指数函数的概念

指数函数的概念

餐饮文化-宁波灵桥

2023年2月20日发(作者：紫质症)

§3指数函数的概念及图像和性质（共3课时）

太和五中焦洪宇中教二级电话：

一.教学分析:

有了前面的知识储备,我们就可以顺理成章地学习指数函数的概念,作指数函数的图像

以及研究指数函数的性质.

本节安排的内容蕴含了许多重要的数学思想方法,如推广的思想、类比的思想、逼近的

思想、数行结合的思想等.同时,体现数学的应用价值.

根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量计算器和计算机创设教

学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持.

二.学生学习情况分析

刚从初中升入高一的学生,仍保留着初中生许多学习特点,能力发展正处于形象思维

向抽象思维转折阶段,但更注重形象思维.由于函数概念十分抽象,又以指数运算为基础,

同时,初中函数教学要求降低,初中生运算能力有所下降,这双重问题增加了指数函数教学

的难度.教师必须认识到这一点,教学中要控制要求的拔高,关注学习过程.

三.教学目标：

1．知识与技能

（1）理解指数函数的概念和意义；

（2）2xy与

1

()

2

xy的图象和性质；

（3）理解和掌握指数函数的图象和性质；

（4）指数函数底数a对图象的影响；

（5）底数a对指数函数单调性的影响，并利用它熟练比较几个指数幂的大小

（6）体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；

2．情感、态度、价值观

（1）让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理.

（2）培养学生观察问题，分析问题的能力.

四.重、难点

重点：

（1）指数函数的概念和性质及其应用.

（2）指数函数底数a对图象的影响；

（3）利用指数函数单调性熟练比较几个指数幂的大小

难点：

（1）利用函数单调性比较指数幂的大小

（2）指数函数性质的归纳，概括及其应用.

五.教法与教具：

①学法：观察法、讲授法及讨论法.

②教具：多媒体.

六.教学过程

第一课时

讲授新课

指数函数的定义:一般地，函数xya（a＞0且a≠1）叫做指数函数，其中x是自

变量，函数的定义域为R.

提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？

（1）22xy（2）(2)xy（3）2xy

（4）xy（5）2yx（6）24yx

（7）xyx（8）(1)xya（a＞1，且

2a

）

小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a＞0，x是任意一个实数时，xa是一

个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R.

00

0,

0x

xa

a

xa

















x当时,等于

若

当时,无意义

若a＜0，如

1

(2),,

8

xyxx

1

先时,对于=等等,

6

在实数范围内的函数值不存在.

若a=1,11,xy是一个常量，没有研究的意义，只有满足(0,1)xyaaa且

的形式才能称为指数函数，5,,3,31xxxayxyy

1

x

x为常数,象y=2-3,y=2等等,

不符合(01)xyaaa且的形式,所以不是指数函数

我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研

究.先来研究a＞1的情况

下面我们通过用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数2xy的图象

x

3.002.001.000.001.00

2.00

2xy1/8

1

4

1

2

124

-

-

-

-

x

y

0

y=2x

再研究，0＜a＜1的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数

1

()

2

xy的图象.

从图中我们看出

1

2()

2

xxyy与的图象有什么关系?

通过图象看出

1

2()

2

xxyyy与的图象关于轴对称,实质是2xy上的

x,y点(-)xyx,yy

1

与=()上点(-)关于轴对称.

2

讨论：

1

2()

2

xxyy与的图象关于

y

轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？

②利用电脑软件画出

11

5,3,(),()

35

xxxxyyyy的函数图象.

练习p711,2

作业p76习题3-3A组2

x

2.001.000.001.002.00

1

()

2

xy

x

4211/21/4

3xy

5xy

1

3

x

y









1

5

x

y









8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10-5510

1

2

x

y









-

-

-

-

----------x

y

0

课后反思：

本节课是在前面研究了函数性质的基础上，研究具体的初等函数，它是重要

的初等函数，它有着丰富的内涵，且和我们的实际生活联系密切，也是以后学

习对数函数的基础，在指数函数概念的讲解过程中，既要向学生说明函数的定

义域是什么，又要向学生交代，为什么规定底数a是大于0而不等于1的.

第二课时

问题：1：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.

从图上看xya（a＞1）与xya（0＜a＜1）两函数图象的特征.

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10-5510

问题2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、

奇偶性.

问题3：指数函数xya（a＞0且a≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关

系.

图象特征函数性质

a＞10＜a＜1a＞10＜a＜1

向x轴正负方向无限延伸函数的定义域为R

图象关于原点和

y

轴不对称

非奇非偶函数

函数图象都在x轴上方函数的值域为R+

函数图象都过定点（0，1）0a=1

自左向右，

图象逐渐上升

自左向右，

图象逐渐下降

增函数减函数

在第一象限内的图

象纵坐标都大于1

在第一象限内的图

象纵坐标都小于1

x＞0，xa＞1x＞0，xa＜1

在第二象限内的图

象纵坐标都小于1

在第二象限内的图

象纵坐标都大于1

x＜0，xa＜1x＜0，xa＞1

5．利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[,]xabfxa上,()=（a＞0且a≠1）值域是[(),()][(),()];fafbfbfa或

（2）若0,xfxfxx则()1;()取遍所有正数当且仅当R;

（3）对于指数函数()xfxa（a＞0且a≠1），总有(1);fa

（4）当a＞1时，若

1

x＜

2

x，则

1

()fx＜

2

()fx；

(1)xyaa(01)xyaa

0

指数函数的图象和性质y=ax

图

像

a>10

2

2

性

质

定义域：R

值域：（0，+∞）

过点（0，1）

当x>0时y>1

当x<0时0

当x>0时0

当x1

是R上的增函数是R上的减函数

例题分析

例1比较下列各题中两个数的大小：

(1)30.8,30.7

(2)0.75-0.1,0.750.1

例2(1)求使4x>32成立的x的集合；

(2)已知a4/5>a2

,求实数a的取值范围.

练习p731,2

作业p77习题3-3A组4,5

课后反思：

第三课时

（1）提出问题

指数函数y=ax(a>0,a≠1)底数a对函数图象的影响，

我们通过两个实例来讨论

a>1和0

（2）动手实践

动手实践一：

在同一直角坐标系下画出y=2x和y=3x的图象，

比较两个函数的增长快慢

一般地，a>b>1时，

（1）当x<0时，总有ax

（2）当x=0时，总ax=bx=1有；

（3）当x>0时，总ax>bx>1有；

（4）指数函数的底数a越大，当x>0时，其函数值增长越快。

动手实践二：

分别画出底数为0.2,0.3,0.5,2,3,5的指数函数图象.

总结y=ax(a>0,a≠1)，a对函数图象变化的影响。

结论：

（1）当X>0时,a越大函数值越大；

当x<0时,a越大函数值越小。

（2）当a>1时指数函数是增函数，

当x逐渐增大时，

函数值增大得越来越快；

当0

当x逐渐增大时，

函数值减小得越来越快。

例题分析

例4比较下列各题中两个数的大小：

(1)1.80.6,0.81.6;(2)(1/3)-2/3,2-3/5.

(1)解由指数函数性质知1.80.6>1.80=1,0.81.6<0.80=1,所以

1.80.6>0.81.6

(2)解由指数函数性质知(1/3)-2/3>1,2-3/5<1,所以

(1/3)-2/3>2-3/5

例5已知-1

解（法1）因为-1

而3>1，因此有3-x>1

又0<0.5<1，因而有0<0.5-x<1

故3-x>0.5-x

（法2）设a=-x>0,函数f(x)=xa当x>0时

为增函数，而3>0.5>0,故f(3)>f(0.5)

即3-x>0.5-x

小结：

在比较两个指数幂大小时,常利用指数函数和幂函

数的单调性.相同底数比较指数,相同指数比较底数.

故常用到中间量“1”.

练习1，2

作业习题3-3B组1,2

课后反思：