方程的根不是原

方程的根〔是增根〕，使最简公分母不为零的整式方程的根

是原方程的根。〔简称：一化二解三检验〕

第十六章二次根式

1、二次根式：一般地，形如a〔a≥0〕的代数式叫做二次根

式。当a＞0时，a表示a的算术平方根,其中0=0

2、理解并驾驭以下结论：

〔1〕)0(aa是非负数〔双重非负性〕；〔2〕)0()2aaa（；

〔3〕











































)0(

)0(

)0(

)0(

)0(

)0(0

)0(

2

aa

aa

aa

aa

aa

a

aa

aa；

口诀：平方再开方，出来带“框框”

3、二次根式的乘法：)0,0(•baabba，反之亦成立

4、二次根式的除法：，反之亦成立

5、满意以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：

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〔1)被开方数不含分母，〔2〕被开方数不含开得尽方的因数或

因式。

6、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，假如被

开方数一样，那么这几个二次根式是同类二次根式。

第十七章勾股定理

1.〔1〕勾股定理：假如直角三角形的两直

角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2

＋b2=c2。

〔2〕勾股定理逆定理：假如三角形三边长a,b,c满意a2＋

b2=c2。，那么这个三角形是直角三角形。

2.定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理。

3.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。假如

把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。〔例：勾

股定理及勾股定理逆定理〕

第十八章四边形

1.平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行

四边形。

2.平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的

对角相等。平行四边形的对角线相互平分；平行四边形是中心

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对成图形，对角线的交点是对称中心。

3.平行四边形的判定：

○

1.两组对边分别

相等的四边形是平行四边形

○

2.对角线相互平分的四边形是平行四边

形；

○

3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

○

4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

注：平行四边形定义也是一种判定方法

4.三角形的中位线的性质：三角形的中位线平行于三角形的第

三边，且等于第三边的一半。

5.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

6.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。

7.矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相互

平分且相等；矩形是轴对有两称图形，即经过对边中点的两条

直线是对称轴。〔也是中心对称图形〕

8.矩形判定定理：

○

1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

○

2.对角线相等的平行四边形是矩形。

○

3.有三个角是直角的四

边形是矩形。

9.菱形的定义：邻边相等的平行四边形。

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10.菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线相互

垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，

两条对角线所在的直线是对称轴。〔也是中心对称图形〕

11.菱形的判定定理：

○

1.一组邻边相等的平行四边形是菱形。

○

2.对角线相互垂直的平行四边形是菱形。

○

3.四条边相等的四边

形是菱形。

12.〔a、b为两条对角线〕=底×高

13.正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。

14.正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角。正方形

既是矩形，又是菱形。

15.正方形判定定理：〔1〕邻边相等的矩形是正方形。

〔2〕有一个角是直角的菱形是正方形。

或者先证一个四边形是矩形，再证一个四边形是菱形。反过来

证也行

16、〔1)顺次连接对角线相互垂直的四边形四边中点所得的中点

四边形是矩形；〔2〕顺次连接对角线相互等的四边形四边中点

所得的中点四边形是菱形。

第十九章一次函数

1.一次函数：假设两个变量x,y间的关系式可以表示成

(1)

(2)

(3)

(1)

(3)

(2)

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y=kx+b(k≠0)的形式,那么称y是x的一次函数(x为自变量,y

为因变量)。特殊地,当b=0时,称y是x的正比例函数。

2.正比例函数一般式：y=kx〔k是常数且k≠0〕。

3.正比例函数的图像和性质：正比例函数y=kx〔k≠0〕的图象

是一条经过原点的直线。〔1〕当k>0时，直线y=kx经过第一、

三象限,y随x的增大而增大；当k<0时，直线y=kx经过其次、

四象限,y随x的增大而减小，〔2〕在一次函数y=kx+b中:当k>0

时,y随x的增大而增大；当k<0时,y随x的增大而减小。

4.确定两点坐标求函数解析式：待定系数法。解题步骤是：〔1〕

设解析式，〔2〕由题意列出方程〔或方程组〕，〔3)解这个方程

〔或方程组〕，〔4〕写出函数的解析式

5、当

21

kk时，直线

11

bxky和直线

22

bxky平行

6、两条直线

11

bxky和

22

bxky的交点坐标就是方程组的解

其次十章数据的分析

1.加权平均数：加权平均数的计算公式：

n

nn

fff

fxfxfx

x







21

2211

〔

n

fff

21

、叫对应的

221

xxx、的权〕。权的理解:反映了某个

精心整理

数据在整个数据中的重要程度。

2.中位数：将一组数据遵照由小到大〔或由大到小〕的依次排

列，假如数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数就是这组

数据的中位数；假如数据的个数是偶数，那么中间两个数据的

平均数就是这组数据的中位数。

3.众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众

数。

4、方差公式：22

2

2

1

2)()()(

1

xxxxxx

n

s

n

•••

方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就

越稳定。

其次十一章一元二次方程

1、一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数〔一

元〕，并且未知数的最高次数是2〔二次〕的方程，叫做一元二

次方程．

2、一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0〔a、b、c是常数，

且a≠0〕

3、运用开平方法解形如〔x+m〕2=n〔n≥0〕的方程；领悟降次

──转化的数学思想．

4、配方法解一元二次方程就是将方程变形为qpx2)（的形式，

精心整理

2

22

4

()(0)

24

bacb

yaxbxcaxa

aa





假如q≥0，方程的根是

qpx

；假如q＜0,方程无实根．

5、一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕，当b2-4ac≥0时，•x=叫

做一元二次方程的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的

方法叫公式法．

6、一元二次方程为20(0)axbxca，其根的判别式为：

24bac，那么有以下性质：

①0方程有两个不相等的实数根：．

②0方程有两个相等的实数根：

122

b

xx

a

．

③0方程没有实数根．

7、一元二次方程根及系数的关系〔又叫韦达定理〕：假如一元

二次方程20axbxc〔0a〕的两根为

12

xx，，那么，就有，〔留意：

运用根及系数的关系的前提是b2-4ac≥0〕

其次十二章二次函数

1.二次函数：一般地，函数y和x自变量之间存在如下关系：

一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)〔a、b、c为常数)，那么称y为x

的二次函数。

2.二次函数的解析式三种形式。

〔1〕一般式：

对称轴：，顶点坐标：，

及y轴交点坐标〔0，c〕

〔2〕顶点式：2()yaxhk，对称轴：hx，顶点：),kh（

精心整理

〔3〕交点式〔或双根式〕：

12

()()yaxxxx，

其中抛物线及x轴的交点是〔

1

x，0〕及〔

2

x，0〕

对称轴：

3、增减性：当a>0时，对称轴左侧，y随x增大而减小；对称

轴右侧，y随x增大而增大

当a<0时，对称轴左侧，y随x增大而增大；对称轴右

侧，y随x增大而减小

4、勾画草图关键点：

○

1开口方向

○

2对称轴

○

3顶点

○

4及x轴

交点

○

5及y轴交点

5、.图像平移步骤

〔1〕配方2()yaxhk，确定顶点〔h,k〕

〔2〕对x轴左加右减〔括号内〕；对y轴上加下减〔括号外〕

6、二次函数的对称性

二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为

1

x、

2

x

其

对应的纵坐标相等，那么对称轴

7.依据图像判定a,b,c的符号

〔1〕a——确定图像的形态和开口方向

〔2〕b——及a共同确定对称轴：左同右异，当b=0时对称

轴是y轴

精心整理

〔3〕c——图像及y轴交于〔0，c)，即c确定图像及y轴的

交点的位置

8.二次函数及一元二次方程的关系

抛物线y=ax2+bx+c及x轴交点的横坐标

1

x、

2

x是一元二次方

程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根。

抛物线y=ax2+bx+c，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程

ax2+bx+c=0

〔1〕当24bac>0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二

次函数图像及x轴有两个交点；

〔2〕当24bac=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次

函数图像及x轴有一个交点；

〔3〕当24bac<0时，一元二次方程无实根，二次函数图像及

x轴没有交点

9、最值：对于抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，假设a>0，当时，；

假设a<0，当时，

其次十三章旋转

1、旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一

个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，

转动的角度叫做旋转角。

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2、旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长

度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形态没有变更。

3、旋转的三要素：旋转的中心、旋转角、旋转的方向。

4．中心对称图形及中心对称：〔是一种特殊的旋转〕

中心对称图形：假如把一个图形围着某一点旋转180度后能及

自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。中心对

称：假如把一个图形围着某一点旋转180度后能及另一个图形

重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。

5、.中心对称的性质：

〔1〕关于中心对称的两个图形是全等形。〔2〕关于中心对称的

两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

〔3〕关于中心对称的两个图形，对应线段平行〔或者在同始终

线上〕且相等。

6、(1)点P〔x，y)关于x轴对称点的坐标是〔x，－y)

(2)点P〔x，y)关于y轴对称点的坐标是〔－x，y)

(3)点P〔x，y)关于原点对称点的坐标是〔－x，－y)

(4)口诀：关于横轴对称“横”不变，关于纵轴对称“纵”不变，

关于原点对称“都”要变

精心整理

其次十四章圆

1.圆：平面上到定点的距离等于定长的全部点组成的图形叫做

圆。定点称为圆心，定长称为半径。

2.圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在

圆周上，且它的两边分别及圆有另一个交点的角叫做圆周

角。

3.内心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其

圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三角形三边的垂直

平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等〔等于半

径〕。

3、外心：和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切

圆，其圆心称为内心，三角形的内心是三个内角平分线的交

点，内心到三角形三边的距离相等〔等于半径〕。

5.扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。

6.圆锥侧面绽开图是一个扇形。这个扇形的半径称为圆锥的

母线。

7.点和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心O的

距离是PO，〔1〕P在⊙O外



PO＞r；〔2〕P在⊙O上



PO

＝r；〔3〕P在⊙O内



PO＜r。

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8.直线及圆有3种位置关系：设⊙O的半径为r，圆心到直

线



的距离为d,(1)直线



及⊙O相离

d>r；〔2〕

直线



及⊙

O相切

d=r；〔3〕

直线



及⊙O相交

d

9.两圆之间有5种位置关系：两圆圆心之间的距离d叫做圆

心距,两圆的半径分别为R和r，且R≥r：〔1〕外离



d＞R+r；

〔2〕外切



d=R+r；〔3〕相交



R-r＜d＜R+r；〔4〕内切

d=R-r(R>r〕；〔5〕内含d＜R-r(R>r〕。

10.切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的

直线是圆的切线。

11.切线的性质：〔1〕经过切点垂直于这条半径的直线是圆

的切线。〔2〕经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。〔3〕

圆的切线垂直于经过切点的半径。

12、切线长定理：从园外一点引圆的两条切线，它们的切线

长相等，这一点及圆心的连线平分两条切线的夹角。

13.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条

弧。

14.有关定理：

〔1〕平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并且平分弦所对

的两条弧．

精心整理

〔2〕在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的

弦也相等．

〔3〕在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于

这条弧所对的圆心角的一半．

〔4〕半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角

所对的弦是直径．

〔5〕园内接四边形对角互补

14、〔1〕正n边形的中心角=；〔2〕正n边形的中心角=它的一

个外角=

15、圆的计算公式：〔1〕圆的周长d2RC；〔2〕

圆的面积2RS；〔3〕扇形弧长；〔4〕扇形面积；〔5〕圆锥

侧面积

母侧

RS；〔6〕圆锥外表积

母

圆锥全

rrS2；〔7〕

rhS2

圆柱侧

；〔8〕22r2rhS

圆柱全

其次十五章概率初步

1、确定事务：〔1〕势必发生的事务：在必须的条件下重复进展

试验时，在每次试验中势必会发生的事务。

〔2〕不行能发生的事务：有的事务在每次试验中都不会发

生，这样的事务叫做不行能的事务。

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2、随机事务：在必须条件下，可能发生也可能不放声的事务，

称为随机事务。

3、〔1)统计概率的意义：一般地，在大量重复试验中，假如事

务A发生的频率

m

n

会稳定在某个常数p旁边，那么这个常数p

就叫做事务A的概率。

〔2〕古典概型概率的求法：一般地，假如在一次试验中，有

n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事务A包含

其中的m中结果，那么事务A发生的概率为P〔A〕=

n

m

4、概率的取值范围：1)(0AP。

〔1〕当A是势必发生的事务时，P〔A〕=1

〔2〕当A是不行能发生的事务时，P〔A〕=0

5、求概率的方法：〔1〕列表法：当一次试验要设计两个因素，

并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出全部可能

的结果，通常采纳列表法。(也可采纳画树状图法〕。

〔2)画树状图法:

当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不便

利了，为了不重不漏地列出全部可能的结果，通常采纳树状图

法求概率。

其次十六章反比例函数

精心整理

1.反比例函数：形如y＝

x

k

〔k为常

数，k≠0〕的函数称为反比例函数。

其他形式xy=k；1kxy；

2.图像：反比例函数的图像属于双

曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。

有两条对称轴：直线y=x和

xy

。对称中心是：原点

3.性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在

每个象限内y值随x值的增大而减小；

当k＜0时双曲线的两支分别位于其次、第四象限，在每

个象限内y值随x值的增大而增大。

4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作

的垂线段及两坐标轴围成的矩形的面积。

其次十七章相像

1.相像三角形：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形叫

做相像三角形。对应边的比叫做相像比。

2.相像三角形的判定方法:

依据相像图形的特征来判定。〔对应边的比相等，对应角

相等〕

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○

1.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边

相交,所构成的三角形及原三角形相像；〔预备定理〕

○

2.假如一个三角形的两个角及另一个三角形的两个角对应

相等,那么这两个三角形相像；〔“角角”〕

○

3.假如两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角

相等,那么这两个三角形相像；〔“边比角边比”〕

○

4.假如两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三

角形相像；〔“边边边比”〕

3.直角三角形相像判定定理:

○

1.斜边及一条直角边对应成比例的

两直角三角形相像。〔“斜边直角边比”〕

○

2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形及原

直角三角形相像，并且分成的两个直角三角形也相像。

4.相像三角形的性质:

○

1.相像三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对

应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等〕的比等于相像比。

○

2.相像三角形周长的比等于相像比。

○

3.相像三角形面积的比等于相像比的平方。

5、〔1〕位似图形的概念：假如两个图形不仅是相像图形，

精心整理

而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图

形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相像比又称为

位似比．

〔2〕位似图形的性质：位似图形上随意一对对应点到位似

中心的距离之比等于位似比．

其次十八章锐角三角函数

△ABC中

(1)∠A的对边及斜边的比值是∠A的正弦，记作sinA＝

∠A的对边

斜边

(2)∠A的邻边及斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA＝

∠A的邻边

斜边

(3)∠A的对边及邻边的比值是∠A的正切，记作tanA＝

∠A的对边

∠A的邻边

2.特殊值的三角函数：



sin

costan

30°

1

2

3

2

3

3

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45°

2

2

2

2

1

60°

3

2

1

2

3

3、解直角三角形时，所用关系：

（1)边的关系：222cba

（2)角的关系：090BA

（3）边角关系：，，，，，

其次十九章投影及视图

1、中心投影:从一个点发出的光线所形成的投影称为中心投影

2、〔1〕平行投影:平行光线所形成的投影称为平行投影。〔2〕

正投影:当平行光线及投影面垂直，这种投影称为正投影。

3、三视图的排列规那么：俯视图放在主视图的下面，长度及主

视图的长度一样；左视图放在主视图的右面，高度及主视图的

高度一样，宽度及俯视图的宽度一样，可简记为“长对正；高

平齐；宽相等”。