微分公式
神经丛-医院消毒技术规范
2023年2月20日发(作者：国模湘湘)-----WORD格式--可编辑--专业资料-----
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导数、微分、积分公式总结
【导数】
（1）（u±v）′＝u′±v′
（2）（uv）′＝u′v＋uv′（记忆方法：uv＋uv，分别在“u”上、“v”上加′）
（3）（cu）′＝cu′（把常数提前）
╭ｕ╮′u′v－uv′
（4）│——│＝———————（v≠0）
╰ｖ╯v²
【关于微分】
左边：d打头
右边：dx置后
再去掉导数符号′即可
【微分】
设函数ｕ＝u（x），ｖ＝v（x）皆可微，则有：
（1）d（u±v）＝du±dv
（2）d（uv）＝du·v＋u·dv
╭ｕ╮du·v－u·dv
（3）d│——│＝———————（v≠0）
╰ｖ╯v²
（5）复合函数（由外至里的“链式法则”）
dy
——＝f′（u）·φ′（x）
dx
其中y＝f（u），u＝φ′（x）
（6）反函数的导数：
1
[fˉ¹（y）]′＝—————
f′（x）
其中，f′（x）≠0
【导数】
注：【】里面是次方的意思
（1）常数的导数：
（c）′＝0
（2）x的α次幂：
╭【α】╮′【α－1】
│ｘ│＝αｘ
╰╯
（3）指数类：
╭【x】╮′【x】
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│ａ│＝ａlna（其中a＞0，a≠1）
╰╯
╭【x】╮′【x】
│ｅ│＝ｅ
╰╯
（4）对数类：
╭╮′11
│logｘ│＝——logｅ＝———（其中a＞0，a≠1）
╰a╯xaxlna
1
（lnx）′＝——
x
（5）正弦余弦类：
（sinx）′＝cosx
（cosx）′＝－sinx
【微分】
注：【】里面是次方的意思
（1）常数的微分：
dC＝0
（2）x的α次幂：
【α】【α－1】
dｘ＝αｘdx
（3）指数类：
【x】【x】
dａ＝ａlnadx（其中a＞0，a≠1）
【x】【x】
dｅ＝ｅdx
（4）对数类：
11
dlogｘ＝——logｅ＝———dx（其中a＞0，a≠1）
axaxlna
1
dlnx＝——dx
x
（5）正弦余弦类：
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dsinx＝cosxdx
dcosx＝－sinxdx
【导数】
（6）其他三角函数：
1
（tanx）′＝————＝sec²x
cos²x
1
（cotx）′＝－————＝－csc²x
sin²x
（secx）′＝secx·tanx
（cscx）′＝－cscx·cotx
（7）反三角函数：
１
（arcsinx）′＝———————（－1＜x＜1）
/￣￣￣￣￣
√1－x²
１
（arccosx）′＝－———————（－1＜x＜1）
/￣￣￣￣￣
√1－x²
１
（arctanx）′＝—————
1＋x²
１
（arccotx）′＝－—————
1＋x²
【微分】
（6）其他三角函数：
1
dtanx＝————＝sec²xdx
cos²x
1
dcotx＝－————＝－csc²xdx
sin²x
dsecx＝secx·tanxdx
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dcscx＝－cscx·cotxdx
（7）反三角函数：
１
darcsinx＝———————dx（－1＜x＜1）
/￣￣￣￣￣
√1－x²
１
darccosx＝－———————dx（－1＜x＜1）
/￣￣￣￣￣
√1－x²
１
darctanx＝—————dx
1＋x²
１
darccotx＝－—————dx
1＋x²
导数的应用（一）——中值定理
特殊形式
【拉格朗日中值定理】—————→【罗尔定理】
【拉格朗日中值定理】
如果函数y＝f（x）满足：
（1）在闭区间〔a，b〕上连续；
（2）在开区间（a，b）上可导。
则：在（a，b）内至少存在一点ξ（a＜ξ＜b），使得
f（b）－f（a）
f′（ξ）＝————————
b－a
【罗尔定理】
如果函数y＝f（x）满足：
（1）在闭区间〔a，b〕上连续；
（2）在开区间（a，b）上可导；
（3）在区间端点的函数值相等，即f（a）＝f（b）。
则：在（a，b）内至少存在一点ξ（a＜ξ＜b），使得f′（ξ）＝0。
导数的应用（二）——求单调性、极值（辅助作图）
【单调性】
（1）如果x∈（a，b）时，恒有f′（x）＞0，
则f（x）在（a，b）内单调增加；
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（2）如果x∈（a，b）时，恒有f′（x）＜0，
则f（x）在（a，b）内单调减少。
【极值】
若函数f（x）在点x₁处可导，且f（x）在x₁处取得
极值，则f′（x₁）＝0。
导数的应用（三）——曲线的凹向与拐点（辅助作图）
【凹向】
设函数y＝f（x）在区间（a，b）内具有二阶导数，
（1）若当x∈（a，b）时，恒有f〃（x）＞0，
则曲线y＝f（x）在区间（a，b）内上凹；
（2）若当x∈（a，b）时，恒有f〃（x）＜0，
则曲线y＝f（x）在区间（a，b）内下凹。
【拐点】
曲线上凹与下凹的分界点。