通项公式怎么求

通项公式怎么求

电缆种类-蒸饺的包法

2023年2月20日发(作者：护士简历自我评价)

求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）

总述：一．利用递推关系式求数列通项的7种方法：

累加法、

累乘法、

待定系数法、

倒数变换法、

由和求通项

定义法

（根据各班情况适当讲）

二。基本数列：等差数列、等比数列。等差数列、等比数列的求通项公式的

方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。

三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列

或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法

1．适用于：

1

()

nn

aafn



----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个

方法之一。

例1已知数列{}

n

a满足

11

211

nn

aana



，，求数列{}

n

a的通项公式。

解：由

1

21

nn

aan



得

1

21

nn

aan



则

所以数列{}

n

a的通项公式为2

n

an。

例2已知数列{}

n

a满足

11

2313n

nn

aaa



，，求数列{}

n

a的通项公式。

解法一：由

1

231n

nn

aa



得

1

231n

nn

aa



则

11232211

1221

1221

1

()()()()

(231)(231)(231)(231)3

2(3333)(1)3

3(13)

2(1)3

13

3313

31

nnnnn

nn

nn

n

n

n

aaaaaaaaaa

n

n

n

n

























L

L

L

所以31.n

n

an

解法二：

1

3231n

nn

aa



两边除以13n，得1

11

21

3333

nn

nnn

aa





，

则1

11

21

3333

nn

nnn

aa





，故

因此

1

1

(13)

2(1)211

3

1

33133223

n

n

n

nn

a

nn









，

则

211

33.

322

nn

n

an

练习1.已知数列



n

a

的首项为1，且*

1

2()

nn

aannN





写出数列



n

a

的通项公式.

答案：

12nn

练习2.已知数列

}{

n

a

满足

3

1

a

，

)2(

)1(

1

1









n

nn

aa

nn，求此数列的通项公式.

答案：裂项求和n

a

n

1

2

评注：已知

aa

1,

)(

1

nfaa

nn



，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函

数、指数函数、分式函数，求通项n

a

.

①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;

②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;

③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;

④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。

二、累乘法

1.适用于：

1

()

nn

afna



----------这是广义的等比数列

累乘法是最基本的二个方法之二。

2．若1()n

n

a

fn

a

，则31

2

12

(1)(2)()n

n

aa

a

fffn

aaa

LL，，，

两边分别相乘得，1

1

1

1

()

n

n

k

a

afk

a







例4.设



n

a

是首项为1的正项数列，且

01

1

22

1



nnnn

aanaan

（n=1，2，3，…），

则它的通项公式是n

a

=________.

解：已知等式可化为：

0)1()(

11



nnnn

naanaa



0

n

a

(*Nn

)(n+1)

0

1



nn

naa

,即

1

1





n

n

a

a

n

n



2n

时，

n

n

a

a

n

n

1

1









1

1

2

2

1

1

a

a

a

a

a

a

a

a

n

n

n

n

n











=

1

2

1

1

21













n

n

n

n

=n

1

.

评注：本题是关于n

a

和1n

a

的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求

根公式）得到n

a

与1n

a

的更为明显的关系式，从而求出n

a

.

练习.已知

11

(1),1

nn

nanaa



,求数列{

n

a}的通项公式.

三、待定系数法适用于

1

()

nn

aqafn





基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域

是自然数集的一个函数。

1．形如

0(,

1





cdcaa

nn,其中

aa

1)型

例6已知数列{}

n

a中，

11

1,21(2)

nn

aaan



，求数列

n

a的通项公式。

解法一：

1

21(2),

nn

aan



Q

又

1

12,1

n

aaQ是首项为2，公比为2的等比数列

12n

n

a，即21n

n

a

解法二：

1

21(2),

nn

aan



Q

两式相减得

11

2()(2)

nnnn

aaaan



，故数列

1nn

aa



是首项为2，公比为2的等比数

列，再用累加法的……

练习．已知数列

}{

n

a

中，

,

2

1

2

1

,2

11



nn

aaa

求通项n

a

。

答案：

1)

2

1

(1n

n

a

2．形如：n

nn

qapa

1(其中q是常数，且n0,1)

①若p=1时，即：n

nn

qaa

1，累加即可.

②若

1p

时，即：n

nn

qapa

1，

求通项方法有以下三种方向：i.两边同除以1np

.目的是把所求数列构造成等差

数列

即：

n

n

n

n

n

q

p

p

q

a

p

a

)(

1

1

1





,令n

n

np

a

b

，则

n

nnq

p

p

bb)(

1

1



,然后类型1，累加求通项.

ii.两边同除以1nq

.目的是把所求数列构造成等差数列。

即：

q

q

a

q

p

q

a

n

n

n

n

1

1

1





,

令n

n

nq

a

b

,则可化为

q

b

q

p

b

nn

1

1



.然后转化为类型5来解，

iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列

设

)(1

1

n

n

n

n

papqa





.通过比较系数，求出



，转化为等比数列求通项.

注意：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效。

例7已知数列

{}

n

a

满足1

11

2431n

nn

aaa



，

，求数列



n

a

的通项公式。

解法一（待定系数法）：设1

112

3(3nn

nn

aa



)

，比较系数得12

4,2

，

则数列

143n

n

a

是首项为11

1

435a

，公比为2的等比数列，

所以114352nn

n

a

，即114352nn

n

a

解法二（两边同除以1nq

）：两边同时除以13n得：

1

12

24

3333

nn

nn

aa







，下面解法略

解法三（两边同除以1np

）：两边同时除以12n得：

n

n

n

n

n

aa

)

2

3

(

3

4

221

1





，下面解法略

**3．形如

bknpaa

nn



1(其中k,b是常数，且

0k

)

例8在数列

}{

n

a

中，

,23,1

11

naaa

nn



求通项n

a

.（逐项相减法）

解：，

,23

1

naa

nn



①



2n

时，

)1(23

1





naa

nn，

两式相减得

2)(3

11



nnnn

aaaa

.令nnn

aab

1,则

23

1



nn

bb

利用类型5的方法知

2351n

n

b

即

1351

1





n

nn

aa

②

再由累加法可得2

1

3

2

5

1nan

n.亦可联立①②解出2

1

3

2

5

1nan

n.

**5.形如

21nnn

apaqa



时将

n

a作为()fn求解

分析：原递推式可化为

211

()()

nnnn

aapaa



的形式，比较系数可求得，数

列

1nn

aa



为等比数列。

例11已知数列

{}

n

a

满足2112

56,1,2

nnn

aaaaa





，求数列

{}

n

a

的通项公式。

解：设211

(5)()

nnnn

aaaa





比较系数得

3

或

2

，不妨取

2

，（取-3结果形式可能不同，但本质相同）

则211

23(2)

nnnn

aaaa





，则



1

2

nn

aa





是首项为4，公比为3的等比数列

1

1

243n

nn

aa





，所以114352nn

n

a

练习.数列{}

n

a中，若

2,8

21

aa

,且满足

034

12



nnn

aaa

,求n

a

.

答案：n

n

a311

.

四、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项

例16已知数列{}

n

a满足

11

2

,1

2

n

n

n

a

aa

a





，求数列{}

n

a的通项公式。

解：求倒数得

111

11111111

,,

22

nnnnnn

aaaaaa











为等差数列，首项

1

1

1

a

，公差为

1

2

，

112

(1),

21n

n

na

an





五、由和求通项

已知数列{}

n

a的各项均为正数，且前n项和

n

S满足2

1

32,2

n

Snna求数列{}

n

a的通项

公式。

例19已知数列{}

n

a的各项均为正数，且前n项和

n

S满足

1

(1)(2)

6nnn

Saa，且

249

,,aaa

成等比数列，求数列{}

n

a的通项公式。

解：∵对任意nN有

1

(1)(2)

6nnn

Saa⑴

∴当n=1时，

1111

1

(1)(2)

6

Saaa，解得

1

1a或

1

2a

当n≥2时，

111

1

(1)(2)

6nnn

Saa



⑵

⑴-⑵整理得：

11

()(3)0

nnnn

aaaa





∵{}

n

a各项均为正数，∴

1

3

nn

aa





当

1

1a时，32

n

an，此时2

429

aaa成立

当

1

2a时，31

n

an，此时2

429

aaa不成立，故

1

2a舍去

所以32

n

an

练习。已知数列}{

n

a中,0

n

a且2)1(

2

1



nn

aS,求数列}{

n

a的通项公式.

答案：

nnn

aSS

1

2

1

2)1()1(

nn

aa12na

n

定义法

16．已知等比数列

n

a的公比q=3，前3项和

3

13

3

S

（I）求数列

n

a的通项公式；