二次指数平滑法

二次指数平滑法

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2023年2月20日发(作者：十香词)

指数平滑法

指数平滑法（ExponentialSmoothing，ES）

什么是指数平滑法

指数平滑法是布朗(RobertG..Brown)所提出，布朗(RobertG..Brown)认为

时间序列的态势具有稳定性或规则性，所以时间序列可被合理地顺势推延；他认

为最近的过去态势，在某种程度上会持续到最近的未来，所以将较大的权数放在

最近的资料。

指数平滑法是生产预测中常用的一种方法。也用于中短期经济发展趋势预

测，所有预测方法中，指数平滑是用得最多的一种。简单的全期平均法是对时间

数列的过去数据一个不漏地全部加以同等利用；移动平均法则不考虑较远期的数

据，并在加权移动平均法中给予近期资料更大的权重；而指数平滑法则兼容了全

期平均和移动平均所长，不舍弃过去的数据，但是仅给予逐渐减弱的影响程度，

即随着数据的远离，赋予逐渐收敛为零的权数。

也就是说指数平滑法是在移动平均法基础上发展起来的一种时间序列分析预测法，它是

通过计算指数平滑值，配合一定的时间序列预测模型对现象的未来进行预测。其原理是任一

期的指数平滑值都是本期实际观察值与前一期指数平滑值的加权平均。

指数平滑法的基本公式

指数平滑法的基本公式是：St=ayt+(1-a)St-1式中，

St--时间t的平滑值；

yt--时间t的实际值；

St-1--时间t-1的实际值；

a--平滑常数，其取值范围为[0,1]；

由该公式可知：

是yt和St-1的加权算数平均数，随着a取值的大小变化，决定yt

和St-1对St的影响程度，当a取1时，St=yt；当a取0时，St=St-1。

具有逐期追溯性质，可探源至St-t+1为止，包括全部数据。其过程中，

平滑常数以指数形式递减，故称之为指数平滑法。指数平滑常数取值至关重要。

平滑常数决定了平滑水平以及对预测值与实际结果之间差异的响应速度。平滑常

数a越接近于1，远期实际值对本期平滑值的下降越迅速；平滑常数a越接近于

0，远期实际值对本期平滑值影响程度的下降越缓慢。由此，当时间数列相对平

稳时，可取较大的a；当时间数列波动较大时，应取较小的a，以不忽略远期实

际值的影响。生产预测中，平滑常数的值取决于产品本身和管理者对良好响应率

内涵的理解。

3.尽管St包含有全期数据的影响，但实际计算时，仅需要两个数值，即yt

和St-1，再加上一个常数a，这就使指数滑动平均具逐期递推性质，从而给预

测带来了极大的方便。

4.根据公式S1=ay1+(1-a)S0，当欲用指数平滑法时才开始收集数据，则不

存在y0。无从产生S0，自然无法据指数平滑公式求出S1，指数平滑法定义S1

为初始值。初始值的确定也是指数平滑过程的一个重要条件。

如果能够找到y1以前的历史资料，那么，初始值S1的确定是不成问题的。

数据较少时可用全期平均、移动平均法；数据较多时，可用最小二乘法。但不能

使用指数平滑法本身确定初始值，因为数据必会枯竭。

如果仅有从y1开始的数据，那么确定初始值的方法有：

1）取S1等于y1；

2）待积累若干数据后，取S1等于前面若干数据的简单算术平均数，如：S1=（y1+y2+y3）

/3等等。

指数平滑的预测公式

据平滑次数不同，指数平滑法分为：一次指数平滑法、二次指数平滑法和三次指数平滑

法等。

（一）一次指数平滑预测

当时间数列无明显的趋势变化，可用一次指数平滑预测。其预测公式为：

yt+1'=ayt+(1-a)yt'式中，

yt+1'--t+1期的预测值，即本期（t期）的平滑值St；

yt--t期的实际值；

yt'--t期的预测值，即上期的平滑值St-1。

该公式又可以写作：yt+1'=yt'+a(yt-yt')。可见，下期预测值又是本期预测值与以a为折

扣的本期实际值与预测值误差之和。

（二）二次指数平滑预测

二次指数平滑是对一次指数平滑的再平滑。它适用于具线性趋势的时间数

列。其预测公式为：

yt+m=(2+am/(1-a))yt'-(1+am/(1-a))yt=(2yt'-yt)+m(yt'-yt)a/(1-a)

式中，yt=ayt-1'+(1-a)yt-1

显然，二次指数平滑是一直线方程，其截距为：(2yt'-yt)，斜率为：(yt'-yt)a/(1-a),自变

量为预测天数。

（三）三次指数平滑预测

三次指数平滑预测是二次平滑基础上的再平滑。其预测公式是：

yt+m=(3yt'-3yt+yt)+[(6-5a)yt'-(10-8a)yt+(4-3a)yt]*am/2(1-a)2+

(yt'-2yt+yt')*a2m2/2(1-a)2

式中，yt=ayt-1+(1-a)yt-1

它们的基本思想都是：预测值是以前观测值的加权和，且对不同的数据给予

不同的权，新数据给较大的权，旧数据给较小的权。

指数平滑法的趋势调整

一段时间内收集到的数据所呈现的上升或下降趋势将导致指数预测滞后于

实际需求。通过趋势调整，添加趋势修正值，可以在一定程度上改进指数平滑预

测结果。调整后的指数平滑法的公式为：

包含趋势预测(YITt)=新预测（Yt）+趋势校正（Tt）

进行趋势调整的指数平滑预测有三个步骤：

1、利用前面介绍的方法计算第t期的简单指数平滑预测（Yt）；

2、计算趋势。其公式为：Tt=(1-b)Tt-1+b(Yt-Yt-1)其中，

Tt=第t期经过平滑的趋势；

Tt-1=第t期上期经过平滑的趋势；

b=选择的趋势平滑系数；

Yt=对第t期简单指数平滑预测；

Yt-1=对第t期上期简单指数平滑预测。

3、计算趋势调整后的指数平滑预测值（YITt）。计算公式为：YITt=Yt+Tt。

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一次指数平滑法(Singleexponentialsmoothing)

什么是一次指数平滑法

一次指数平滑法是指以最后的一个第一次指数平滑。如果为了使指数平滑值

敏感地反映最新观察值的变化，应取较大阿尔法值，如果所求指数平滑值是用来

代表该时间序列的长期趋势值，则应取较小阿尔法值。同时，对于市场预测来说，

还应根据中长期趋势变动和季节性变动情况的不同而取不同的阿尔法值，一般来

说，应按以下情况处理：

1.如果观察值的长期趋势变动接近稳定的常数，应取居中阿尔法值(一般取

0.6—0.4)使观察值在指数平滑中具有大小接近的权数；

2.如果观察值呈现明显的季节性变动时，则宜取较大的阿尔法值(一般取

0.6一0.9)，使近期观察在指数平滑值中具有较大作用，从而使近期观察值能迅

速反映在未来的预测值中；

3.如果观察值的长期趋势变动较缓慢，则宜取较小的e值(一般取0.1—

0.4)，使远期观察值的特征也能反映在指数平滑值中。在确定预测值时，还应加

以修正，在指数平滑值S，的基础上再加一个趋势值b，因而，原来指数平滑公

式也应加一个b。

一次指数平滑法是根据前期的实测数和预测数，以加权因子为权数，进行加权平均，来

预测未来时间趋势的方法。

一次指数平滑法的计算公式

一次指数平滑法计算公式为：

y

t+1

=ax

t

+(1−a)y

t

式中，x

t

――时期t的实测值；

y

t

――时期t的预测值；

a――平滑系数，又称加权因子，取值范围为0≤a≤1。

将的表达式逐次代入y

t+1

中，展开整理后，得：

从上式中可以看出，一次指数平滑法实际上是以a(1−a)k为权数的加权移

动平均法。由于k越大，a(1−a)k越小，所以越是远期的实测值对未来时期平

滑值的影响就越小。在展开式中，最后一项y

1

为初始平滑值，在通常情况下可

用最初几个实测值的平均值来代替，或直接可用第1时期的实测值来代替。

从上式可以看出，新预测值是根据预测误差对原预测值进行修正得到的。a

的大小表明了修正的幅度。a值愈大，修正的幅度愈大，a值愈小，修正的幅度

愈小。因此，a值既代表了预测模型对时间序列数据变化的反应速度，又体现

了预测模型修匀误差的能力。

在实际应用中，a值是根据时间序列的变化特性来选取的。若时间序列的波动不大，

比较平稳，则a应取小一些，如0.1～0.3；若时间序列具有迅速且明显的变动倾向，则

a应取大一些，如0.6～0.9。实质上，aa是一个经验数据，通过多个值进行试算比较而

定，哪个a值引起的预测误差小，就采用哪个。

一次指数平滑法的初值的确定有几种方法

1、取第一期的实际值为初值；

2、取最初几期的平均值为初值。

一次指数平滑法比较简单，但也有问题。问题之一便是力图找到最佳的α

值，以使均方差最小，这需要通过反复试验确定。

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二次指数平滑法

二次指数平滑法（Secondexponentialsmoothingmethod）

什么是二次指数平滑法

二次指数平滑法是对一次指数平滑值作再一次指数平滑的方法。它不能单独地进行预

测，必须与一次指数平滑法配合，建立预测的数学模型，然后运用数学模型确定预测值。一

次移动平均法的两个限制因素在线性二次移动平均法中也才存在，线性二次指数，平滑法只

利用三个数据和一个α值就可进行计算；在大多数情况下，一般更喜欢用线性二次指数平滑

法作为预测方法。

二次指数平滑法的计算

线性二次指数平滑法的公式为：

式中：分别为t期和t–1期的二次指数平滑值；a为平滑系数。在

和已知的条件下，二次指数平滑法的预测模型为：

T为预测超前期数

例5：某地1983年至1993年财政入的资料如下，试用指数平滑法求解趋势直线

方程并预测1996年的财政收入。计算过程及结果如下：

年

份

t

财政

收入

（元）

a=0.9初始值为23a=0.9初始值为28.40

198

3

12928.40

198

4

23635.2434.56

198

5

34039.5239.02

198

6

44847.1546.14

198

7

55453.3252.62

198

8

66261.1360.28

198

9

77069.068.23

199

0

87675.3174.60

199

1

98584.0383.09

199

2

1

0

9493.0092.01

199

3

1

1

103102.00101.00

由上表可知：；；；,a=0.9则

所求模型

为:

1996年该地区财政收入预测值为:(万元)

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