定积分的概念
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2023年2月20日发(作者：瑞士的英文)定积分的概念讲义(总6页)
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定积分的概念
【知识要点】
(1)定积分的定义及相关概念
①分割如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0 [a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，区间[xi－1，xi] 的长度 1iii xxx 。 ②近似取代“以直代取”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形 面积的近似值． ③求和作和式 i＝1 nf(ξi)Δx＝ i＝1 nb－a n f(ξi)， ④取极限当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b] 上的定积分，记作 a bf(x)dx. 即： 1 lim n i n i b ba fxdxf a n 注：在 a bf(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫 做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式． （2）定积分的几何意义 从几何上看，如果在区间[a,b]上的函数()fx连续且恒有 ()0fx。 那么定积分 () b a fxdx表示由直线 ,xaxb （ ab ）， 0y 和曲线()yfx所围成的曲边梯形的面积。 (3)定积分的性质 ① abdx b a 1 ② a bkf(x)dx＝k a bf(x)dx(k为常数)．（其中k是不为0的常数）（定积分的线性性质） ③ a b[f1(x)±f2(x)]dx＝ a bf1(x)dx± a bf2(x)dx.（定积分的线性性质） 33 ④ a bf(x)dx＝ a cf(x)dx＋ c bf(x)dx(其中a 说明：①推广： 1212 [()()()]()()()bbbb mm aaaa fxfxfxdxfxdxfxdxfx ②推广:12 1 ()()()() k bccb aacc fxdxfxdxfxdxfxdx ③性质解释： P C N M B A a b O y x y=1 y x Ob a 【例题精讲】 例1．计算定积分 2 1 (1)xdx 分析：所求定积分即为如图阴影部分 面积，面积为 5 2 。 即： 2 1 5 (1) 2 xdx 思考：若改为计算定积分 2 2 (1)xdx 呢 改变了积分上、下限，被积函数在 [2,2] 上出现了负值如何解决呢 例2．求曲线2yx与x=1,y=0所围成的区域的面积 解：①分割将区间0,1等分为n个小区间： 1 0, n ， 12 , nn ，…， 1 , ii nn ，…， 1 , nn nn ，每个小区间的长度为 11ii x nnn ②近似取代过各点做x轴的垂线，把梯形分成n个小曲边梯形，在分别用小区间左端 性质1 性质 AMNBAMPCCPNB SSS 曲边梯形曲边梯形曲边梯形 12 y xo 44 点的纵坐标为 21i n 为高，x 1 n 为底作小矩形，于是图中曲线i之下矩形的面积依次 为：2 1 0 n ， 211 nn ， 221 nn ，…， 211n nn ③求和所有这些小矩形的面积之和为 n S=2 1 0 n + 211 nn + 221 nn +…+ 211n nn =2 222 3 1 0121n n = 3 121 1 6 nnn n = 111 12 6nn ④取极限 1111 limlim12 63n nn SS nn 【习题精练】 1.函数2fxx在区间 1 , ii nn 上，（） A.fx的值变化很小B.fx的值变化很大 C.fx的值不变化D.当n很大时，fx的值变化很小 答案：D 2.当n很大时，函数2fxx在区间 1 , ii nn 上的值，可以用下列函数值 近似代替的是（） A. 1 f n B. 2 f n C. i f n D.0f 答案：C 3.“以直代曲”中，函数fx在区间1 , ii xx 上的近似值等于（） A.只能是左端点的函数值 i fx B.只能是右端点的函数值 1i fx C.可以是该区间内任一点的函数值 i f（ 1 , iii xx ） 55 D.以上答案均正确 答案：C 4.设fx在,ab上连续，将,abn等分，在每个小区间上任取 i ，则 b fxdx a 是（） A. 1 lim n i n i f B. 1 lim n i n i ba f n C. 1 lim n ii n i f D. 1 1 lim n iii n i f 答案：B 5.设fx在,ab上连续，则fx在,ab上的平均值为（） A. 2 fafb B. b fxdx a C. 1 2 b fxdx a D. 1 b fxdx a ba 答案：D 6.已知和式 1 123 (0) pppp P n p n 当n→+∞时，无限趋近于一个常数 A，则A可用定积分表示为（） A． dx x 1 0 1 B． dxxp1 0 C． dx x p1 0 ) 1 ( D． dx n x p1 0 )( 答案：B 7.下列定积分为1是（） A． dxx1 0 B． dxx1 0 )1(C．dx1 0 1D． dx1 02 1 答案：C 8.求由1,2,yxeyx围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量， 则积分区间为（） A．［0，2e］B．［0，2］C．［1，2］D．［0，1］ 66 答案：B 9.由y=cosx及x轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积 分应表达为． 答案：2π 0 |cos|xdx或2 0 4cosxdx 。 10.计算 1 2 0 1xdx=。 答案： π 4 。提示：这是求单位圆落在第一象限内部分的面积。 11.①利用定积分的几何意义，判断下列定积分的值是正是负 （1） 3 π 4 0 sindxx；（2）0 1 edxx ；（3） 1 2 1 3 lndxx． 答案：（1）正(2)正(3)负。 ②利用定积分的几何意义，比较下列定积分的大小． 1 0 dxx，1 2 0 dxx，1 3 0 dxx。 答案：1 0 dxx≥1 2 0 dxx≥1 3 0 dxx。 12.计算下列定积分： 1 2 1 (1)(1)d 3 xx ；4 1 (2)(3)dxx ； 2 0 (3)cosdxx ；2 3 2 (4)dxx 。 答案：(1) 5 2 ；(2) 45 2 ；(3)0；(4)0。 13.利用定积分表示图中四个图形的面积： x a y=x2 (1) x 2 –1 y=x2 (2) y y y=(x-1)2- O x–1 2 (3) x a b y= (4) y y 77 答案：(1)adxxS 0 2；(2) 2 1 2dxxS ；(3) 0 1 2 0 22]1)1[(]1)1[(dxxdxxS； (4)b a dxS ． 【课下练习】 1.设函数0fx，则当 ab 时，定积分 b fxdx a 的符号（） A.一定是正的B.一定是负的 C.当0ab时是正的，当0ab时是负的 D．以上结论都不对 答案：A 2.下列式子中不成立的是（） A. 22 sincos 00 xdxxdx B. 22 sin:cos 00 xdxxdx 00 xdxxdx 00 xdxxdx 答案：C 3.1 32 1 (tansin)xxxxdx =（） A．0B.1 32 0 2(tansin)xxxxdx C．0 32 1 2(tansin)xxxxdx D。1 32 0 2|tansin|xxxxdx 答案：A 4.由直线1,xyxy，及ｘ轴所围成平面图形的面积为（） 88 A．dyyy1 0 1B。dxxx2 1 0 1 C．dyyy2 1 0 1 D。dxxx1 0 1 答案：C 5.和式 111 122nnn 当n→+∞时，无限趋近于一个常数A，则A用 定积分可表示为。 答案： dx x 1 01 1 。 6.曲线1,0,2yxxy，所围成的图形的面积可用定积分表示 为． 答案：dxx1 0 2)1( 7.计算曲边三角形的面积的过程大致为：分割；以直代曲；作和；逼近。 试用该方法计算由直线x=0，x=1，y=0和曲线y=x2所围成的曲边三角形的面 积。（下列公式可供使用：12+22+…+n2= 1 (1)(21) 6 nnn） 答案： 1 3 8.求由曲线1yx与1,3,0xxy所围的图形的面积. 答案：6 9.计算2 0 ()fxdx，其中, 2,01, () 5,12. xx fx x 答案：6 10.弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)=kx（k是正的常数，x 是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b所做的功。 答案：可用“分割；以直代曲；作和；逼近”求得： 2 02 bkb Wkxdx。