凸函数的性质
egr阀是什么-假定形
2023年2月20日发(作者：关羽个人介绍)凸函数的性质及其在证
明不等式中的应用
-kInformationTechnologyCompany.2020YEAR
2
凸函数的性质及其在证明不等式中的应用
数学计算机科学学院
摘要：凸函数是一类重要的函数.凸函数在不等式的研究中尤为重要,而不等式
最终归结为研究函数的特性，这就需要来研究凸函数了.本篇文章论述了凸函
数、对数凸函数的定义、引理、定理和性质及其常用的一些判别方法（根据凸
函数，对数凸函数的已知的定理、定义、性质，Jensen不等式等一些方法来判
断函数是否是凸函数）；本文还试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式
中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其在证明不
等式时的作用；并浅谈了一下凸函数在不等式证明中的一些应用（如上述利用
凸函数以及对数凸函数的定理，定义，性质，Jensen不等式来证明一些不等
式），推广并证明了一些不等式（三角不等式，Jensen不等式等），得到了新
的结果.
关键词：凸函数；对数凸函数；Jensen不等式；Hadamard不等式；应用
NatureofConvexFunctionanditsApplicationinProving
Inequalities
ChenHuifei,CollegeofMathematicsandComputerScience
Abstract:functionis
particularlyimportantinthestudyoftheinequality,andthestudyoftheinequality
isreducedtostudythecharacteristicsoftheconvexfunction，whichmakesit
ussdefinition,lemma,theoremandthe
natureofsomecommonlyuseddiscriminantmethodsoftheconvexfunctionand
thelogarithmicconvexfunctioninthispaper(Accordingtoknowntheorems,
definitions,nature,Jenseninequalityandothermethodsofconvexfunctionandthe
logarithmicconvexfunctiontorecognizewhetherthefunctionisaconvexfunction);
Inthispaperwealsotrytodiscusstheequivalentdefinitionandnatureofthe
convexfunctionandtheissueofitsapplicationindemonstrationinequalitiesof
convexfunctioninordertohaveabetterunderstandingofthenatureandroleof
theconvexfunctioninprovinginequalities;wealsotrytodiscusssomeapplications
ofconvexfunctioninprovinginequalities(Convexfunctionandtheuseofthese
convexfunctiontheorem,definition,nature,JenseninequalitytoproveInequality).
3
Wealsohavepromotedandprovedsomeinequality(Triangleinequality,Jensen
inequality)andreachednewresults.
Keywords:Convexfunction;Logarithmicconvexfunction;Jenseninequality;
HadamardInequality;Application
1引言
在很多数学问题的分析与证明中，我们都需要用到凸函数，例如在数学分析、
函数论、泛函分析、最优化理论等当中.凸函数是一类重要的函数.凸函数在不等
式的研究中尤为重要,而不等式最终归结为研究函数的特性，这就需要来研究凸
函数了.常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数,即曲线位于每一点切线的下方或
曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即
曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的
函数.本文试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初
步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其作用.
2概念
2.1凸函数的定义
上面对凸函数作了直观的描述，我们用分析式子给出其精确定义.
定义[1]2.1设函数
()fx
在区间
[,]ab
上有定义，若对
[,]ab
上任意两点
12
,xx和
正数λ∈（0,1）,总有
1212
[(1)]()(1)()fxxfxfx(A)
则f为区间
[,]ab
上的凸函数.（同时也称为上凸函数，若是不等号反向则称
为下凸函.）
定义[1]2.2若函数()fx在D上是正的,且ln()fx在D上是下凸函数,则称
()fx是D上的对数下凸函数这时,对于任意,xyD和(0,1),有
ln[(1)]ln()(1)ln()fxyfxfy.即
(1)[(1)]()()fxyfxfy(B)
如果(2)中的不等号反向,则称()fx是D上的对数上凸函数.
4
2.2对数凸函数的性质我们已经有了凸函数以及对数凸函数的定义，现在我们
来看一下对数的一些引理，定理及其性质等.
定理2.1[2](对数下(上)凸函数的判定定理)设
()fx
是D上的正值函数,且
在D上有二阶导数,则
()fx
在D上为对数下(上)凸函数的充要条件为对于任意x
∈D,有
2()()(())0(0)fxfxfx
先证下引理
引理2.1[2]（1)若
()gx
是
[,]ab
上的下(上)凸函数,则()()gxfxe为
[,]abee上的对数下(上)凸函数.
（2)若
()fx
是
[,]cd
上的对数下(上)凸函数,则
()ln()gxfx
为
[ln,ln]cd
上的下(上)凸数.
证明（1)任取
12
,[,]cdxxee,由
()gx
在
[,]cd
上是下凸函数,对任意
01
有
1212
12
[(1)]()(1)()
12
1
()()
1
12
[(1)]
[][]()()
gxxgxgx
gxgx
fxxee
eefxfx
（2）任取
12
,[ln,ln]xxcd,由
()fx
是
[,]cd
上的对数下凸函数,对任意
01
有
1
121212
1212
[(1)]ln[(1)]ln[()][()]
ln()(1)ln()()(1)()
gxxfxxfxfx
fxfxgxgx
所以()gx为区间[ln,ln]cd上的下凸函数.(用类似方法可证上凸的情形)
下证定理2.1[2]“”设[,]Dcd，()ln()gxfx，
则
()
()[ln()]
()
fx
gxfx
fx
，
2
2
()()[()]
()
()
fxfxfx
gx
fx
5
所以
()gx
是为区间
[ln,ln]cd
上的下凸函数,根据引理1得
()ln()()gxfxeefx
为[c,d]上的对数下凸函数
“”若
()fx
为
[,]cd
上的对数下凸函数,由引理1得
()ln()gxfx
为区
间
[ln,ln]cd
上的下凸函数,从而
()0gx
,对
()ln()gxfx
求二阶导数即得
2()()(())0fxfxfx
.(用类似方法可证上凸的情形).
推论2.1[2]设
12
(),()fxfx是D上的对数下(上)凸函数,则
1212
()(),()()fxfxfxfx也是D上的对数下(上)凸函数
证明：设
1212
()()(),,,(0,1)gxfxfxxxD
12112212
1111
1122212
((1))((1))((1))
()()()()[()()][()()]()()
gxxfxxfxx
fxfxfxfxfxfxfxfxgxgx
其中(A)由..
Holder
不等式得到
根据定义2.2得出
1121
()()fxfx是D上的对数下凸函数.
122112
[()()]()()()()fxfxfxfxfxfx
12211212
[()()]()()2()()()()fxfxfxfxfxfxfxfx
2
121212
2222
21111222
[()()][()()]{[()()]}
(){()()[()]}(){()()[()]}0
fxfxfxfxfxfx
fxfxfxfxfxfxfxfx
根据定理2.1得
12
(),()fxfx是D上的对数下凸函数.(用类似方法可证上凸的情形)
用数学归纳法可将推论1推广到有限情形.
推论2.2[2]设()fx是定义在D上的正值函数,
1)若()fx是对数下凸函数,则
1
()fx
在区间D上是对数上凸函数.
2)若()fx是对数上凸函数,则
1
()fx
在区间D上是对数下凸函数.
6
证明1)设
1
()
()
x
fx
2
23
22
22
424
1()()()2(())
()(),()[]
()()()
()()2(())()()()(())
()()[()][][][]
()()()
fxfxfxfx
xx
fxfxfx
fxfxfxfxfxfxfx
xxx
fxfxfx
显然是小于0的，所以
1
()
()
x
fx
是对数上凸函数，同理可证2).
定理2.2[2](Jensen型不等式)设
()fx
是D上的正值对数下凸函数,
12
,01,...1
iin
xD
12
112212
(...)()()...()n
nnn
fxxxfxfxfx
（*）
若
()fx
是D上的正值对数上凸函数,则(*)中不等号反向.
证明(用数学归纳法)当2n时，由定义2.2知不等式(*)成立.假设nk
时不等式(*)成立,即
12
112212
1
(...)()()...()(1,0)k
k
kkkii
i
fxxxfxfxfx
,(1,2,...,1),
i
xDik设
1
(1,0)
k
ii
i
11
12
11
12
11
1122111
11
11
121
11
1211
[...()()]
()()...()()
()()...()()()
kkk
kkk
kkkk
kkkk
kkkk
kkkk
k
kkkk
kkk
xx
fxxx
xx
fxfxfxf
fxfxfxfxfx
所以当1nk时,不等式(*)成立,从而对于一切自然数(2)nn不等式(*)成立.
用同样方法可证明上凸情形.
7
当然这里的定理对凸函数也是成立的.在下面的运算性质中有介绍.也就是下
面的Jensen不等式1,Jensen不等式2.
引理2.2[2](凸函数的Hadamard不等式)设
()x是区间D上的下凸函数
则对于任意
,.abDab
有
11
()[()()]
22
b
a
ab
xdxab
ba
（#）
若
()x是区间D上的上凸函数,则对于任意
,.abDab
,(#)中不等号反向.
定理2.3[2](Hadamard型不等式)设
():[,](0,)fxab
对数下凸函数,
则
11
()()[()()]
2ln()ln()
b
a
ab
ffxdxfbfa
bafafb
（@）
若
():[,](0,)fxab
对数下凸函数,则(5)中不等号反向.
证明由引理2.1和引理2.2有
1
ln()
ln()
1
1
ln()
()lim
limlim)
n
fa
bb
fx
n
aa
n
i
fa
n
nn
ba
fxdxedxe
n
f
n
n
n
n
由平均值
i=1
i=1
i
（b-a）e（b-a）exp(ln(a+)
n
1
1
(ln())
()
2
lim()ln()
()()()
2
n
i
bai
fa
b
nn
ba
a
n
ab
lmf
baefxdx
ab
baebaf
1
b-a（b-a)e
（其中ba）
又令
()ln()xfx
，根据定义2.1，对于axb，有
()()()()
()
abxbxa
x
ba
()()
()()()()
ln()()
()()()()
()()
()
()()
exp()|
()()
[]
()()ln()ln(
ba
x
ba
abxbxa
bbbb
fxx
ba
aaaa
baabbaab
b
b
baba
a
a
ba
fxdxedxedxedx
baba
eedxex
baba
baba
ee
bafbfa
[()()]
)
fbfa
定理得证.
8
2．3[3]凸函数的性质在讨论了一些对数凸函数的定理，引理，我们来看一看
凸函数的运算性质以及它们实用的定理：
（1)若
()fx
与
()gx
均为区间
[,]ab
上的凸函数，则
()fx
+
()gx
也是区间
[,]ab
上的凸函数.
（2）若
()fx
与
()gx
为区间
[,]ab
上的凸函数，则
ⅰ）
0
，则
()fx是
[,]ab
上的凸函数；ⅱ）
0
，则
()fx是
[,]ab
上的凹
函数.
(3)设
()fx
与
()gx
都是
[,]ab
上的非负单调递增的凸函数，则
()()()hxfxgx
也是
[,]ab
上的凸函数.
证明：对任意
12
,xx∈
[,]ab
且
12
xx和任意λ∈(0,1)，因
()fx
与
()gx
在
[,]ab
上单调递增，故：
1212
[()()][()()]0fxfxgxgx
即：
12211122
()()()()()()()()fxgxfxgxfxgxfxgx(1)
又因为
()fx
与
()gx
在
[,]ab
上的凸函数，故
1212
[(1)]()(1)()fxxfxfx，
2121
g(x+(1-)x)g(x)+(1-)g(x)
而
()0,()0fxgx
，设将上面两个不等式相乘，可得
212
22
22211211
[(1)][(1)]
()()(1)[()()()()](1)()()
fxxgx
gxfxfxgxfxgxfxgx
又由⑴知
2121
22
22211211
[(1)][(1)]
()()(1)[()()()()(1)()()]
fxxgxx
gxfxfxgxfxgxfxgx
=
1122
(1)()()()()fxgxfxgx
由凸函数的定义知：()()()hxfxgx是[,]ab上的凸函数.
9
注：1°
()fx
与
()gx
非负不能少,2°
(),()fxgx
单调递增不能少.
(4)[4][5]设
()u是单调递增的凸函数，
()ufx
是凸函数，则复合函数
[()]fx
也是凸函数.
对于其他情况也有类似的情况的命题，如下列：
()u()ufx(())fx
上凸，递减下凸上凸
下凸，递减下凸下凸
下凸，递增上凸上凸
我们也可以看一下单值有反函数的函数的反函数与自身的凸凹性的关系.
如下表：
()fx1()fx
上凸，递增下凸，递增
上凸，递减上凸，递减
下凸，递减下凸，递减
(5)若
()fx
为区间I内的凸函数，且
()fx
不是常数，则
()fx
在I内部不能达到最
大值.
2.4[3]凸函数的等价定义和判定
设函数f在区间
(,)ab
上有定义，则下列命题彼此互相等价：
（1）对任意
12
,xx∈
(,)ab
及任意恒有
1212
[(1)]()(1)()fxxfxfx
（2）对任意
i
x∈(,)ab及任意
i
p>0.1,2,...,in.
1
1
n
i
i
p
恒有
11
()
nn
iiii
ii
fpxpfx
10
（3）对任意
1,2
,(,)xxxab,
12
xxx,恒有
1212
1212
()()()()()()fxfxfxfxfxfx
xxxxxx
（4）在
(,)ab
上曲线在其每一点处具有不垂直于x轴的左、右切线，并且曲
线在左、右切线之上.
（5）若在
(,)ab
内存在单调递增的函数
()x.以及
0
x∈
(,)ab
，使得对任意
(,)xab
，恒有
0
0
()()()
x
x
fxfxtdt，
（6）对任意
12
,xx∈
(,)ab
，
12
xx，恒有
2
1
1212
21
()()
1
()
22
x
x
xxfxfx
fftdt
xx
（7）对任意
12
,(,)xxab，恒有1212
()()
22
xxfxfx
f
对于凸函数定义等价性的证明，可参看[4]及[5].
对于等价定义（5）事实上，我们也有类似的这样一个定理：
定理2.4设函数
f
在
[,]ab
上连续，在
(,)ab
上可导，则
f
在
[,]ab
上为上(下)
凸函数（严格上（下）凸函数）的一个必要充分条件
f
是在
(,)ab
上递增（减）
（严格递增（减））.
证明先证条件是必要的.设12
,(,)xxab.只要xx
与满足
12
xxxx
，由
于等价定义（3）可知
1212
1212
()()()()()()fxfxfxfxfxfx
xxxxxx
在上式中令
12
,xxxx
，得
21
12
21
()()
()()
fxfx
fxfx
xx
.
11
在是严格上凸函数的情形，我们取一点*x
满足*
12
xxx，从而得出
**
12
12
**
12
()()()()
()()
fxfxfxfx
fxfx
xxxx
.
这样就得出了严格的不等式
12
()()fxfx
，必要性得证.
再证充分性.设
f
是在
(,)ab
上递增.对任何12
,xxx，由Lagrange中值定
理，可只存在12
,xx与
12
,xx，使得1
1
()()
()
fxfx
f
xx
，
2
2
()()
()
fxfx
f
xx
因为
x
，所以
()()ff
.从而有
12
12
()()()()fxfxfxfx
xxxx
所以，可知函数
f
在
[,]ab
上为上凸函数.容易看出，当
f
严格递增时，
()()ff
.上述不等式中成立着严格的不等号，从而函数
f
在
[,]ab
上是严格
的上凸函数.同理可以证明下凸时的情景.
当函数
f
在
[,]ab
内有二阶导数时，我们有下列应用起来就会更方便的定理
定理2.5设函数
f
在
[,]ab
上连续，
f
在
(,)ab
内有二阶导数，则
f
在
[,]ab
上为上凸函数（下凸函数）的充分条件
0(0)ff
在
(,)ab
内成立；而
f
在
[,]ab
上为严格上（下）凸函数的充分必要条件是
0(0)ff
在
(,)ab
内成立
并且在
(,)ab
的任何开的子区间内
f
不恒等于0.
证明第一个结论，由于0f
得出f
在(,)ab上递增再由定理4可得出.同理
可证明下凸时的情景；
第二个结论，
12
先证充分性由于
0f
在
(,)ab
内成立并且在
(,)ab
的任何开的子区间内
f
不恒等于0.对任意
12
,(,)xxab，
12
xx，又由于2
1
21
()()()x
x
fxfxfxdx
，所
以
21
()()fxfx
.所以函数
f
在
[,]ab
上为严格的凸函数.充分性得证.
再证必要性（反证法）因为函数
f
在
[,]ab
上为严格凸函数，对任意
12
,(,)xxab，
12
xx，则
21
()()fxfx
，而由于2
1
21
()()()x
x
fxfxfxdx
，
若是有一个
(,)ab
的子区间恒等于0.不妨设为
(,)(,)ab
，对任意
(,)x
，
()0fx
.则由于2
1
()()()x
x
fffxdx
，
()()ff
，这与已知条件相矛
盾.所以，必要性得证.同理可证明下凸时的情景.
所以，定理得证.
关于凸函数的判定有很多，应用范围最广的是Jensen不等式.
Jensen不等式1设
()fx
在区间I上有定义，
()fx
为凸函数，当且仅当
12
,,...,
n
xxxI
1212
...()()...()
nn
xxxfxfxfx
f
nn
（J1）
此外，当且仅当
12
...
n
xxx时，上式等号成立（证明略请参考附[1]）.
Jensen不等式2
12
,,...,[,]
n
xxxab，
12,
,...,0
n
，且
1
1
n
i
i
，1.则
()fx
为凸函数的充要条件为：
11
()()
nn
iiii
ii
fxfx
（J2）
此外，上式当且仅当
12
...
n
xxx时，等号成立.（证明略请参考附[1]）.
13
这里对任意
12
,,...,0
n
，若是令
1
i
i
n
i
i
，那么就有
11
11
()
nn
iiii
ii
nn
ii
ii
xfx
f
(J3)
每个凸函数都有一个Jensen不等式，Jensen不等式的应用范围甚广，既可
用于求解不等式问题，又可用于证明不等式定理，应用Jensen不等式解题的关
键有两条：一是必须先判明函数的上(下)凸性，二是直接应用Jensen不等式有
困难时，可以根据命题的特点，选择恰当的上凸函数和下凸函数，然后再进行
解答.
3凸函数以及对数凸函数的应用
在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一类不等式利
用凸函数的性质来证明可以非常简洁、巧妙.证明不等式是凸函数的一个重要应
用领域，但关键是构造能够解决问题的凸函数.
例1[1]利用凸函数证明调和平均值H≤几何平均值G≤对数平均值L≤指数平
均值E≤算术平均值A.
证明：事实上，我们可以用凸函数理论证明，对任意0(1,2,...,)
i
xin有
12
12
12
...
...
111
...
n
n
n
n
xxx
n
xxx
n
xxx
（2）
只要将不等式各部分同时取对数，这时左边的不等式可变为
12
1
111
...
1111
ln(lnln...ln)n
n
xxx
nnxxx
.
14
从而由函数
()lnfxx
在
(0,)
上的（严格）凸性可得；右边的不等式可直接
由
()lngxx
上的
(0,)
（严格）下凸性可得.（具体证明可参看[2]）
为了证明例1中的连不等式，我们先来看下面两个小题：
（1）设0(1,2,...,)
i
ain且不全相等，0(1,2,...,)
i
pin有不等式链
1
11
11
ln
ln
expexp
n
nn
i
i
iiii
i
iii
nnn
i
ii
iini
i
p
a
papa
a
p
pp
a
（3）
证：凸函数
()lnfxx
的Jensen不等式：取0
i
q，
1
1
n
i
i
q
，
0(1,2,...,).
i
ain
得
11
lnln
nn
iiii
ii
qaqa
[4]
11
1
lnln
nn
i
i
ii
ii
q
q
aa
（5）
在[4]中令
1
i
i
n
i
i
i
i
p
a
q
p
a
得1
11
1
expln
n
nn
i
ii
i
n
i
i
ii
ii
i
i
p
pp
a
p
aa
a
（6）
又由（4），(5)可得
1
1
1
1
i
n
n
q
iii
n
i
i
i
i
i
aqa
q
a
（7）
在此令
1
i
n
i
i
i
p
q
p
，可得111
111
ln
exp
nnn
iiiii
iii
nnn
i
ii
iii
i
ppapa
p
pp
a
（8）
联立(6),(8)既得证(3).
（2）设()()fxpx与在[,]ab上正的连续函数且()fx常数，在⑻中作代换
15
i
ba
ppai
n
，
i
ba
afai
n
并在“∑”号后均乘
ba
n
，由
0ba
，
不改变原不等号方向.
令n便得(3)的积分形式：
ln
ln
expexp
b
bbb
a
aaa
bb
bb
aa
aa
p
fdx
pdxpfdxpfdx
f
pp
pdxpdx
dxdx
ff
(3)'
在
(3)'
中令
()1,()pxfxx
得
1
1lnln
lnln
2
baba
baba
ab
bae
再联立(2)，得出HGLEA.
例2（1）在锐角ABC中，证明
1
coscoscos
2
ABC
，
（2）
12
,,...,
n
aaa设为正数，证明恒成立12
12
...
...n
n
n
aaa
aaa
n
.
证明（1）令
()cos()fxx
，
(0,)x
.由于
()cos()0fxx
，
(0,)
2
x
.所以()fx在
(0,)
2
x
上凸函数，所以由于
（J1）
()()()
()
33
fAfBfCABC
f
，即
cos()cos()cos()
s()
33
ABCABC
co
1
()
2
即
1
coscoscos
2
ABC
；
（2）令
()ln,(0,)gxxx
，所以
2
1
()0,(0,)gxx
x
，
16
故
()gx
是在
(0,)
上的上凸函数.也是根据（J1）
1212
1212
1212
()()...()...
()
lnln...ln...
ln()
lnln...ln...
ln()
nn
nn
nn
gagagaaaa
g
nn
aaaaaa
nn
aaaaaa
nn
即
即
从而，有12
12
...
...n
n
n
aaa
aaa
n
.
下面我们再看一个用对数凸函数证明的不等式题.
例3[2]
1
0,0,1
2
n
ii
i
i
设x，则
12
112212
sin(...)sinsin...sinn
nnn
xxxxxx
（&）
12
112212
cos(...)coscos...cosn
nnn
xxxxxx
(%)
证明设
()sin()fxx
，由于2()()[()]10fxfxfx
，故
sin()x
是
(0,)
2
上
的对数凸函数，同理
cos()x
也是
(0,)
2
上对数凸函数.根据定理2即可得（&），
(%).
例4设
()fx
在
[,]ab
上可积，且
()mfxM
，
()t是在
[,]mM
上的连续下
凸函数，则
11
()(())bb
aa
fxdxfxdx
baba
.
证明令
,
()
kn
k
ffaba
n
，
,
1
()
kn
xba
n
.
由于
()t是凸函数，故有
1,2,,1,2,,
...()()...()
nnnnnnnn
ffffff
nn
.
由定积分的定义，上式就相当于
17
,,,,
11
()
nn
inininin
ii
ff
baba
，
,
1
()
kn
xba
n
在上式中令n时，
则有
11
()(())bb
aa
fxdxfxdx
baba
.
命题得证.
例5[7]设,
ii
abR，
11
1,2,...,,,
nn
ii
ii
inab
则2
11
1
2
nn
i
i
ii
ii
a
a
ab
.
证明记
1
n
i
i
sa
，
1
1
n
i
i
a
s
，将
2
11
1
2
nn
i
i
ii
ii
a
a
ab
变为
1
11
2
1
n
i
i
i
i
a
b
s
a
，那么
取
1
1i
i
b
a
作为函数
1
()
1
fx
x
，则由于3()2(1)0fxx
，再令i
i
i
b
x
a
，
i
i
a
s
所以根据凸函数性质和（J3）得出
1
1
111
2
1
1
n
i
n
i
i
ii
i
i
a
b
s
x
a
结论
本文主要讨论了凸函数以及对数凸函数一类重要的函数的概念，包括它们
的一些定义，性质，定理，引理和它们在证明一些不等式的重要应用.本文介绍
了Jensen不等式，Hadamard不等式，叙述了一些定理，引理，性质并给出了
18
它们的证明，并指出它们在判断凸函数的应用.本文还试就凸函数的等价定义、
性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数
的性质及其在证明不等式时的作用.最后举出了一些例题来具体的来体现凸函数
以及对数凸函数在不等式证明的应用.
参考文献：
[1]汪文珑.数学分析选讲[M].绍兴文理学院数学系，2001
[2]刘琼.对数凸函数的Jensen型和Hadamard型不等式[J].邵阳学报,邵
阳,2005,3
[3]查良凇.凸函数及其在不等式证明中的应用[J].浙江工贸职业技术学院学报,
绍兴,2005,3
[4]燕建梁,张喜善.凸函数的性质及其在不等式证明中的应用[J].太原教育学院
学报,太原,2002,4
[5]T.M菲赫金哥尔茨普.微积分教程[M].1965:290-300
[6]常庚哲,史济怀.数学分析教程（上册）(M).高等教育出版社，2003:167-176
[7]李碧荣.凸函数及其性质在不等式证明中的应用[J].广西师范学院学报,南
宁,2004,2
[8]白景华.图函数的性质、等价定义及应用[J].开封大学学报,开封,2003,2
[9]SatishShirali,aticalanalysis[M].Alpha
ScienceInternationalLtd.,c2006.
[10]aticalanalysis[M].ChinaMachinePress,2004.
19
致谢这是本人的第一篇论文，所以在多方面没有指导老师张金洪老师的指导是
很难进行下去的.张老师从我的选题开始便给予了很大帮助，在以后的开题，开
题报告，初稿的资料搜索，初稿出来后的校正，进一步的改进都给予了极大帮
助，使我在论文的完成进程中得以较为平坦地进行下去.在论文的写作的进行
中，我同组等同学也给了我很多帮助.在此表示感谢.也在此对我们的学校安徽师
范大学以及我校资料室提供这样一个学习环境和帮助，表示感谢.也感谢那在身
后的帮助.