log的图像
量版式-通道磨皮
2023年2月20日发(作者：广州地铁路线)对数函数及其图像
一．教学目标
1．知识技能
①对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律.
②掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题.
2．过程与方法
让学生通过观察对数函数的图象，发现并归纳对数函数的性质.
3．情感、态度与价值观
①培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力；
②培养学生严谨的科学态度.
二．学法与教学用具
1．学法：通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现函数的性质；
2．教学手段：多媒体计算机辅助教学．
三．教学重点、难点
1、重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质.
2、难点：底数a对图象的影响及对数函数性质的作用.
四．教学过程
1．设置情境
在2．2．1的例6中，考古学家利用
1
5730
2
logP估算出土文物或古遗址的年代，对于
每一个C
14
含量P，通过关系式，都有唯一确定的年代t与之对应．同理，对于每一个对数
式logx
a
y中的x，任取一个正的实数值，
y
均有唯一的值与之对应，所以logx
a
yx关于
的函数．
2．探索新知
一般地，我们把函数log
a
yx（a＞0且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函
数的定义域是（0，+∞）．
提问：（1）．在函数的定义中，为什么要限定a＞0且a≠1．
（2）．为什么对数函数log
a
yx（a＞0且a≠1）的定义域是（0，+∞）．组织学生
充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解.
答：①根据对数与指数式的关系，知log
a
yx可化为yax，由指数的概念，要使
yax有意义，必须规定a＞0且a≠1．
②因为log
a
yx可化为yxa，不管
y
取什么值，由指数函数的性质，ya＞0，所以
(0,)x．
例题1：求下列函数的定义域
（1）2log
a
yx（2）log(4)
a
yx（a＞0且a≠1）
分析：由对数函数的定义知：2x＞0；
4x
＞0，解出不等式就可求出定义域．
解：（1）因为2x＞0，即x≠0，所以函数2logx
ay的定义域为|0xx.
（2）因为
4x
＞0，即x＜4，所以函数(4)logx
a
y的定义域为|xx＜4.
下面我们来研究函数的图象，并通过图象来研究函数的性质：
先完成P
81
表2－3，并根据此表用描点法或用电脑画出函数
2
logxy的图象,再利用
电脑软件画出
0.5
的图象
x
1
2
124681216
y
－10122.5833.584
y
0.5
logyx
０x
2
logyx
注意到：
12
2
loglogyxx，若点
2
(,)logxyyx在的图象上，则点
1
2
(,)logxyyx在的图象上.由于（
,xy
）与（
,xy
）关于x轴对称，因此，
1
2
logyx
的图象与
2
logyx的图象关于x轴对称.所以，由此我们可以画出
1
2
logyx的图象.
先由学生自己画出
1
2
logyx的图象，再由电脑软件画出
2
logyx与
1
2
logyx的图
象.
探究：选取底数(aa＞0，且a≠1）的若干不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的
对数函数的图象．观察图象，你能发现它们有哪些特征吗？
.作法：用多媒体再画出
4
logyx，
3
logyx，
1
3
logyx和
1
4
logyx4
2
-2
-4
-55
提问：通过函数的图象，你能说出底数与函数图象的关系吗？函数的图象有何特征，
性质又如何？
先由学生讨论、交流，教师引导总结出函数的性质.(投影)
图象的特征函数的性质
（1）图象都在
y
轴的右边
（1）定义域是（0，+∞）
（2）函数图象都经过（1，0）点（2）1的对数是0
（3）从左往右看，当a＞1时，图象逐渐
上升，当0＜a＜1时，图象逐渐下降.
（3）当a＞1时，logx
a
y是增函数，当
0＜a＜1时，log
a
yx是减函数.
（4）当a＞1时，函数图象在（1，0）点
右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左
边的纵坐标都小于0.当0＜a＜1时，图
象正好相反，在（1，0）点右边的纵坐标
都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都
大于0.
（4）当a＞1时
x＞1，则log
a
x＞0
0＜x＜1，log
a
x＜0
当0＜a＜1时
x＞1，则log
a
x＜0
0＜x＜1，log
a
x＜0
由上述表格可知，对数函数的性质如下（先由学生仿造指数函数性质完成，教师适当
启发、引导）：
a＞10＜a＜1
图
象
4
logyx
3
logyx
1
4
logyx
1
3
logyx
0
性
质
（1）定义域（0，+∞）；
（2）值域R；
（3）过点（1，0），即当x=1，
y
=0；
（4）在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）是上减函数
例题训练：
1.比较下列各组数中的两个值大小
（1）
22
log3.4,log8.5
（2）
0.30.3
log1.8,log2.7
（3）log5.1,log5.9
aa
（a＞0，且a≠1）
分析：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成：
（1）解法1：用图形计算器或多媒体画出对数函数
2
logyx的图象.在图象上，横坐
标为3、4的点在横坐标为8.5的点的下方：
所以，
22
log3.4log8.5
解法2：由函数
2
logyxR在+上是单调增函数，且3.4＜8.5，所以
22
log3.4log8.5.
解法3：直接用计算器计算得：
2
log3.41.8，
2
log8.53.1
（2）第（2）小题类似
（3）注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.
解法1：当a＞1时，log
a
yx在（0，＋∞）上是增函数，且5.1＜5.9.
所以，log5.1
a
log5.9
a
当a1时，log
a
yx在（0，＋∞）上是减函数，且5.1＜5.9.
所以，log5.1
a
log5.9
a
解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调判断大小不一，
令1
1
log5.1,5.1,b
a
ba则令2
2
log5.9,5.9,b
a
ba则则25.9ba则
当a＞1时，xya在R上是增函数，且5.1＜5.9
所以，
1
b＜
2
b，即log5.1
a
＜log5.9
a
当0＜a＜1时，xya在R上是减函数，且5.1＞5.9
所以，
1
b＜
2
b，即log5.1
a
＞log5.9
a
说明：先画图象，由数形结合方法解答
课堂练习：Ｐ８５练习第２，３题
补充练习
1．已知函数(2)xyf的定义域为[-1，1]，则函数
2
(log)yfx的定义域为
2．求函数
2
2log(1)yxx的值域.
3．已知log7
m
＜log7
n
＜0，按大小顺序排列m,n,0,1
4．已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1.比较
1
log,log,log
aab
b
b
1
的大小
b
归纳小结：
②对数函数的概念必要性与重要性;
②对数函数的性质，列表展现.