化简二次根式
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2023年2月21日发(作者：科学技术的发展)双重二次根式的化简
1．阅读材料：把根式
2xy
进行化简，若能找到两个数m、n，是22mnx
且mny，
则把2xy变成2222()mnmnmn
开方，从而使得
2xy
化简．
例如：化简322
解：22232212221(2)212(12)
2322(12)12
；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
（1）526；（2）743．
【答案】解：（1）5263226
22(3)(2)232
2(32)，
2526(32)32
；
（2）2274343432(3)223
2(23)，
2743(23)23
．
2．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，
如：2322(12)，善于思考的小明进行了以下探索：
设22(2)abmn（其中a、
b
、m、n均为整数），则有222222abmnmn．
222amn，
2bmn
．这样小明就找到了一种把部分2ab的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、
b
、m、n均为正整数时，若23(3)abmn，用含m、n的式子分别表
示a、
b
，得a，
b
；
（2）试着把743化成一个完全平方式．
（3）若a是216的立方根，
b
是16的平方根，试计算：2ab．
【答案】解：（1）23(3)abmn，
223323abmnmn，
223amn
，
2bmn
，
故答案为：223mn
；
2mn
；
（2）2743(23)；
（3）a是216的立方根，
b
是16的平方根，
6a
，
4b
，
22642(22)22ab
．
3．先阅读下列解答过程，再解答．
形如2mn的化简，只要我们找到两个数a，
b
，使
abm
，
abn
，
即22()()abm，abn，那么便有：
22()()mnababab
．
例如：化简：743．
解：首先把743化为7212，这里
7m
，
12n
，
由于
437
，
4312
，
即22(4)(3)7，4312，
所以27437212(43)23
．
根据上述例题的方法化简：13242．
【答案】解：
13m
，
42n
，
又
6713
，
6742
，
即(6)26，(7)27，6742，
213242(67)76
．
4．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如2322(12)．
设22(2)abmn（其中a、
b
、m、n均为正整数），则有222222abmnmn，
222amn
，
2bmn
．这样可以把部分2ab的式子化为平方式的方法．
请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、
b
、m、n均为正整数时，若23(3)abmn，用含m、n的式子分别表
示a、
b
，得：a，
b
．
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、
b
、m、n填空：
5(
25)；
（3）化简
11
16671147
【答案】解：（1）23(3)abmn，222(3)233mnmmnn
223amn
，
2bmn
故答案为：223mn
，
2mn
．
（2）设25(5)abmn
则222(5)255mnmmnn
225amn
，
2bmn
若令
1m
，
2n
，则
21a
，
4b
故答案为：21，4，1，2．
（3）
11
16671147
22
11
(37)(72)
11
3772
3772
(37)(37)(72)(72)
3772
23
3277
2323
137
66
5．阅读下面材料，回答问题：
（1）在化简526的过程中，小张和小李的化简结果不同；
小张的化简如下：252622233(23)23
小李的化简如下：252622323(32)32
请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由．
（2）请你利用上面所学的方法化简625．
【答案】解：（1）小李化简正确，小张的化简结果错误．
因为2(23)|23|32
；
（2）原式25251(51)51
．
6．先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质
化去一层根号．
例如：22232232121(2)212(12)|12|12
解决问题：
①模仿上例的过程填空：
146514235
②根据上述思路，试将下列各式化简．
（1）28103（2）
3
1
2
．
【答案】解：①原式
222142353235(5)(35)|35|35
；
故答案为：223235(5)
；2(35)
；|35|；35；
②（1）原式2225253(3)(53)|53|53
；
（2）原式222
1133131313
()2()()||
2222222222
．
7．求3535的值．
解：设3535x，
两边平方得：222(35)(35)2(35)(35)x
，
即235354x，210x
10x
35350，
353510．
请利用上述方法，求4747的值．
【答案】解：设4747x，
两边平方得：222(47)(47)2(47)(47)x
，
即247476x，
22x
，
2x，
47470，
47472．