极限的四则运算

极限的四则运算

官能度-岚县邮编

2023年2月20日发(作者：芭蕾舞剧天鹅湖)

分类讨论求极限

例已知数列an、bn都是由正数组成的等比数列，公比分别为p,q，其中p

q，

1997年全国高考试题，理科难度0.33）

解：

nn

a1p1b1q1

S

p

a1q110b1p10p

a1q110b1p10

a1q1

p

1

p

a1q1

2）当p1时，∵0qp1，

Sna1q1pn1b1p1qn1

n1

Sn1a1q1p

1b1

p1q

n1

1

.

分两种情况讨论；

（1）当p1时，∵pq

0，故0

q1

p

∴

limn

Sn

S

n1

且p

1，q1，设cn

a

n

bn，Sn为数列Cn

的前n项和，求

lim

Sn

Sn1

lim

n

pna

1

q11

1

n

n

b1p1

1

n

n

pn1a

1

q11b1p

li

m

Sn

S

n1

lim

a1q1pn1b1p1qn1limn1n1

na1q1p1b1p1q1

a1q101b1p101

a1q101b1p101

a1q1b1p1

a1q1b1p1

说明：该题综合考查了数列的基础知识、恒等变形的能力，分类讨论的数学思想方法

和求极限的方法．

自变量趋向无穷时函数的极限

例求下列极限：

的一般方法是分子、分母同除以x的最高次幂，再应用极限的运算法则．

2

与x都趋向于∞，这种形式叫“∞－∞”

12x1

lim

52

x

x

II

lim

IIIIV2

xx

lxim

x

14

lim

2

x

0

002

xx

IVlim(2

2

)lim(2)x

x

2

x

x

说明：“”型的式子求

极限类似于数列极限的求

法．

mli

mli

分

析：

1）题中，当x时，分子、分母都趋于无穷大，属于

“

”型，变形

型，变形的一般方法是先通

分，

变成“型或“0”型，再求极限．

0

解：

（1）

li

m

x

x

4

5x

2

22x41x

li

m

x

5

2

x

1

2x

2)

lim

x

3x

2x

2

2

x

2x

li

m

x

x3(2x

1

)

22

x2(2x21)

(2x21)(2x

1)

lim

2

x(2x21)(2x1)

li

m

x

1

(212)(2

x

x

1x)

x

第（2）题中，当x

3时，分式x

2

2x

2

lim1

x

lim14

xx

1lim(1)

10

(20)(20)4

无穷减无穷型极限求解

例求极限：

(1)lim(1xx21xx2)

x

(2)lim(1xx21xx2)

x

分析：含根式的函数求极限，一般要先进行变形，进行分子、分母有理化，再求极

限．

xlim

1xx

22x

1xx

2

1xx1xx

利用运算法则求极限

例计算下列极限：

1)

lim

1473n2；

2222；

nn1

n

2

1n

2

1

n1

lim

111n11

2)1

n

n3927

3

n

1992年全国高考试题，文科难度0.63)

x2，因

lim2

x1111

2121

xxxx

1

.

1x

2x

x21x

x

1

2

1

x

1

xx

2

x

1

2

1

x

1xx

2．

解：(1)原式lim

2x

1xx21xx2

2)原式li

m1xx

2

2x

12xx

li

m11

x

2

1

x

2

1.

用二项式定理展开或逆用等比数列和公式化简求极限

p1

设pN*，求

lim

分析：把1

p1用二项式定理展开或逆用等比数列和公式即可求

得．

p1

解：111C

p11C

p1

(1)nnn

p1

C1

p

1C2

p1

C

p1n

1

23

(1)2C3

p1

lim11

n4

说明：该题计算时，要先求和，再求所得代数式的极限，不能将只适用有限个数列的

加减、乘、除的数列极限的四则运算法则，照搬到无限个数列的加、减、乘、除，超出了法

则的适用范围，下面的计算是错误的：

解：1）原式li

m

1

2

n3n1

lim

3n

2

2n

n2n21

li

m

2）原式li

m

（1）原式

lim

21

nn21

lim

24

nn21

（2）原式

1lim

lim

11limlim1

n1

n3n9n27n

li

m

n

3n2

2n

1

1

1111

0

31

3

n39270

1

14

3

p1

1

1

lim

n

或：逆用等比数列求和公式：

211原式lim111nnn

111p1

p1个

对式子进行必要的变形，使之成为便于求极限的形式，以利问题的解决，经常用到的技巧

是分母、分子有理化或按二项式定理展开等等．

零乘无穷型转化为无穷除无穷型

例求lim(n1n)n.n

的最高次幂即n，完成极限的计算．

根据极限确定字母的范围

说明：要注意p是与n无关的正整数，

p1

不是无限项，对某些分式求极限应

先

分析：当n时，所求极限相当于0型，需要设法化为我们熟悉的型．

解：lim(n1n)n

n

li

m

(n1n)(n1n)n

(n1n)

说明：对于这种含有根号的0型的极限，可采取分子有理化或分母有理化来实现．

本题是通过分子有理化，从而化为n，

n1n

即为型，也可以将分子、分母同除以

1

，求实数m的取值范围．

16

分析：这是一个已知极限的值求参数的范围问题，我们仍然从求极限入手来解决．

极限必为0，而qn0的充要条件是q1，于是解不等式m

4

21．

零比零型的极限

例求limVVI1

x0

这种代换，可以解决一些0型的极限问题．

0

实也可以采用这种代换，即设tx1，则当x1时，t0，这样就有

原式l

y

im

1

y

10

1l

y

im

1

98

y1

y1

y1

yy

分析：这是一个0型的极限，显然当x0时，直接从函数1x1分子、分母中0

约去x有困难，但是101x1当x

0时也趋近于

0，

此时x化为(101x)101，这就

启

发我们通过换元来解决这一难题，即

设

y101x，则

10xy

1

．

解：设y101x，则xy

100时，

y

1

．

y1

1

10

说明：本题采用的换元法是把x0化为y

10，这是

种变量代换．灵活地运

用

已知lim

n

4

n

4

n2

(m2)

n

解：

lnim

4

n2

4

n

(m2)nli

m

16

m2

1

16

于是

m2

4

1，即4m24,6m2．

说明：在解题过程中，运用了逆向思维，由lim

n

16

1

n

m2

n

4

1

1可知，

16

n

m2

的

例如对于limx1，我们一般采用因式分解，

x1x1

然后约去x1，得到lim(x1)

2．其

组合与极限的综合题

C

n

例limCn

2

1

n()

n

C

n1

2n2

11

A．0B．2C．D．

24

分析：将组合项展开后化简再求极限．

lim

(2n)!(n1)!(n1)!

l

n

imn!n!(2n2)!

lim

(n1)2

n(2n1)(2n2)

n22n11lim2.n4n2

6n24故应选D．

说明：本题考查组合的运算和数列极限的概念．

高考填空题

1．计算lnim(

n

n

2

)

n

11e，把原题的代数式稍加变形即可获解．本题主要

考查灵活运用数列极限公式的能力．

m2t(mli

2．若数列an的通项公式是an

1

n(n

1)

(nN

)，则lim

(a

1

n

n2a

n

)

3．计算：

lnim(n

n

3

1

)

1．解析

limn

nn2

li

m

2

n2

n2

2

2n

n2

说明：利用数列极限公式m

解：

两个数列anbn的极限存在是两个数列的和．差、积存在极限的充分条件．但a

bn

n

的具体值，本题考查数列极限的基本知识．

3．解析

lim(

n3

)

nnn12n

2

n1n1lim(1)2e2

nn1

说明：本题考查数列极限公式的应用．

根据已知极限和四则运算求其它极限

例若lim2nan1，且liman存在，则lim(1n)annnn

1

A．0B．C．

2

根据题设知nan和an均存在极限，这是进行极限运算的前提，然后相减即可求

得结论．

解：lim2nan1,limnan存

在,nn

12limn

1

n(n1)n2

1113

lnim(

1

)

1

n

21

22

n

a

nn(n1)

2．解析

说明：本题的思考障碍点是如何求a1？

只要懂得在通项公式中令n1，可立得a1

1

2

D．不存在

分析：

liman

1

nlim0lim

lim2nan

nn2nn

又lim

2na

1,lim

na

1

nn2

∴lim(1

n)an

nl

n

im(an

n

nan)

li

m

n

即lim(1

n)a1.n

nn2

选C．

说明：liman

n

是关键，不能错误地认

为

0

11

anlimnan0

n22

lim

an

n

0，

lim(1

n

n)an0

例求下列极限

1

11

2)lim7899

lnim

1

11

24

3)limn111111

n34

5

说明：先化简，再求极限是求极限经常用到的方法，不能认为

352n1

lim

2

0,lim

2

0,,lim

2

0而得到(1)的结果是0．

n

n

2

1

n

n

2

1

n

n

2

1

7

lim1

n

1)lim

n

3

n

2

1

57

22

n

2

1n

2

1

2n1

n

2

1

式

，

分析：

再进行

极限的

四则运

算．

3

先运用等差数

列、

等比数列的

前

n项公式求

和，

或运用其他方式化简所给表

达

解：（1）原

式

li

m

n

57(2n1

)

n(n2)

lim

2

n

n

2

li

m

n

n

1

2n

2）原式

li

m

n

4

li

m

3

n

n

1

3

n

1

n

4

lnim

1

li

m

nli

m

n

3）原式li

m

n

n2

lim2n

n2

.n2

的极限不一定存在．

化简表达式再求数列的极限

1

3

n

1

2

n

1

n2

无穷比无穷和字母讨论的数列极限

例求下列极限：

1)l

n

im2

3

n

2

1

n

5

4

3n

3

n

1n3

2n43n

分析：第（1）题属“”型，一般方法是分子，分母同除以各式中幂的值最大的式

子．第

2）题中当a的值在不同范围内变化时，分子，分母的极限或变化趋势）不同，因此要分

各种情形进行讨论．

说含参数的式子求极限，经常要进行讨论，容易出现的问题是错误地

liman0．

根据极限确定等比数列首项的取值范围

例已知等比数列a

n

的首项为a

1

，公比为q，且有lima

1qn

1，求a

1

的取

n1

n

1q2

1

值范围．

分析：由已知条件及所给式子的极限存在，可知limqn存在，因此可得q的取值范

围，

n

从而确定出a1的取值范围．

解：由

lim

a

1

q

n

1，得

limq

n

存在．

n1q2n

2)lim

n1

n

1a

a

n(a0)

a

解：（1）原式li

m

22n153n

32n43nli

m

15

2

2lim15

n3n2015

n

2

304

3limlim4

n3n

2）当0

1时，li

m

11

lim

11

0，n11

当a

1时，li

m

n

1

n

lim

a1

lim

n

n

1

na

lim

1n

lim

n

n

n

1

n1

1limlim

anan

1.

n

15

4

na

na

1an

1a

n

01

01

1且q0或q1

当q1时，有1

1q

∴q2a1

1

2a

11解得

0

a1

1，

又q

0，因此a1

1．

2

．

当q

1时，这时

有

lim

a1

1

1

，∴a3

n2

2

1

综上可得：0a11，且a1

1或a13．

2

说明：在解决与数列有关的问题时，应充分注意相关知识的性质，仅从极限的角度出

发来考虑q的特点，容易将q0这一条件忽视，从而导致错误．

求函数在某一点处的极限

例求下列极限：

3x22x3

解：(1)lxim23

x

x22

4x

23x

2

lim(3x2)lim2x3

x2x2

lim(x24)lim(x32)

x2x2

4）

分析：

2）、（3）

3x22x3

2x

4

x

3

2

2x

217x35

2x

13x40

si

n

2

x

3

1cosx

16

则运算；（4）为“

第（1）题中，x2在函数的定义域内，可直接用极限的四则运算法则求极

限；

两个极限分子、分母都趋近于0，属“0”型，必须先对函数变形，然后施行

lim3x22lim23x

3

x2

x

2

4

x2

x

3

2

1）

2）

3）

l

x

im

5

li

m

lxim2

lim2

x3x3x29

lxim1

(1

3

x

3

x

2

)111

11

3limxlim22limx3

x2x2x2limx3lim4limx3lim2x2x2x2x2

322222813

231

210423255.

分析：第（1）题中，当x1时，分子、分母的极限都是0，不能用商的极限的运算

法则，应该先对分式变形，约去一个极限为零的因式后再应用极限的运算法则求分式的极限，

常用的变换方法有：

①对多项式进行因式分解；②对无理式分子或分母有理化；③对三角函数式（如第（2）

题，先进行三角恒等变换，再约分．

解：

(1x)(1x)(13x3x2)(13x)((13x3x2)(1x)

lim

(1x)(13x3x2)

lxim1(1x)(1x)

tanxsinxlim3

x2sin3x

2）

22x217x35

lim2

x5x213x

40

l

x

im

5

(x5)(2x

7)

(x5)(x8)

lim2x7

x5x8

2(5)7

(5)8

1

.

3）li

m

x0

2sinx

1cos3

x

li

m

x0

2

1cosx

2

cosx)(1cosxcos

x)

lim

x01

1cos

2

cosxcos

x

11

111

4）lim

x3x3

lim(x

2

3)6lim111x3x29x3x

3336

说明：不能错误地认为，由

于

16

lim不存在，lim

2

也不存在，因此（4）式的x3

x3

x3

x

2

9

极限不存在．（4）属于“”型，一般要先对函数式进行变形，变

为

型，再求极限．

函数在某一点处零比零型的极限

型或“

例求下列极

限：

1)lim13x

x113x

2

）

1）原式li

m

11

(11)12

说明：如果分子、分母同乘以13x，对（1）式进行变形，思维就会受阻，正确的方

法是分子、分母同乘以分子、分母的有理化因式，分母的有理化因式是（13x3x2）．

2）原式

x

lim

2

sinx

sin

x

x

lim

2

sinxsinx

cos

x

lim

2

1cos

2sinx

cosx

lim

2

1

(1cosx)

cosx