函数不等式

函数不等式

妈妈给儿子的一封信-我醉君复乐

2023年2月20日发(作者：人性的光辉)

1

第三讲函数与不等式问题的解题技巧

【命题趋向】

高考函数试题有这样几个特点：

1．通过选择题和填空题，全面考查函数的基本概念，性质和图象．

2．在解答题的考查中，与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现．

3．从数学具有高度抽象性的特点出发，没有忽视对抽象函数的考查．

4．一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的．

5．涌现了一些函数新题型．

6．函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题，而且对于数列，不等式，解析几何等

也需要用函数与方程思想作指导．

函数类试题在试题中所占分值一般为22---35分．

不等式试题则有这样几个特点：

1．在选择题中会继续考查比较大小，可能与函数、方程、三角等知识结合出题.

2．在选择题与填空题中注意不等式的解法建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值

应用题.

3．解题中注意不等式与函数、方程、数列、应用题、解几的综合、突出渗透数学思想和方法.

分值在27---32分之间，一般为2个选择题，1个填空题，1个解答题．

可以预测在2009年的高考试题中，会有与导数结合的函数单调性－函数极值－函数最值问题；

选择题与填空题中会出现一些与函数、方程、三角等知识结合的不等式问题，在解答题中会出现一些

不等式的解法以及建立不等式求参数的取值范围，和求最大值和最小值的应用题特别是不等式与函

数、方程、数列、应用题、解几的综合题，这些题目会突出渗透数学思想和方法，值得注意。

【考点透视】

考点1.函数的定义域及其求法

函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域

的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题.

例1．（2007年广东卷理）已知函数

1

()

1

fx

x





的定义域为M，g(x)=ln(1)x的定义域为N，则M∩N=

（A）{|1}xx（B）{|1}xx（C）{|11}xx（D）



例2.(2006年湖南卷）函数

2

log2yx

的定义域是()

（A）(3,+∞)（B）[3,+∞)（C）(4,+∞)（D）[4,+∞)

考点2.复合函数问题

2

复合函数问题,是新课程、新高考的重点.此类题目往往分为两类:一是结合函数解析式的求法来求

复合函数的值.二是应用已知函数定义域求复合函数的定义域.

例3．（2007年北京卷文）对于函数①

()2fxx

，②2()(2)fxx

，③

()cos(2)fxx

，判断如下

两个命题的真假：

命题甲：

(2)fx

是偶函数；命题乙：

()fx

在

()，

上是减函数，在

(2)，

上是增函数；

能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（）

Ａ．①②Ｂ．①③Ｃ．②Ｄ．③

例4．（2006年安徽卷）函数fx

对于任意实数x满足条件



1

2fx

fx



，若15,f

则

5ff

__________.

考点3.函数的单调性、奇偶性和周期性

函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.这里主要帮助读者

深刻理解奇偶性、单调性和周期性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.

例5．（2006年全国卷）已知函数

12

1

)(





x

axf，若fx

为奇函数，则a________.

例6．（2007年全国卷理I）

()fx

，

()gx

是定义在

R

上的函数，

()()()hxfxgx

，则“

()fx

，

()gx

均

为偶函数”是“

()hx

为偶函数”的（）

A．充要条件B．充分而不必要的条件

C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件

考点4.函数的图象与性质

函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的

直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，读者要掌握绘制函数图象的一般方法，掌

握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合

的解题思想.

例7.某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y轴表

示离学校的距离，x轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是()

3

例8．.当a≠0时，y=ax+b和y=bax的图象只可能是()

例9.如图，函数的图象由两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式。

例10.函数f(x)＝bxaxaax)2(48)1(23的图象关于原点成中心对称,则f(x)在],[44

上的单调性是()

A.增函数B.],[04上是增函数,],[40上是减函数

C.减函数D.],[04上是减函数,],[40上是增函数

例11.函数)(xfy的图象过原点且它的导函数)(xfy



的图象

是如图所示的一条直线,则)(xfy的图象的顶点在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

例12.不等式0cxax)x(f2的解集为}1x2|x{,则函数)x(fy的图象为()

考点5.函数综合问题

函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样.这

里主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和

方法，并培养读者的思维和创新能力.

例13．（2007年浙江卷文）已知.|1|)(22kxxxxf

（Ⅰ）若k=2，求方程

0)(xf

的解；

O

x

y

1

1

2

2

3

4

4

（Ⅱ）若关于x的方程

0)(xf

在（0，2）上有两个解x

1

，x

2

，求k的取值范围，并证明

.4

11

21



xx

考点6.以集合为背景的不等式

以集合为背景的不等式,以考查不等式的解法和集合的有关概念与运算为目的,解题时应注意将不

等式的解法与集合的有关概念和运算相结合,准确解题.

例14.（2007年北京卷文）

记关于x的不等式

0

1

xa

x







的解集为P，不等式

11x≤

的解集为

Q

．

（I）若

3a

，求P；（II）若

QP

，求正数a的取值范围．

考点7.以线性规划形式出现的不等式

以线性规划形式出现的不等式,重在考查数形结合的解题能力.这种题目解题时要注意根据已知不

等式组作出图形,分析求解.

例15.（2006年辽宁卷）双曲线224xy

的两条渐近线与直线

3x

围成一个三角形区域,表示该区域

的不等式组是（）

（A）

0

0

03

xy

xy

x

















（B）

0

0

03

xy

xy

x

















（C）

0

0

03

xy

xy

x

















（D）

0

0

03

xy

xy

x

















考点8.以简易逻辑为背景的不等式

以简易逻辑为背景的不等式,解题时往往以不等式为工具,来确定命题,用简易逻辑知识解决问题.

例16.（2006年山东卷）设2

2

1

:200,:0

||2

x

pxxq

x







，则

p

是

q

的（）

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

考点9.与函数的导数知识结合的不等式

与函数的导数知识结合的不等式,解题时往往以不等式和函数的导数为工具,结合函数知识,通过

推理来解决问题.

5

例17.（2006年江西卷）已知函数32()fxxaxbxc

在

2

3

x

与

1x

时都取得极值.

（1）求a、

b

的值及函数

()fx

的单调区间;（2）若对1,2x

,不等式2()fxc<

恒成立,求c的取值范围.

考点10.与数列知识结合的不等式

与数列知识结合的不等式,解题时往往以不等式和数列知识结合为工具,结合函数知识,通过计算

和推理来解决问题.

例18.（2006年湖北卷）设数列

n

a

的前n项和为

n

S

，点*,()n

S

nnN

n









均在函数

32yx

的图像上.

（Ⅰ）求数列

n

a

的通项公式；

（Ⅱ）设

1

3

n

nn

b

aa





，

n

T

是数列

n

b

的前n项和，求使得

20n

m

T

对所有*nN

都成立的最小正整数

m

.

考点11.基本不等式

例19．（1）（04济宁一模5）已知0,0ba，a、b的等差中项为

2

1

，且

a

a

1



，

b

b

1

，

则



的最小值是（）

A．3B．4C．5D．6

（2）（06陕西文7）设x、y为正数，则



















yx

yx

41

)(

的最小值为（）

A．6B．9C．12D．15

考点12.不等式的实际应用

不等式的实际应用题,解题时往往以不等式为工具,结合函数知识,通过建立不等式模型,利用计算

和推理来解决问题.

例20.一段长为Ｌm的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的

面积最大，最大面积是多少?

6

【专题训练与高考预测】

一.选择题

1.y=

322xx

的单调递减区间为（）

A.(－∞，－3)B.(－∞，－1)C.［1，+∞］D.［－3，－1］

2.下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是（）

A.y=－

x

B.y=

1

1

x

C.y=3－2xD.y=－x2+2x+1

3.设f(x)是定义在A上的减函数，且f(x)＞0，则下列函数：y=3－2f(x),y=1+

)(

2

xf

,y=f2(x),y=1－

)(xf

，

其中增函数的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

4．关于x的方程9x+(a+4)·3x+4=0有解，则实数a的取值范围是（）

A．（-∞，-8]∪[0，+∞）B、（-∞，-4）[-8，4）D、（-∞，-8]

5．已知0,0ba，且

1ba

，则

ba

的最大值是（）

A．

4

1

B．

2

1

C．1D．2

6．若a>0，b>0，且2a+b=1，则S=2

ab

-4a2-b2的最大值是（）

A．

2

12

B、

12

C、

2

12

D、

12

7．已知不等式m2＋(cos2θ－5)m＋4sin2θ≥0恒成立，则实数m的取值范围是（）

A.0≤m≤4B.1≤m≤4C．m≥4或x≤0D.m≥1或m≤0

二.填空题

8.已知0,0yx，且1

91



yx

，则

yx

的最小值为

9.已知f（x）是奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）＝lg

1

1x

，那么当x∈（－1，0）时，f（x）的表

达式是_____．

10.记S=

12

1

22

1

12

1

2

1

11101010









，则S与1的大小关系是.

11.当0,

2

x











时,函数

2

1cos28sin

sin2

xx

y

x





的最小值是_________.

12.实数,xy满足

x

xy

y



,则x的取值范围是__________.

7

三.解答题

13.设P:函数c

yx在R上单调递减,Q:不等式1|c2x|x的解集为R.如果P和Q

有且仅有一个正确,求c的取值范围.

14.已知函数)x(f的定义域为R,对任意实数

n,m

都有

2

1

)n(f)m(f)nm(f,

且0)

2

1

(f,当

2

1

x时，0)x(f．(1)求)1(f;

(2)求和n)(n(f)2(f)1(fN*）；(3)判断函数)x(f的单调性并证明

15.在某产品的制造过程中，次品率p依赖于日产量x，

已知

p

1

,

101x

















当0

1,当x100时.

其中x为正整数，又该厂每生产一正品可赢利A元，但每生产出一件次品就要损失

3

A

元.

(1)将该厂的日赢利额T（元）表示为日产量x（个）的函数，并指出这个函数的定义域;

(2)为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少？

8

16．已知

).1(

1

)(



x

x

x

xf

)()1(xf求

的单调区间；

（2）若

.

4

3

)()(:,

)(

1

,0



cfaf

bba

cba求证

17．某人上午7时乘摩托艇以匀速V千米/小时（4≤V≤20）从A港出发前往50千米处的B港，然后

乘汽车以匀速W千米/小时（30≤W≤100）自B港向300千米处的C市驶去，在同一天的16时至

21时到达C市,设汽车、摩托艇所需的时间分别是x小时、y小时，若所需经费

)8(2)5(3100yxp

元，那么V、W分别为多少时，所需经费最少？并求出这时所花的经费.