正方体的截面
三菱发动机-五雷诀
2023年2月20日发(作者：学生请假单)“几何体的截面形状”研究性学习论文
----常见几何体的截面形状初探
【摘要】：正用平面去截一个几何体,所截出的面,就叫截面(section),
我们可以想象,类似于用刀去切(截)几何体,把几何体分成两部分,刀
在几何体上留下的痕迹就是截面的形状,截面是一个平面图形。
【关键词】：截面形状几何体正方体平面图形等边三角形锐角
三角形分类四边形正五边形梯形
【正文内容】：
按《全国普通高中课程标准》要求，在高中阶段至少要有一次小
组合作或独立数学探究活动和数学建模活动，而活动的开展是要有一
个渐进的过程的，学生需要一个逐步适应、了解和认识自主探究、合
作学习的过程，所以在北师大版高中数学必修二第一章结尾教材编写
者设计了《正方体的截面形状》研究性课题，是为实施更为完整的数
学探究、数学建模活动做准备。
众所周知，帮助学生认识空间图形，培养和发展学生的空间想
象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直
观能力是高中数学教师义不容辞的责任和义务；教师要通过课题研
究给学生提供一个施展所学的舞台，促进学生对所学知识的应用和
反思，加深对空间图形的认识和理解。此外，该课题的学习有助于
发展学生自主学习的能力，体验数学研究的过程，认识数学研究中
直观和严谨、感性猜测和理性推理的关系，鼓励学生发挥自己的想
象力和创造力。因此，要培养全面、专业的优秀人才离不开研究性
的探究和学习，高中一年级的学生对《正方体的截面形状》研究性
课题的深入探究和学习就显得格外重要，很有必要。
用平面去截一个几何体，所截出的面,就叫截面(section),截面
的情况可以帮助我们更好地认识几何体，对于一个几何体不同切截
方式，所以得截面可能出现不同的情况。用平面去截一个几何体,我
们可以想象,类似于用刀去切(截)几何体,把几何体分成两部分,刀
在几何体上留下的痕迹就是截面的形状,截面是一个平面图形。
在医学诊断上,有一种与“截几何体”类似的仪器和方法,它是
通过X射线扫过人体的患病器官,然后通过计算机处理相关测量数据,
重建人体断层图象,并作出诊断,这就是是“CT影像诊断技术”――
在医学史上具有划时代意义。可见,数学知识对于生活何等重要。初
中生一定要学好这部分,以便将来运用它更好地为生活服务。
下面我针对几种常见而又重要的几何体的截面进行分析,并辅
以适当的习题,供大家学习时参考。
首先让我们来探索用平面截正方体所得截面的形状。
我们知道正方体有六个面，用一个平面去解正方体至少要经过
三个面，最多经过六个面.所以出现的截面只可能是三角形、四边形、
五边形和六边形.
一、截面是三角形
用一平面截正方体，当平面经过正方体的三个面时，所得的截
面的形状为三角形.所得的三角形可能是锐角三角形（如图1）；等
腰三角形（如图2）；等边三角形（如图3）.其中等边三角形三个
顶点是正方形的顶点.
图1图2图3
二、截面是四边形
用一个平面截正方体，当平面经过正方体的四个面时，所得截
面可能是正方形、长方形、梯形.
①用平行于底面的一个平面去截正方体时，按图4方式得到的截
面是正方形.
图4
②按图5或图6或图7的方式切截，得到的截面是长方形
图5图6图7
③按图8的方式所得截面为梯形.
图8
三、截面是五边形
用平面截正方体，当平面经过正方体的五个面时，所得截面是五边
形.如图9.
图9
四、截面是六边形
用平面截正方体，当平面经过正方体的六个面时，所得截面是六边
形，如图10.
图10
注意：用一个平面截正方体，由于正方体共有六个面，所以截面不
可能是七边形.
以上是具体对正方体的截面形状的图示分类，一下我们进行详细
的分析理解：
1.正方体的截面形状分类
正方体有六个面,用一个平面去截正方体,至少要经过三个面,最
多经过六个面。所以出现的截面只可能是三角形、四边形、五边形和
六边形。
(1)截面是三角形。用一平面截正方体,当平面经过从同一点发出
的三条棱,即经过正方体的三个面时,所得的截面的形状是锐角三角
形(这一点可用高中数学线面角的知识进行证明,此略),包括一般锐
角三角形,也可以是特殊的锐角三角形,如等腰三角形、等边三角形,
但不可能是直角和钝角三角形。
(2)截面是四边形。用一个平面截正方体,当平面恰好经过正方体
的四个面时,所得截面是四边形,其中可能是普通的平形四边形,或正
方形、长方形、菱形和梯形(但不可能是直角梯形,证明略)。
①用平行于正方体任何一个面的平面去截正方体时,得到的截面
是正方形。
②如图1、图2所示方式切截时,得到的截面是长方形。
③如图3的方式所得截面为梯形。
(3)截面是五边形。用平面截正方体,当平面不经过一个面(或者
只经过这平面上的一个顶点),即只经过正方体的五个面时,所得截面
是五边形(必有两组分别平行的边,因为一个平面与两平行平面分别
相交,两条交线必平行),不可能有任何一个角是直角(证明略)。如图
4。
(4)截面是六边形。用平面截正方体,当平面经过正方体的六个面
时,所得截面是六边形(特殊的,当截面与正方体各棱的交点为棱的中
点时,截面是正六边形)。
思考:用一个平面截正方体,所得的截面可不可以是正五边形
呢?
小结:1.截面可以是锐角三角形、等边三角形、等腰三角形、一
般三角形;但不可以是直角三角形、钝角三角形。
2.截面可以是四边形:一般平行四边形、长方形、菱形、正方形、
梯形、等腰梯形(注意:四边形中至少有一组对边平行,且不可以是直
角梯形)。
3.截面可以是五边形:截面五边形不可能是正五边形。(证明
略)
4.截面可以是六边形:截面六边形的特点是三组对边分别平行,
可以是正六边形。
由于正方体共有六个面,所以截面不可能是七边形。
长方体的截面和正方体的截面可以依次类比联想,分类情况相
同。
练习1.用一个平面去截正方体,则截面形状不可能是()。
A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形
2.圆柱体的截面分类
(1)圆形。当截面与圆柱体的底面平行时,截面为圆形。
(2)长方形。当截面与圆柱体的底面垂直时,截面为长方形,特殊
情况下截面形状为正方形。
(3)类似于梯形但不是梯形。当截面与上下两底面的交线长不相
等时,截面类似于梯形,但截面在圆柱侧面上留下的痕迹不是线段而
是曲线段,所以不是梯形的两腰,如图5。
(4)椭圆形。当截面与圆柱的底面成一锐角时,截面为椭圆形或椭
圆形的一部分(当截面需要延伸才能与底面相交时)。
练习2.用一个平面去截圆柱,则截面形状不可能是()。
A.圆B.正方形C.长方形D.梯形E.三角形F.椭圆
3.圆锥体的截面
(1)三角形。当截面经过圆锥体的顶点时,截面是三角形。
(2)圆形。当截面与圆柱体的底面平行时,截面为圆形。
(3)椭圆形。这出现在圆锥和平面的交截线是闭合曲线的时候。
这时平面既不垂直也不平行于圆锥的轴线,如图6。
(4)抛物面。如果平面平行于圆锥的母线,则截面为抛物面,截面
边缘是一段曲线(称为抛物线)和一直线段围成的封闭图形,如图7。
(5)当截面去截两个对顶的圆锥且截面平行于圆锥的轴线时,截
面为双曲面,截一个圆锥就是半双曲面,如图8。
因此,椭圆、抛物线、双曲线被统称为圆锥曲线。
练习3.用不同平面去截一个圆锥体,得到的截面不可能是()。
A.圆B.三角形C.抛物面D.椭圆E.矩形
4.球的截面
球的截面是一些大小不等的圆。
练习4.截面是圆的是哪种几何图形?()。
A.圆锥B.球体C.圆柱都有可能
通过对几何体截面形状的研究，引导学生经历观察、猜想、实际
操作验证、分析归纳，推理等数学活动过程，培养学生尊重科学、尊
重事实严谨细致的科学态度，发展学生的动手操作、自主探究、合作
交流和分析归纳能力。同时运用现代化的教学手段，创建更为丰富生
动的情境，激发学生的求知欲和探索新知识的热情。
在具体教学过程和研究性实践活动，先让学生充分地想象用一个
平面去截一个几何体所得的截面是什么形状，再实际动手操作，验证
想象的结果与实际结果是否一致。在这一过程中，既丰富了学习者的
几何直觉和数学活动经验，更发展了学生的空间观念，同时利用数学
智能软件包的应用性、良好的操作性和贴近教材的课件，激发学生的
求知欲望，为学生探索新知提供了有力的工具。在实际教学中，有些
学生对切截五边形，六边形的理论知识已经有所了解，但到了具体操
作阶段，就显得无从下手，这时，通过小组合作，和教师的点拨，能
够达到较好的效果，再辅之以数学智能软件包教育平台演示的课件，
将切截五边形的正方体进行旋转，以便学生从不同角度来观察截面的
产生，以及截面与正方体的哪个面相交，交线的情况如何，据此更能
加深学生对截一个几何体的理解，和直观的印象。
同时经过研究性学习，提高学生的动手能力。最主要的是学生们
会以全新的视野来重新审视他们日常生活中的数学问题。在活动中还
应加强对学生团队的指引，以及对一些较被动学生的鼓励与帮助。评
价方面要提高评价的有效性和全面性。
【参考文献】：
1.林明成《数理化学习(高中版)--体积问题的求解策略》2009年16
期
2.林明成、廖雪蓉《数理化解题研究(高中)--求体积的七种方法》
2010年05期
3.杨开清《数学通报--截面在解题中的妙用》;2002年04期
4.余海涛《数学大世界--几何体中“点、线、面”三者数量之间的
关系》2003年21期
5.罗强;《中学数学教学参考--转动几何体的另一种制作方法》;2000
年03期
6.姜洋;《的比较与思考--高中数学人教版新旧教材立体几何部分（必
修A版）》东北师范大学;2008