直线的斜截式方程
站点安全-廉洁的美文短篇
2023年2月21日发(作者：水浒传手抄报)・资•料・
直线方程的点斜式、斜截式.两点式和截距式
一.教学目标
（一）知识教学点
在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程：给出
直线的点斜式方程，能观察宜线的斜率和直线经过的左点：能化直线方程成截距式，并利用直线的
截距式作直线・
（二）能力训练点
通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由一
般到特殊的处理问题方法：通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力.
（三）学科渗透点
通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识.
二.教材分析
1.重点：山于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式方程的特殊情况，
教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上.
2.难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐
标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上.
3.疑点.：不能算直线1的方程，因为直线1上的点P]
的坐标不满足这个方程，但化为y-yi=k（x-xi）后，点Pl的坐标满足方程.
三、活动设计
分析.启发.诱导、讲练结合.
四、教学过程
（一）点斜式
已知直线I的斜率是k,并且经过点Pl（xl,yl）,直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线
I的方程（图1-24）?
设点P（x,y）是直线I上不同于Pl的任意一点，根据经过两点的斜率公式得
k=
IZZi
r(1)
・资•料・
可平为：
|y-yi=k仗它J](2)
注意方程⑴与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程⑴而满足方程(2),因此,点PI不在方程
(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线I的方程.
重复上而的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上而的过程逆推，可以
i正明以这个方程的解为坐标的点都在直线I上，所以这个方程就是过点Pl、斜率为k的直线I的方
程.
这个方程是由直线上一点和直线的斜率确迫的，叫做直线方程的点斜式.
当直线的斜率为0°时(图仁25),k=0,直线的方程是y=y1.
旷.
R
0X
D1-25
当直线的斜率为90。时(图1-26),直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示.但因I上
每一点的横坐标都等于XI,所以它的方程是X=XI・
*1
1
O
因1-26
(P斜截式
已知直线I在y轴上的截距为b，斜率为b,求直线的方程.
这个问题，相当于给出了直线上一点(0,b)及直线的斜率k,求直线的方程，是点斜式方程的
特殊情况，代入点斜式方程可得：
y-b=k(x-O)也就是
y=kx+b
・资•料・
上面的方程叫做宜线的斜截式方程•为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上
的截距确定的.
当kHO时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k和b的儿何意义就是分别表
示直线的斜率和在y轴上的截距.
(三)两点式
已知直线I上的两点Pl(xbyl)、P2(x2,y2),(xlHx2),直线的位置是确定的,也就是直线的方
程是可求的，请同学们求直线I的方程.
「•直线的方程为y-力=—~~-©)・
牝-X]
当yiHy2时，为了便于记忆，我们把方程改写成
=家—约
y
2
-Yi毛
请同学们给这个方程命名：这个方程是由直线上两点确左的，叫做直线的两点式.
对两点式方程要注意下而两点：(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线，当直线与坐标轴平
行(xl=x2或yl=y2)时，可直接写出方程；(2)要记住两点式方程，只要记住左边就行了，右边可由
左边见y就用x代换得到，足码的规律完全一样.
(四)截距式
例1已知直线I在x轴和y轴上的截距分别是a和b(aHO,bHO),求直线I的方程.
此题由老师归纳成已知两点求直线的方程问题，由学生自己完成.
解：因为直线I过A(a,0)和B(0,b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得
y-0
=
x-a
b-00-a
就是
ab
学生也可能用先求斜率，然后用点斜式方程求得截距式.
引导学生给方程命名：这个方程是由直线在X轴和y轴上的截距确定的，叫做直线方程的截
距式.
对截距式方程要注意下面三点:(1)如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代入截距式求直线
的方程:(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来
・资•料・
作图:(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表
(五)例题
例2三角形的顶点是A(・5,0)、B(3,・3)、C(0,2)(图1-27),求这个三角形
三边所在直线的方程.
因1-27
本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫・解：直线AB的方程可山两点
式得：
-3-03_(_町
即3x+8y+15=O
这就是直线AB的方程.
BC的方程本来也可以用两点式得到，为简化汁算，我们选用下面途径:
由斜截式得:
即5x+3y-6=O.
这就是直线BC的方程.
由截距式方程得AC的方程是
-52
即2x+5y+10=0.
这就是直线AC的方程.
(六)课后小结
(1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的，要会加以区
・资•料・
别.
(2)四种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用.
⑶要注意四种形式方程的不适用范围.
五.布置作业
1.(1・5练习第1题)写出下列直线的点斜式方程，并画出图形：
⑴经过点A(2,5),斜率是4；
⑵经过点B(3,-1),斜率杲逻；
(3)经过点C(-迈，2),倾斜角是30°;
(4)经过点D(O,3),倾斜角是0°；
(5)经过点E(4,-2),倾斜角是120°.
解：
(1)
y
-5=4(x-2);
(2)y+l二忑仗_3);
(3)y_2二手(天十忑)；
(忙3；
(5)y+2=-巧仗-4)・(图略)
2.(1・5练习第2题)已知下列直线的点斜方程，试根据方程确定各直线经过的已知点、直
线的斜率和倾斜角：
(1)y-2=x-1
(2)y-3=73(x-4)
;
(3)y+3二七-1)
(4)y十2=-〒仗十1)・
解：
(1)(1,2),k=1,a=45°；
(2)(4,3),k=^3,a=604
}
(3)(1,-3),k=-1,a=135°；
・资•料・
(4)(-1,-2),k諾，Q=150°.
3.(1・5练习第3题)写出下列直线的斜截式方程:
⑴斜率是』L并由上的截距是-乙
2
(2)倾斜角是135°,y轴上的截距是3.
解：⑴厂丁玄-鸟；y=-x+3.
2
4.(1.5练习第4题)求过下列两点的直线的两点式方程，再化成截距式方程,并根据截距式方
程作图.
(1)P1(2,1)、P2(0,-3)：
(2)A(O,5)、B(5,0)；
(3)C(・4,-3)、D(-2,-1).解：
(图略)
六.板书设计
§1・7言线的点斜式.斜截式、两点式和截距式方程
1•点斜式
2.斜截式
3・两点式
4.截距式
例题
(1)
y~i
-3-1
1.
y+1
-3+1
盪-0
5-0
z+2
-4+2
2
55