圆柱体展开图

圆柱体展开图

计时-bored

2023年2月21日发(作者：小箱梁)

典型例题一

例矩形的边，，以为轴旋转一周得到的圆柱体的表

面积是（）

（A）（B）

（C）（D）

分析与解答：圆柱表面积是两底面积之和加上侧面积.圆柱的侧面展开图是矩形.因此，圆柱

的侧面积是矩形的面积，即底面周长（）与圆柱的高（母线）的积，解之选（C）.

典型例题二

例已知矩形ABCD一边AB=10cm，AD=6cm，求以此矩形为侧面所围成圆柱的表面

积．

解：（1）以AD为圆柱高围成圆柱，则底面圆的半径r=



5

则圆柱表面积为









50

60)

5

(260S2．

（2）以AB为圆柱高围成圆柱，则底面圆的半径r=



3

则圆柱表面积为









18

60)

3

(260S2．

说明：①圆柱表面积的计算；②分类思想；③圆柱各元素的关系和计算．

典型例题三

例（1）如果圆柱底面半径为4cm，它的侧面积为2cm64，那么圆柱的母线长为（）.

（A）16cm（B）16



cm（C）8cm（D）8



cm

（2）如果圆柱底面直径为6cm，母线长为10cm，那么圆柱的侧面积为（）

（A）302cm（B）602cm（C）902cm（D）1202cm

分析圆柱侧面展开图是矩形，（1）可直接用公式求出母线长为8cm，故选（C），（2）

中，由直径求出半径是关键，应选（B）.

典型例题四

例已知一个圆柱的轴截面是一个面积为16cm2的正方形，求它们侧面积．

解：∵圆柱的轴截面是正方形，且面积为16cm2

∴圆柱的高为4cm，圆柱底面直径也是4cm即底面半径为2cm．

∴圆柱的侧面积=2π×2×4＝16πcm2．

说明：此题为基础题．应用圆柱轴截面的特征，圆柱各元素的关系，侧面积计算．

典型例题五

例（1）若圆锥的底面半径是3cm，母线长是5cm，则它的侧面展开图的面积是

2cm______.

（2）若圆锥的母线长为5cm，高为3cm，则其侧面展开图中扇形的圆心角是度.

分析首先弄清圆的侧面展开图是扇形，（1）中可直接用lRS

2

1



扇

求得2cm15，（2）

中先求底面圆半径，扇形弧长，再由弧长公式求圆内角为288°.

典型例题六

例一个圆锥的高是10㎝，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积.

分析：如图，欲求圆锥的侧面积，即求母线长l，底面半径r.由圆锥的形成过程可知，

圆锥的高、母线和底面半径构成直角三角形即SOARt，且,,,10rOAlSASO关键

找出l与r的关系，又其侧面展开图是半圆，可得关系,2

2

2

l

l





，即rl2.

解：设圆锥底面半径r，扇形弧长为C，母线长为l，

由题意得,

2

2l

C



又.2rC

,2

2

2

l

l





得rl2①

在SOARt中，22210rl②

由①、②得：cm.

2

320

cm,

2

310

lr

∴所求圆锥的侧面积为

)cm(

3

200

3

320

3

310

2



rlS

典型例题七

例一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，求这个圆锥的轴截

面积．

解：∵扇形的半径为18cm，圆心角为240°，∴扇形的弧长L=



24

180

18240

∵扇形弧长等于底面圆周长，∴圆锥的母线长为18cm，底面半径=12

2

24







cm

∴圆锥的高为56121822（cm），

∴圆锥的轴截面积S=5725624

2

1

（cm2）

说明：巩固圆锥的各元素之间的关系，弧长公式和解直角三角形等知识的应用．

典型例题八

例已知一个三角形的边长分别为3cm、4cm、5cm，求以一边所在

的直线为轴旋转一周形成的几何体的全面积．

略解：如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，

∵AB2=AC2+BC2，∴∠C=90°．

（1）当以AC所在的直线为轴旋转一周时，形成的几何体是以底面半

径为3，母线长为5的圆锥．

24)35(3SSS

侧

底全

（cm2）．

（2）当以BC所在的直线为轴旋转一周时，形成的几何体是以底面半

径为4，母线长为5的圆锥．

36)45(4SSS

侧

底全

（cm2）．

（3）当以AB所在的直线为轴旋转一周时，形成的几何体是同底面的

两个圆锥的侧组成的几何体，母线长分别为4、3．

圆锥的底面半径=

5

12

5

43







5

84

3

5

12

4

5

12

SSS

21侧侧

全

（cm2）．

说明：①分类思想；②圆锥的侧面积和表面积．

典型例题九

例一个圆锥形的零件，经过轴的剖面是一个等腰直角三角形，求它的侧面展开图的中心

角．

解：设圆锥的母线SA=l，底面半径为r，

则底边周长c=2πr，即为展开扇形的弧长，这个扇形的半径

为l，它的中心角为α，则c=



180

l，

又△ASB为等腰直角三角形，∴l=2r．

∴r2r2

180





，∴

)2180(

．

说明：圆锥展开图的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径等于圆锥母线的

长，扇形的弧长等于圆锥底面周长，千万不要借把圆锥底面的半径当作扇形的半径．

典型例题十

例已知：斜边，以直线为轴旋转一周得一表面积为

的圆锥，则这个圆锥的高等于.

分析与解答：圆锥的表面积是底面积与圆锥侧面积之和.圆锥的侧面展开图是扇形.圆锥的

侧面积是扇形的面积，即等于底面周长×母线长的一半.

此题在分析中要结合图形（如图）弄清欲求圆锥的高即为的长，关键在于求底面半

3

45

A

B

C

3

4

5

A

B

C

D

A

B

S

l

r

径，不妨设，则，即可求出，解之得高＝12cm.

典型例题十二

例一个圆锥的底面半径为10cm，母线长20cm，求：（1）圆锥的表面积；（2）圆锥的

高；（3）轴与一条母线所夹的角；（4）侧面展开图扇形的圆心角.

解（1）).cm(3rlrS

圆锥表

（2）如图，OS为圆锥的高，在RtOSA中，31010202222ASOAOS

（cm）.

（3）设轴与一条母线所夹的角为



，在RtOSA中，

.30,

2

1

sin

OA

AS

（4）设侧面展开图扇形的圆心角度数为，则由

180

2

l

r



得180，

∴侧面展开图扇形的圆心角为180°.

说明：本题考查与圆锥有关的计算问题，解题关键是掌握与圆锥有关的性质与公式.

典型例题十二

例圆锥的轴截面是等腰PAB，EG,2,3ABPBPAM是AB上一点，且

2PM，那么在锥面上A、M两点间的最短距离是多少？

分析：设圆锥的侧面展开图是扇形,BPB



A点落在A



点，则所求A



、M之间的最短距

离就是侧面展开图中线段A



M的长度.

解：如图，扇形的圆心角.120

3

1

360360

l

r

60



PBA，在PMA



中，过A

作PMNA



于N，则,5.1

2

1





APPN

,3

2

3

5.1322



NA

MNARt



中，

.7

4

1

4

27

22







MNNAMA

典型例题十三

例一个圆锥形工件的轴截面是一个等腰直角三角形，这个直角三角形的斜边长为10

厘米，现为这个工件刷油漆，若每平方厘米要2.5克油漆，问至少要油漆多少克（备用数据：

取3.14，2取1.41，结果精确到0.1）

解设圆锥的底面半径为r，母线长为l，表面积为S.

∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，∴由勾股定理得.10222ll

∴25l（负值已舍）.

又)cm(19.189)525(514.3)(,510

2

1

2rlrSr

则.0.47398.47219.1895.2

答至少要油漆473.0克.

说明：本题考查圆锥表面积计算的应用，易错点是忽视精确度误得472.98克.

选择题

1．在矩形ABCD中，CAAB，分别以直线AB，AC为轴旋转一周得两个圆柱，这两

个圆柱的底面积与侧面积分别有什么关系？（）

A．底面积相等，侧面积也相等B．底面积不等，侧面积相等

C．底面积相等，侧面积不相等D．底面积不等，侧面积也不等

2．如图，已知圆锥的高为cm4，底面半径为cm3，则圆锥侧面展开图的面积为（）

A．2cm9B．2cm15C．2cm24D．2cm30

3．一个圆锥的高为cm310，侧面展开后是一个半圆，则圆锥的表面积是（）

A．2cm002B．2cm003

C．2cm004D．2cm603

4．在ABC中，90C，aBC，bAC)(ba，分别以AC，BC所在的直线

为轴旋转一周，所得的圆锥的侧面积依次记为

1

S，

2

S，则

1

S和

2

S的大小关系为（）

A．

21

SSB．

21

SSC．

21

SSD．以上情况都有可能

5．一个圆柱的侧面展开图是正方形，那么它的侧面积和底面积的比是（）

（A）1（B）



（C）4（D）4

6．在△ABC中，,90,4,3AACAB把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆

锥，其表面积为

1

S；把Rt△ABC绕直线AB一周得到另一个圆锥，其表面积为

2

S，则



21

:SS（）

（A）3:2（B）4:3（C）9:4（D）56:39

7．已知一个扇形的半径为60厘米，圆心角为150°，若用它做成一个圆锥的侧面，则这个

圆锥的底面半径为（）

（A）12.5厘米（B）25厘米（C）50厘米（D）75厘米

8．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（）

（A）60°（B）90°（C）120°（D）180°

9．如果圆柱的底面直径为4，母线长为2，那么圆柱的侧面展开图的面积等于（）

（A）8（B）4（C）16（D）8

10．一张矩形纸片，两边长分别为2cm和4cm，以它的一边所在直线为轴旋转一周，所得

的圆柱的表面积一定是（）

（A）2cm24或2cm48

（B）2cm32或2cm20

（C）2cm24或2cm32

（D）2cm20或2cm48

参考答案：

1．B2.B3.B4.A5．C；6．A；7．B；8．D.9．A10．A.

填空题

1．用边长分别为8和6的矩形卷成圆柱，则圆柱的底面面积是.

2．如果圆锥的高为8㎝，圆锥的底面半径为6㎝，那么它的侧面展开图的面积为.

3．已知矩形ABCD，一边AB=30㎝，另一边AD=9㎝，以直线AB为轴旋转一周所得到的

圆柱的表面积为2cm（结果用表示）.

4．已知一矩形的长为AB=6，宽AD=4，若以它垂直于一组对边的对称轴为轴旋转180°，

得到的立体图形的表面积为.

5．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形做一个圆锥，那么这个圆锥的底面周长

为.

6．用过轴线的平面把一个圆锥剖开得到一个等腰直角三角形，则这个圆锥的底面半径是高

的倍，母线是高的倍.

7.圆柱的高与底面直径相等，如果它的侧面积为S，则底面积是________

8.矩形ABCD的边cm4AB，cm2AD，以直线AD为轴旋转一周，所得的圆柱的侧

面积是_______2cm

9.底面直径是0cm1，高是cm12的圆锥，沿它的轴剖开得到一个______三角形，该三角形

的面积是______2cm

10.一个圆锥形零件的高为0cm1，若经过轴的剖面是一个等腰直角三角形，则这个圆锥的

底面半径为______

cm

，母线长为______

cm

，侧面积为______2cm，表面积为_____2cm

11.若一圆锥的侧面积为

4

15

，母线长为3，则侧面展开图的圆心角为________.

12．若一个圆锥的母线长是5cm，底面半径是3cm，则它的侧面展开图的面积是2cm.

13．一位同学制作一圆锥模型，这个模型的侧面是用一个半径为9cm，圆心角为240°的扇

形铁皮制作，再用一块圆铁片做底，那么这块圆铁片的半径为.

14．已知圆柱底面半径为



2

，高为10，则圆柱侧面积是.

参考答案:

1．;916和2．60；3．702；4．3242或；5．

3

8

；6．1，2.7.

4

S

8.16

9.等腰10，cm210，2cm21002cm)12(10011.150.12．15

13．6cm14．40.

解答题

1．已知圆柱的底面半径为2cm，圆柱的高为3cm．求它的侧面积．

2．已知圆柱的底面直径为4cm，圆柱的高为5cm．求它的全面积．

3．已知圆拄的高为4cm，侧面积为40πcm2．求它的全面积．

4．已知矩形ABCD中，AB=4cm，BC=2cm，以AB为轴旋转一周，补上底面，求所成的圆

柱的全面积；再以BC为轴旋转一周，补上底面．求所成的圆柱的全面积．比较一下两个圆

柱全面积的大小．

5．已知圆锥的母线长为6cm；底面半径为2cm．求它侧面展开图的圆心角的度数．

6．已知扇形的半径为4cm，圆心角为120°，用它做成一个圆锥．求圆锥的底面面积．

7．已知圆锥的高为6cm，底面半径为8cm．求这个圆锥的侧面积．

8．在如图所示的矩形ABCD中，cm2AB，cm3BC，MN是

它的一条对称轴。以AB为轴旋转一周得一圆柱，再以MN为轴，旋

转半周又得一圆柱，分别求出这两个圆柱的表面积。

9．已知矩形的一边是另一边的两倍，以矩形长边的垂直平分线为轴，将矩形旋转180，得

一侧面积2cm32的圆柱，求这个矩形的边长。

10．已知菱形的周长为20厘米，有一角为60，若以较长的对角线为轴把菱形旋转一周，

求所成的旋转体的表面积。

11．已知圆锥的底面半径为cm

3

1

8，圆锥的侧面展开图的圆心角为150，求圆锥母线的长。

12．一个圆锥的高为33厘米，侧面展开图是半圆，求：母线与底面半径之比；锥角的大

小及圆锥的表面积.

13．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为a的正方形，求这个圆柱的底面半径与圆柱的母线

之比.

14．圆锥的母线与底面直径相等，求这个圆锥侧面展开图确定的扇形的弧所对的圆心角.

15．如图，已知圆锥的母线6AB，底面半径2r，求圆锥的侧面展开图的扇形圆心角.

参考答案与提示：

1.12πcm2．2.28πcm2．3.50πcm2．4.（8+8/π）cm2（8+2/π）cm2第一个表面积

大．5.120°．6.64π/9cm2．7.80πcm2．8．2cm30；2cm5.109．cm4、cm810．2cm52

11．cm20

12．如图所示：AO为圆锥的高，经过AO的剖面是等腰△ABC，

则AB为锥面的母线l，BO为底面半径r.

A

B

C

∵圆锥的侧面展开图是半圆，

,2lr即2:rl.

,2

r

l

即AB=2OB，

∴∠BAO=30°，故∠BAC=60°，即锥角为60°.

在Rt△AOB中，

.33,2,222hrlrhl又

).(2736322平方厘米

底

侧

表

rrlSSS

13．圆柱的侧面展开图是一个边长为a的正方形，

∴圆柱的母线长为a，底面圆的周长为a，则底面圆的半径为.

2

a

∴圆柱的底面圆的半径与圆柱的母线之比为：.2:1:

2





a

a

14．设圆的母线长为a，则底面半径为

2

a

.

∴展开图确定的扇形的弧长为

a

，扇形所在圆的半径为a，设弧所对的圆心角为，

则,

180

a

a





∴180

∴扇形的弧所对的圆心角为180°.

15．设扇形半径为R，弧长为l，则6ABR，42rl.

∵

180

R

l



，∴120.