希望杯初一试题

希望杯初一试题

古代年龄称谓-认识自己的身体

2023年2月19日发(作者：东非大裂谷形成的原因)

点点文化

希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题...........................................................1

希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题...........................................................4

希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题..........................................................11

希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题.........................................................17

希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题.........................................................21

希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题.........................................................25

希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题.........................................................35

希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题.........................................................43

希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题.........................................................50

希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题........................................................57

希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题.........................................................60

希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题.........................................................66

希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题.........................................................76

希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题.........................................................82

希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题.........................................................84

希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题.........................................................91

希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题.........................................................98

希望杯第九届（1998年）初中一年级第二试试题.......................................................106

希望杯第十届（1999年）初中一年级第二试试题........................................................115

希望杯第十届（1999年）初中一年级第一试试题.......................................................122

希望杯第十一届（2000年）初中一年级第一试试题...................................................125

希望杯第十一届（2000年）初中一年级第二试试题...................................................132

希望杯第十二届（2001年）初中一年级第一试试题...................................................135

希望杯第十二届（2001年）初中一年级第二试试题...................................................138

希望杯第十三届（2002年）初中一年级第一试试题...................................................142

希望杯第十三届（2001年）初中一年级第二试试题...................................................145

希望杯第十四届（2003年）初中一年级第一试试题...................................................150

希望杯第十四届（2003年）初中一年级第二试试题...................................................153

希望杯第十五届（2004年）初中一年级第一试试题...................................................157

希望杯第十五届（2004年）初中一年级第二试试题...................................................160

希望杯第十六届（2005年）初中一年纪第一次试卷

希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题

二、填空题（每题1分，共10分）

点点文化

1.2

111516

0.01253(87.5)(2)4

571615

______．

2

．

198919902－

198919892=______

．

3.

24816

32

(21)(21)(21)(21)(21)

21





=________.

4.

关于

x

的方程

12

1

48

xx



的解是

_________.

5．1－2＋3－4+5－6+7－8+…+4999－5000=______．

6.当x=-

24

125

时,代数式(3x3－5x2+6x－1)－(x3－2x2+x－2)+(－2x3+3x2+1)的值是____．

7．当a=－0.2，b=0.04时，代数式2

72711

()(0.16)()

73724

abbaab的值是

______.

8．含盐30%的盐水有60千克，放在秤上蒸发，当盐水变为含盐40%时，秤得盐水的重

是______克．

10．现在4点5分，再过______分钟，分针和时针第一次重合．

答案与提示

二、填空题

提示：

点点文化

2．198919902－198919892

=(19891990+19891989)×(19891990－19891989)

=(19891990+19891989)×1=39783979．

3．由于(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)

=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)

=(22－1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)

=(24－1)(24+1)(28+1)(216+1)

=(28－1)(28+1)(216+1)

=(216－1)(216+1)=232－1．

2(1+x)－(x－2)=8,2+2x－x+2=8解得；x=4

5．1－2+3－4+5－6+7－8+…+4999－5000

=(1－2)+(3－4)+(5－6)+(7－8)+…+(4999－5000)

=－2500．

6．(3x3－5x2+6x－1)－(x3－2x2+x－2)+(－2x3+3x2+1)=5x+2

点点文化

7．注意到：

当a=－0.2，b=0.04时，a2－b=(－0.2)2－0.04=0，b+a+0.16=0.04－0.2+0.16=0．

8．食盐30%的盐水60千克中含盐60×30%（千克）设蒸发变成含盐为40%的水重x克，

即0.001x千克，此时，60×30%=(0.001x)×40%

解得：x=45000（克）．

分针针夹角为120°即

希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题

一、选择题（每题1分，共5分）

以下每个题目里给出的A，B，C，D四个结论中有且仅有一个是正确的．请你在括号填

点点文化

上你认为是正确的那个结论的英文字母代号．

1．某工厂去年的生产总值比前年增长a%，则前年比去年少的百分数是()

A．a%．B．(1+a)%．C.

1

100

a

a



D.

100

a

a

2．甲杯中盛有2m毫升红墨水，乙杯中盛有m毫升蓝墨水，从甲杯倒出a毫升到乙杯里,

0＜a＜m，搅匀后，又从乙杯倒出a毫升到甲杯里，则这时()

A．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少．

B．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多．

C．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同．

D．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定．

3.已知数x=100,则()

A．x是完全平方数．B．(x－50)是完全平方数．

C．(x－25)是完全平方数．D．(x+50)是完全平方数．

4．观察图1中的数轴：用字母a，b，c依次表示点A，B，C对应的数,则

111

,,

abbac

的

大小关系是()

A.

111

abbac





;B.

1

ba

<

1

ab

<

1

c

;C.

1

c

<

1

ba

<

1

ab

;D.

1

c

<

1

ab

<

1

ba

.

5．x=9，y=－4是二元二次方程2x2+5xy+3y2=30的一组整数解，这个方程的不同的整数

解共有()

A．2组．B．6组．C．12组．D．16组．

二、填空题（每题1分，共5分）

1．方程|1990x－1990|=1990的根是______．

2．对于任意有理数x，y，定义一种运算*，规定x*y=ax+by－cxy，其中的a，b，c表

示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算．又知道1*2=3，2*3=4，x*m=x（m≠0），

则m的数值是______．

点点文化

3．新上任的宿舍管理员拿到20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能开其

中的一个门，但不知道每把钥匙是开哪一个门的钥匙，现在要打开所有关闭着的20个房间，

他最多要试开______次．

4．当m=______时，二元二次六项式6x2+mxy－4y2－x+17y－15可以分解为两个关于x，

y的二元一次三项式的乘积．

5．三个连续自然数的平方和（填“是”或“不是”或“可能是”）______某个自然

数的平方．

三、解答题（写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共15分）

1．两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线行驶，每车最多只能带24桶

汽油，途中不能用别的油，每桶油可使一辆车前进60公里，两车都必须返回出发地点，但

是可以不同时返回，两车相互可借用对方的油．为了使其中一辆车尽可能地远离出发地点，

另一辆车应当在离出发地点多少公里的地方返回？离出发地点最远的那辆车一共行驶了

多少公里？

2．如图2，纸上画了四个大小一样的圆，圆心分别是A，B，C，D，直线m通过A，B，

直线n通过C，D，用S表示一个圆的面积，如果四个圆在纸上盖住的总面积是5(S－1)，直

线m，n之间被圆盖住的面积是8，阴影部分的面积S

1

，S

2

，S

3

满足关系式S

3

=

1

3

S

1

=

1

3

S

2

,求S．

3.求方程

1115

6xyz



的正整数解.

答案与提示

点点文化

一、选择题

1．D2．C3．C4．C5．D

提示：

1．设前年的生产总值是m，则去年的生产总值是

前年比去年少

这个产值差占去年的应选D．

2．从甲杯倒出a毫升红墨水到乙杯中以后：

再从乙杯倒出a毫升混合墨水到甲杯中以后：

乙杯中含有的红墨水的数量是①

乙杯中减少的蓝墨水的数量是②

∵①=②∴选C．

∴x－25=(10n+2+5)2

可知应当选C．

4．由所给出的数轴表示（如图3）：

点点文化

可以看出

∴①＜②＜③，∴选C．

5．方程2x2+5xy+3y2=30可以变形为(2x+3y)(x+y)=1·2·3·5

∵x，y是整数，

∴2x+3y，x+y也是整数．

由下面的表

可以知道共有16个二元一次方程组，每组的解都是整数，所以有16组整数组，应选D．

二、填空题

提示：

1．原方程可以变形为|x－1|=1，即x-1=1或-1，∴x=2或0．

2．由题设的等式x*y=ax+by-cxy

及x*m=x(m≠0)

得a·0+bm-c·0·m=0，

∴bm=0．

∵m≠0，∴b=0．

点点文化

∴等式改为x*y=ax-cxy．

∵1*2=3，2*3=4，

解得a=5，c=1．

∴题设的等式即x*y=5x-xy．

在这个等式中，令x=1，y=m，得5-m=1，∴m=4．

3．∵打开所有关闭着的20个房间，

∴最多要试开

4．利用“十字相乘法”分解二次三项式的知识，可以判定给出的二元二次六项式

6x2+mxy-4y2-x+17y-15

中划波浪线的三项应当这样分解：

3x-5

2x+3

现在要考虑y，只须先改写作

然后根据-4y2，17y这两项式，即可断定是：

由于(3x+4y-5)(2x-y+3)=6x2+5xy-4y2-x+17y-15就是原六项式，所以m=5．

5．设三个连续自然数是a-1，a，a+1，则它们的平方和是(a-1)2+a2+(a+1)2=3a2+2，

显然，这个和被3除时必得余数2．

另一方面，自然数被3除时，余数只能是0或1或2，于是它们可以表示成

3b，3b+1，3b+2（b是自然数）中的一个，但是它们的平方

(3b)2=9b2

(3b+1)2=9b2+6b+1，

(3b+2)2=9b2+12b+4

=(9b2+12b+3)+1

被3除时，余数要么是0，要么是1，不能是2，所以三个连续自然数平方和不是某个自

点点文化

然数的平方．

三、解答题

1．设两辆汽车一为甲一为乙，并且甲用了x升汽油时即回返，留下返程需的x桶汽油，

将多余的(24-2x)桶汽油给乙．让乙继续前行，这时，乙有(24-2x)+(24-x)=48-3x桶汽油，

依题意，应当有48-3x≤24，∴x≥8．

甲、乙分手后，乙继续前行的路程是

这个结果中的代数式30(48-4x)表明，当x的值愈小时，代数式的值愈大，因为x≥8，

所以当x=8时，得最大值30(48-4·8)=480（公里），

因此，乙车行驶的路程一共是2(60·8+480)=1920（公里）．

2．由题设可得

即2S-5S

3

=8……②

∴x，y，z都＞1，

点点文化

因此，当1＜x≤y≤z时，解

(x，y，z)共(2，4，12)，(2，6，6)，

(3，3，6)，(3，4，4)四组．

由于x，y，z在方程中地位平等．所以可得如下表所列的15组解．

希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题

一、选择题（每题1分，共15分）

以下每个题目的A，B，C，D四个结论中，仅有一个是正确的，请在括号内填上正确的

那个结论的英文字母代号．

1．数1是()

A．最小整数．B．最小正数．C．最小自然数．D．最小有理数．

2．若a＞b，则()

点点文化

A.

11

ab



;B．-a＜-b．C．|a|＞|b|．D．a2＞b2．

3．a为有理数，则一定成立的关系式是()

A．7a＞a．B．7+a＞a．C．7+a＞7．D．|a|≥7．

4．图中表示阴影部分面积的代数式是()

A．ad+bc．B．c(b-d)+d(a-c)．C．ad+c(b-d)．D．ab-cd．

5．以下的运算的结果中，最大的一个数是()

A．(-13579)+0.2468;B.(-13579)+

1

2468

;

C.(-13579)×

1

2468

;D.(-13579)÷

1

2468

6．3.1416×7.5944+3.1416×(-5.5944)的值是()

A．6.1632．B．6.2832．C．6.5132．D．5.3692．

7.如果四个数的和的

1

4

是8,其中三个数分别是-6,11,12,则笫四个数是()

A．16．B．15．C．14．D．13．

8.下列分数中,大于-

1

3

且小于-

1

4

的是()

A.-

11

20

;B.-

4

13

;C.-

3

16

;D.-

6

17

.

9.方程甲:

3

4

(x-4)=3x与方程乙:x-4=4x同解,其根据是()

A.甲方程的两边都加上了同一个整式x．B.甲方程的两边都乘以

4

3

x;

C.甲方程的两边都乘以

4

3

;D.甲方程的两边都乘以

3

4

.

10．如图:，数轴上标出了有理数a，b，c的位置,其中

O是原点,则

111

,,

abc

的大小关系是()

A.

111

abc



;B.

1

b

>

1

c

>

1

a

;C.

1

b

>

1

a

>

1

c

;D.

1

c

>

1

a

>

1

b

.

11.方程

5

22.23.7

x



的根是()

A．27．B．28．C．29．D．30．

点点文化

12.当x=

1

2

,y=-2时,代数式

42xy

xy



的值是()

A．-6．B．-2．C．2．D．6．

13．在-4，-1，-2.5，-0.01与-15这五个数中，最大的数与绝对值最大的那个数的乘

积是()

A．225．B．0.15．C．0.0001．D．1．

14.不等式

1

24816

xxxx

x

的解集是()

A．x＜16．B．x＞16．C．x＜1．D.x>-

1

16

.

15．浓度为p%的盐水m公斤与浓度为q%的盐水n公斤混合后的溶液浓度是()

A.

%

2

pq

;B.

()%mpnq

;C.

()

%

mpnq

pq





;D.

()

%

mpnq

mn





.

二、填空题（每题1分，共15分）

1．计算：(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=______．

2．计算：-32÷6×

1

6

=_______.

3．计算：

(63)36

162



=__________.

4．求值：(-1991)-|3-|-31||=______．

5．计算:

111111

2612203042



=_________.

6．n为正整数，1990n-1991的末四位数字由千位、百位、十位、个位、依次排列组成

的四位数是8009．则n的最小值等于______．

7.计算：

1919191919

9191919191









=_______.

8.计算：

1

5

[(-1989)+(-1990)+(-1991)+(-1992)+(-1993)]=________.

9.在(-2)5,(-3)5,

51

2









,

51

3









中,最大的那个数是________.

点点文化

10．不超过(-1.7)2的最大整数是______．

11.解方程

2110121

1,_____.

3124

xxx

x





12.求值:

355355

113113

355

113

















=_________.

13．一个质数是两位数，它的个位数字与十位数字的差是7，则这个质数是______．

14.一个数的相反数的负倒数是

1

19

,则这个数是_______.

15．如图11，a，b，c，d，e，f均为有理数．图中各行，各列、两条对角线上三个数

之和都相等,则

abcdef

abcdef





=____.

答案与提示

一、选择题

1．C2．B3．B4．C5．C6．B7．B8．B9．C10．B11．D12．A13．B

14．A15．D

提示：

1．整数无最小数，排除A；正数无最小数，排除B；有理数无最小数，排除D．1是最

小自然数．选C．

有|2|＜|-3|，排除C；若2＞-3有22

＜(-3)2，排除D；事实上，a＞b必有-a＜-b．选B．

3．若a=0，7×0=0排除A；7+0=7排除C|0|＜7排除D，事实上因为7＞0，必有7+a＞

0+a=a．选B．

4．把图形补成一个大矩形，则阴影部分面积等于

ab-(a-c)(b-d)=ab-[ab-ad-c(b-d)]=ab-ab+ad+c(b-d)=ad+c(b-d)．选C．

5．运算结果对负数来说绝对值越小其值越大。

点点文化

6．3.1416×7.5944+3.1416×(-5.5944)

=3.1416(7.5944-5.5944)=2×3.1416

=6.2832．选B．

为32．第四个数数=32-(-6+11+12)=15．选B．

新方程x-4=4x与原方程同解．选C．

13．-4，-1，-2.5，-0.01与-15中最大的数是-0.01，绝对值最大的数是-15，(-0.01)

×(-15)=0.15．选B．

15．设混合溶液浓度为x，则m×p%+n×q%=(m+n)x．

二、填空题

提示：

1．(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=(-2)-(-1)=-1．

点点文化

4．(-1991)-|3-|-31||=-1991-28=-2019．

6．1990n的末四位数字应为1991+8009的末四位数字．即为0000，即1990n末位至少要4

个0，所以n的最小值为4．

(-1993)]=-1991．

10．(-1.7)2=2.89，不超过2.89的最大整数为2．

去分母得

4(2x-1)-(10x+1)=3(2x+1)-12．

8x-4-10x-1=6x+3-12．

8x-10x-6x=3-12+4+1．

点点文化

13．十位数比个位数大7的两位数有70，81，92，个位数比十位数大7的两位数有18，

29，其中只有29是质数．

b+d+7=-1+3+7=9，所以各行各列两条对角线上三个数之和等于9．易求得a=4，e=1，

c=5，f=0．

希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题

二、填空题（每题1分，共10分）

1．绝对值大于13并且小于15.9的所有整数的乘积等于______．

2．单项式

21

2

11

3

4

m

xyz

与

900

17

2

73

m

xyz



是同类项,则m=________.

3．化简:

2

190091

1

=_________.

4．现在弟弟的年龄是哥哥年龄的

1

2

,而9年前弟弟的年龄只是哥哥的

1

5

,则哥哥现在

点点文化

的年趟龄是_____.

5．某同学上学时步行，放学回家乘车往返全程共用了1.5小时，若他上学、下学都

乘车．则只需0.5小时．若他上学、下学都步行，则往返全程要用______小时．

6．四个连续正整数的倒数之和是

19

20

,则这四个正整数两两乘积之和等于______．

7．1.23452+0.76552+2.469×0.7655=______．

8.在计算一个正整数乘以

.

3.57

的运算时,某同学误将

.

3.57

错写为3.57,结果与正确

答案相差14,则正确的乘积是_______.

9．某班学生人数不超过50人．元旦上午全班学生的

2

9

去参加歌咏比赛,全班学生的

1

4

去玩乒乓球,而其余学生都去看电影,则看电影的学生有________人.

10．游泳者在河中逆流而上．于桥A下面将水壶遗失被水冲走．继续前游20分钟后他

发现水壶遗失，于是立即返回追寻水壶．在桥A下游距桥A2公里的桥B下面追到了水壶．那

么该河水流的速度是每小时______公里．

三、解答题（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，

字迹与绘图力求清晰、工整）

1.有一百名小运动员所穿运动服的号码恰是从1到100这一百个自然数，问从这100名

运动员中至少要选出多少人，才能使在被选出的人中必有两人，他们运动服的号码数相差

9？请说明你的理由．

2．少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对

值的运算，其运算过程是：输入第一个整数x

1

，只显示不运算，接着再输入整数x

2

后则显

示|x

1

-x

2

|的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算，

现小明将从1到1991这一千九百九十一个整数随意地一个一个地输入，全部输入完毕之后

显示的最后结果设为p．试求出p的最大值，并说明理由．

二、填空题

提示：

点点文化

1．绝对值大于13而小于15.9的所有整数是-15，-14，14，15，其乘积为

(-14)(-15)(14)(15)=44100．

3．令n=19901990，n-1=19901989，19901991=n+1．

则分母199019912-19901989×19901991=(n+1)2-(n-1)(n+1)=2(n+1)．

5．设步行速度为x，乘车速度为y，学校到家路程为s，则

6．设所求的四个连续整数分别为a，a+1，

∴a=2不合题设条件．

和为3×4+3×5+3×6+4×5+4×6+5×6=119．

7．令x=1.2345，y=0.7655，则2xy=2.469×0.7655，1.23452+0.76552+2.469×

0.7655=(x+y)2=(1.2345+0.7655)2=22=4

点点文化

9．显然全班人数被9整除，也被4整除，所以被4和9的最小公倍36整除，但全班人数

小于50，可见全班总计36人，看电影的同学为36-8-9=19．

10．设该河水速每小时x公里．游泳者每小时

解得x=3．即该河水速每小时3公里．

三、解答题

1．若选出54个人，他们的号码是1，2，…，8，9，19，20，…，26，27，37，38…，

44，45，55，56，…，62，63，73，74，…，80，81，91，92…，98，99．的时候，任两

个人号码数之差均不等于9．

可见，所选的人数必≥55才有可能．

我们证明，至少要选出55人时一定存在两个运动员号码之差恰是9．

被选出的55人有55个不同号码数，由于55=6×9+1，所以其中必有7个号码数被9除余

数是相同的．但由1—100这一百个自然数中，被9除余数相同的数最多为12个数．因此7个

数中一定有两个是“大小相邻”的，它们的差等于9．

所以至少要选出55名小运动员，才能使其中必有两人运动服的号码数相差9．

点点文化

2．由于输入的数都是非负数．当x

1

≥0，x

2

≥0时，|x

1

-x

2

|不超过x

1

，x

2

中最大的数．对

x

1

≥0，x

2

≥0，x

3

≥0，则||x

1

-x

2

|-x

3

|不超过x

1

，x

2

，x

3

中最大的数．小明输入这1991个数设

次序是x

1

，x

2

，…，x

1991

，相当于计算：||…||x

1

-x

2

|-x

3

|……-x

1990

|-x

1991

|=P．因此P的值≤

1991．

另外从运算奇偶性分析，x

1

，x

2

为整数．

|x

1

-x

2

|与x

1

+x

2

奇偶性相同．因此P与x

1

+x

2

+…+x

1991

的奇偶性相同．

但x

1

+x

2

+…+x

1991

=1+2+…1991=偶数．于是断定P≤1990．我们证明P可以取到1990．

对1，2，3，4，按如下次序|||1-3|-4|-2|=0．

|||(4k+1)-(4k+3)|(4k+4)|-(4k+2)=|0，对k=0，1，2，…均成立．因此，1-1988可

按上述办法依次输入最后显示结果为0．而后||1989-1990|-1991|=1990．

所以P的最大值为1990．

希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题

一、选择题（每题1分，共10分）

1.有理数-

1

a

一定不是()

A．正整数．B．负整数．C．负分数．D．0．

2．下面给出的四对单项式中，是同类项的一对是()

A.

1

3

x2y与-3x2z;B.3.22m2n3与

1

1992

n3m2;C.0.2a2b与0.2ab2;D.11abc与

1

11

ab.

3．(x-1)-(1-x)+(x+1)等于()

A．3x-3．B．x-1．C．3x-1．D．x-3．

4．两个10次多项式的和是()

A．20次多项式．B．10次多项式．C．100次多项式．D．不高于10次的多项式．

5．若a+1＜0，则在下列每组四个数中，按从小到大的顺序排列的一组是()

A．a，-1，1，-a．B．-a，-1，1，a．C．-1，-a，a，1．D．-1，a，1，-a．

6．a=-123.4-(-123.5)，b=123.4-123.5，c=123.4-(-123.5)，则()

A．c＞b＞a．B．c＞a＞b．C．a＞b＞c．D．b＞c＞a．

7．若a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，那么下列式子中结果是正数的是()

A．(a-b)(ab+a)．B．(a+b)(a-b)．C．(a+b)(ab+a)．D．(ab-b)(a+b)．

8．从2a+5b减去4a-4b的一半，应当得到()

点点文化

A．4a-b．B．b-a．C．a-9b．D．7b．

9．a，b，c，m都是有理数，并且a+2b+3c=m，a+b+2c=m，那么b与c()

A．互为相反数．B．互为倒数．C．互为负倒数．D．相等．

10．张梅写出了五个有理数，前三个有理数的平均值为15，后两个有理数的平均值是

10，那么张梅写出的五个有理数的平均值是()

A.5;B.8

1

3

;C.12

1

2

;D.13.

二、填空题（每题1分，共10分）

1．2+(-3)+(-4)+5+6+(-7)+(-8)+9+10+(-11)+(-12)+13+14+15=______．

2．

(2)5(8)(12)

(3)4(15)





=_________________.

3.1992322

1

[(1)(1)(1)(1)]

2



=_________________.

4.若P=a2+3ab+b2，Q=a2-3ab+b2，则代入到代数式P-[Q-2P-(-P-Q)]中，化简后，是

______．

5.1992-{1991-1992[1991-1990(1991-1992)1990]}=_______________.

6.六个单项式15a2,xy,

2

3

a2b3,0.11m3,-abc,-

23

4

ab

的数字系数之和等于

_____________.

7．小华写出四个有理数，其中每三数之和分别为2，17，-1，-3，那么小华写出的四

个有理数的乘积等于______．

8．一种小麦磨成面粉后，重量要减少15%，为了得到4250公斤面粉，至少需要______

公斤的小麦．

9.满足

221

23

xx



的x值中,绝对值不超过11的那些整数之和等于______．

10．在下图所示的每个小方格中都填入一个整数：

并且任意三个相邻格子中所填数之和都等于5,则

xyz

xyz



=__________.

答案与提示

一、选择题

1．D2．B3．C4．D5．A6．B7．A8．D9．A10．D

提示：

点点文化

故选D．

2．依同类项的定义，选B．

3．(x-1)-(1-x)+(x+1)

=x-1-1+x+x+1=3x-1，选C．

4．多项式x10+x与-x10+x2之和为x2+x是个次数低于10次的多项式，因此排除了A、B、C，

选D．

5．由a+1＜0，知a＜-1，所以-a＞1．于是由小到大的排列次序应是a＜-1＜1＜-a，

选A．

6．易见a=-123.4+123.5=0.1，b=123.4-123.5＜0，c=123.4-(-123.5)＞123.4＞a，

所以b＜a＜c，选B．

7．因为a＜0，b＞0．所以|a|=-a，|b|=b．由于|a|＜|b|得-a＜b，因此a+b＞0，a-b

＜0．ab+a＜0，ab-b＜0．所以应有(a-b)(ab+a)＞0成立，选A．

=2a+5b-2a+2b=7b，选D．

9．因为a+2b+3c=m=a+b+2c，所以b+c=0，即b，c互为相反数，选A．

10．前三个数之和=15×3，

后两个数之和=10×2．

所以五个有理数的平均数为

二、填空题

提示：

1．前12个数，每四个一组，每组之和都是0．所以总和为14+15=29．

点点文化

4．因为P-[Q-2P-(-P-Q)]

=P-Q+2P+(-P-Q)

=P-Q+2P-P-Q

=2P-2Q=2(P-Q)

以P=a2+3ab+b2，Q=a2-3ab+b2代入，

原式=2(P-Q)=2[(a2+3ab+b2)-(a2-3ab+b2)]

=2(6ab)=12ab．

6．六个单项式的系数依次为：

7．小华写四个有理数之和为

分别减去每三数之和后可得这四个有理数依次为3，-12，6，8．所以，这四个有理数

的乘积=3×(-12)×6×8=-1728．

8．设需要x公斤小麦，根据题意，得

解方程，得x=5000．

答：需要5000公斤小麦．

点点文化

去分母，得3(2+x)≥2(2x-1)

去括号，得6+3x≥4x-2

移项，得3x-4x≥-2-6

合并同类项-x≥-8

于是x≤8．

其中绝对值不超过11的整数之和为(-9)+(-10)+(-11)=-30．

10．容易断定与x相邻的两个数分别为9与2，即

因为9+x+2=5，则x=-6，依任意三个相邻格子中所填数之和都等于5，分别确定出每个

格子中所填之数如下：

断定y=-6，z=9．所以

希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题

一、选择题（每题1分，共10分）

1．若8.0473=521.077119823，则0.80473等于()

A．0.521077119823．B．52.1077119823．C．571077.119823．D．0.23．

2．若一个数的立方小于这个数的相反数，那么这个数是()

A．正数．B．负数．C．奇数．D．偶数．

3．若a＞0，b＜0且a＜|b|，则下列关系式中正确的是()

A．-b＞a＞-a＞b．B．b＞a＞-b＞-a．C．-b＞a＞b＞-a．D．a＞b＞-a＞-b．

4．在1992个自然数：1，2，3，…，1991，1992的每一个数前面任意添上“+”号或

“-”号，则其代数和一定是()

A．奇数．B．偶数．C．负整数．D．非负整数．

点点文化

5．某同学求出1991个有理数的平均数后，粗心地把这个平均数和原来的1991个有理

数混在一起，成为1992个有理数，而忘掉哪个是平均数了．如果这1992个有理数的平均数

恰为1992．则原来的1991个有理数的平均数是()

A．1991.5．B．1991．C．1992．D．1992.5．

6．四个互不相等的正数a，b，c，d中，a最大,d最小,且,则a+d与b+c的大小关系是()

A．a+d＜b+c．B．a+d＞b+c．C．a+d=b+c．D．不确定的．

7.已知p为偶数,q为奇数,方程组

1992

19933

xyp

xyq











的解是整数,那么()

A.x是奇数，y是偶数．B．x是偶数，y是奇数．

C．x是偶数，y是偶数．D．x是奇数，y是奇数．

8．若x-y=2，x2+y2=4，则x1992+y1992的值是()

A．4．B．19922．C．21992．D．41992．

9．如果x，y只能取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的数，并且3x-2y=1，那么代数

式10x+y可以取到()不同的值．

A．1个．B．2个．C．3个．D．多于3个的．

10．某中学科技楼窗户设计如图15所示．如果每个符号（窗户形状）代表一个阿拉伯

数码，每横行三个符号自左至右看成一个三位数．这四层组成四个三位数，它们是837，

571，206，439．则按照图15中所示的规律写出1992应是图16中的()

二、填空题（每题1分，共10分）

1.a,b,c,d,e,f是六个有理数,关且

11111

,,,,,

23456

abcde

bcdef



则

f

a

=_____.

点点文化

2．若三个连续偶数的和等于1992．则这三个偶数中最大的一个与最小的一个的平方

差等于______．

3．若x3+y3=1000，且x2y-xy2=-496，则(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)=______．

4．三个互不相等的有理数，既可表示为1，a+b,a的形式,又可表示为0,

b

a

,b,的形式,

则a1992+b1993=________.

5．海滩上有一堆核桃．第一天猴子吃掉了这堆核桃的个数的

2

5

,又扔掉4个到大海中

去,第二天吃掉的核桃数再加上3个就是第一天所剩核桃数的

5

8

,那么这堆核桃至少剩下

____个.

6．已知不等式3x-a≤0的正整数解恰是1，2，3．那么a的取值范围是______．

7．a，b，c是三个不同的自然数，两两互质．已知它们任意两个之和都能被第三个整

除．则a3+b3+c3=______．

8．若a=1990，b=1991，c=1992，则a2+b2+c2-ab-bc-ca=______．

9．将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11这个10个自然数填到图

17中10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中

所填数字之和都等于p．则p的最大值是______．

10．购买五种教学用具A

1

，A

2

，A

3

，A

4

，A

5

的件数和用钱总数列成

下表：

那么，购买每种教具各一件共需______元．

三、解答题（每题5分，共10分）

1．将分别写有数码1，2，3，4，5，6，7，8，9的九张正方形卡片排成一排，发现恰

是一个能被11整除的最大的九位数．请你写出这九张卡片的排列顺序，并简述推理过程．

点点文化

2．一个自然数a，若将其数字重新排列可得一个新的自然数b．如果a恰是b的3倍，我

们称a是一个“希望数”．

(1)请你举例说明：“希望数”一定存在．

(2)请你证明：如果a，b都是“希望数”，则ab一定是729的倍数．

答案与提示

一、选择题

1．A2．B3．A4．B5．C6．B7．B8．C9．C10．D

提示：

所以将8.0473=512.077119823的小数点向前移三位得0.5，即为0.80473

的值，选A．

2．设该数为a，由题意-a为a的相反数，且有a3＜-a，

∴a3+a＜0，a(a2+1)＜0，

因为a2+1＞0，所以a＜0,即该数一定是负数，选B．

3．已知a＞0，b＜0，a＜|b|．在数轴上直观表示出来，b到原点的距离大于a到原点

的距离，如图18所示．所以-b＞a＞-a＞b，选A．

4．由于两个整数a，b前面任意添加“+”号或“-”号，其代数和的奇偶性不变．这

个性质对n个整数也是正确的．因此，

1，2，3…，1991，1992，的每一个数前面任意添上“+”号或“-”号，其代数和的

奇偶性与(-1)+2-3+4-5+6-7+8-…-1991+1992=996的奇偶性相同，是偶数，所以选B．

5．原来1991个数的平均数为m，则这个1991个数总和为m×1991．当m混入以后，那1992

个数之和为m×1991+m,其平均数是1992，

∴m=1992，选C．

6．在四个互不相等的正数a，b，c，d中，a最大，d最小，因此有a＞b，a＞c，a＞d，

b＞d，c＞d．

点点文化

所以a+b＞b+c，成立，选B．

7．由方程组

以及p为偶数，q为奇数，其解x，y又是整数．

由①可知x为偶数，由②可知y是奇数，选B．

8．由x-y=2①

平方得x2-2xy+y2=4②

又已知x2+y2=4③

所以x，y中至少有一个为0，但x2+y2=4．因此，x，y中只能有一个为0，另一个为2或

-2．无论哪种情况，都有

x1992+y1992=01992+(±2)1992=21992，选C．

9．设10x+y=a，又3x-2y=1，代入前式得

由于x，y取0—9的整数，10x+y=a的a值取非负整数．由(*)式知，要a为非负整数，23x

必为奇数，从而x必取奇数1，3，5，7，9．

三个奇数值，y相应地取1，4，7这三个值．这时，a=10x+y可以取到三个不同的值11，

34和57，选C．

二、填空题

点点文化

提示：

与666，所以最大的一个偶数与最小的一个偶数的平方差等于

6662-6622=(666+662)(666-662)=1328×4=5312．

3．由于x3+y3=1000，且x2y-xy2=-496，因此要把(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)分组、

凑项表示为含x3+y3及x2y-xy2的形式，以便代入求值，为此有

(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)=x3+y3+2xy2-2x2y=(x3+y3)-2(x2y-xy2)=1000-2(-496)=19

92．

4．由于三个互不相等的有理数，既可表示为1，

下，只能是b=1．于是a=-1．

所以，a1992+b1993=(-1)1992+(1)1993=1+1=2．

点点文化

5．设这堆核桃共x个．依题意

我们以m表示这堆核桃所剩的数目（正整数），即

目标是求m的最小正整数值．

可知，必须20|x即x=20，40，60，80，……

m为正整数，可见这堆核桃至少剩下6个．

由于x取整数解1、2、3，表明x不小于3，

即9≤a＜12．

可被第三个整除，应有b|a+c．

∴b≥2，但b|2，只能是b=2．

于是c=1，a=3．因此a3+b3+c3=33+23+13=27+8+1=36．

8．因为a=1990，b=1991，c=1992，所以

点点文化

a2+b2+c2-ab-bc-ca

9．将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11填入这10个格子中，按田字格4个数之和均等

于p，其总和为3p，其中居中2个格子所填之数设为x与y，则x、y均被加了两次，所以这3

个田字形所填数的总和为2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+x+y=65+x+y

于是得3p=65+x+y．

要p最大，必须x，y最大，由于x+y≤10+11=21．

所以3p=65+x+y≤65+21=86．

所以p取最大整数值应为28．

事实上，如图19所示可以填入这10个数使得p=28成立．

所以p的最大值是28．

10．设A

1

，A

2

，A

3

，A

4

，A

5

的单价分别为x

1

，x

2

，x

3

，x

4

，x

5

元．

则依题意列得关系式如下：

③×2-④式得

x

1

+x

2

+x

3

+x

4

+x

5

=2×1992-2984=1000．

所以购买每种教具各一件共需1000元．

三、解答题

点点文化

1．解①（逻辑推理解）

我们知道，用1，2，3，4，5，6，7，8，9排成的最大九位数是987654321．但这个数

不是11倍的数，所以应适当调整，寻求能被11整除的最大的由这九个数码组成的九位数．

设奇位数字之和为x，偶位数字之和为y．

则x+y=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45．

由被11整除的判别法知

x-y=0，11，22，33或44．

但x+y与x-y奇偶性相同，而x+y=45是奇数，所以x-y也只能取奇数值11或33．

于是有

但所排九位数偶位数字和最小为1+2+3+4=10＞6．所以（Ⅱ）的解不合题意，应该排

除，由此只能取x=28，y=17．

987654321的奇位数字和为25，偶位数字和为20，所以必须调整数字，使奇位和增3，

偶位和减3才行。为此调整最后四位数码，排成987652413即为所求．

解②（观察计算法）

987654321被11除余5．因此，987654316是被11整除而最接近987654321的九位数．但

987654316并不是由1，2，3，4，5，6，7，8，9排成的，其中少数字2，多数字6．于是我

们由987654316开始，每次减去11，直到遇到恰由1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字组

成的九位数为止．其过程是

987654316→987654305→987654294→987654283

→987654272→987654261→987654250→987654239

→987654228→987654217→987654206→987654195

→987654184→……→987652435→987652424

→987652413．

点点文化

这其间要减去173次11，最后得出一个恰由九个数码组成的九位数987652413，为所求，

其最大性是显见的，这个方法虽然操作173次，但算量不繁，尚属解决本题的一种可行途

径，有一位参赛学生用到了此法，所以我们整理出来供大家参考．

2．(1)答：由于428571=3×142857，所以428571是一个“希望数”．

说明：一个自然数a，若将其数字重新排列可得一个新的自然数b．如果a恰是b的3倍，

我们称a是一个“希望数”．这实际上给出了“希望数”的定义。考察参赛学生阅读理解

定义的能力，并能举例说明被定义的对象存在．在一位数、二位数、三位数中找不到“希

望数”．而在四位数中很容易找到实例．

如：3105=3×1035，所以3105是个“希望数”；

或：7425=3×2475，所以7425是个“希望数”；

或：857142=3×285714，所以857142是个“希望数”；

以下我们再列举几个同学们举的例子供参考，如：

37124568=3×12374856

43721586=3×14573862

692307=3×230769

461538=3×153846

705213=3×235071

8579142=3×2859714

594712368=3×198237456

37421568=3×12473856

341172=3×113724．

可见37124568，43721586，592307，461538，705213，8579142，594712368，37421568，

341172都是希望数，事实上用3105是希望数，可知31053105也是“希望数”，只要这样排

下去，可以排出无穷多个“希望数”．因此，“希望数”有无穷多个．

(2)由a为“希望数”，依“希望数”定义知，存在一个由a的数字重新排列而成的自

然数p，使得a=3p并且a的数字和等于p的数字和．

点点文化

由a=3p和a为3的倍数．

因此a被9整除．

于是a是27的倍数．

这样就证明了，“希望数”一定能被27整除．

现已知a，b都是“希望数”，所以a，b都是27的倍数．

即a=27n

1

，b=27n

2

（n

1

，n

2

为正整数）．

所以ab=(27n

1

)(27n

2

)

=(27×27)(n

1

×n

2

)

=729n

1

n

2

．

所以ab一定是729的倍数．

希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题

一、选择题:（每题1分，共15分）

1．若a是有理数,则

12345

m

aaaaa



一定不是()

A．正整数．B．负整数．C．负分数．D．零．

2.1993-{1993-[1993-(1992-1993)]}的值等于()

A．-1995．B．1991．C．1995．D．1993．

3．若a＜b，则(a-b)|a-b|等于()

A．(a-b)2．B．b2-a2．C．a2-b2．D．-(a-b)2．

点点文化

4.若n是正整数,并且有理数a,b满足a+

1

b

=0,则必有()

+

21n

b







=0;B.a2n+

211n

b







=0;C.a2n+

31n

b







=0;D.a2n+1+

211n

b







=0.

5.如果有理数a,b满足

11

ab



=0,则下列说法中不正确的一个是()

A．a与b的和是0．B．a与b的差是正数．

C．a与b的积是负数．D．a除以b，得到的商是-1．

6.甲的6张卡片上分别写有-4,-1,-2.5,-0.01,-3

3

4

,-15,乙的6张卡片上分别写有

-5,-1,0.1,-0.001,-8,-12

1

2

,则乙的卡片上的最小数a与甲的卡片上的最大数b的比

a

b

的值等于()A．1250．B．0．C．0.1．D．800．

7．a是有理数，则在下列说法中正确的一个是()

A．-a是负数．B．a2是正数．C．-|a2|是负数．D．(a-1993)2+0.001是正数．

8.-

19191919

93939393



的值等于()

A.-3;B.-

19

31

;C.-1;.D.-

1

3

.

9．在下列条件中，能使ab＜b成立的是()

A．b＞0，a＞0．B．b＜0，a＜0．C．b＞0，a＜0．D．b＜0，a=0．

10.若a=

3.14

3.12

3.13











,b=

2.14

2.12

2.13











,c=

1.14

(1.12)

1.13









,则a,b,c的大小

关系是()A．a＞b＞c．B．a＞c＞b．C．b＞c＞a．D．c＞b＞a．

11．有理数a、b小于零，并且使(a-b)3＜0，则()

A.

11

ab



;B.-a丨b丨;D.a2>b4.

12．M表示a与b的和的平方，N表示a与b的平方的和，则当a=7，b=-5时，M-N的值为()

A．-28．B．70．C．42．D．0．

13.有理数

111

,

25

,8恰是下列三个方程的根:

点点文化

2110121

1

3124

xxx



,3(2y+1)=2(1+y)+3(y+3),

112

(1)(1)

223

zzz









,则

xz

yx



的值为()

A.-

171

40

;B.-

347

80

;C.

71

220

;D.

142

55

.

14．图22是中国古代著名的“杨辉三角形”的示意图．图中填入的所有数的总和等于

()

A．126．B．127．C．128．D．129．

15．在自然数：1，2，3，4，5，…中，前15个质数之和的负倒数等于()

A.-

1

328

;B.-

1

329

;C.-

1

337

;D.-

1

340

.

二、填空题（每题1分，共15分）

1．若a＞0，在-a与a之间恰有1993个整数，则a的取值范围是______．

2．如果相邻的两个正整数的平方差等于999，则这两个正整数的积等于______．

3.

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)

(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)





=_________.

4．一辆公共汽车由起点站到终点站（这两站在内）共途经8个车站。已知前6个车站

共上车100人，除终点站外前面各站共下车80人，则从前6站上车而在终点站下车的乘客共

有______．

5．(32-22)2+(42-32)2+(52-42)2+(62-52)2=______．

6．在多项式1993umvn+3xmyn+u3mv2n-4xn-1y2m-4（其中m，n为正整数）中，恰有两项是同类

项，则m·n=______．

7．若a，b，c，d为整数，(a2+b2)(c2+d2)=1993，则a2+b2+c2+d2=______．

8.方程

1111

11111993

2222

x





















的根是x=____________.

9.(-1)÷

199393

931919









=______.

点点文化

10．甲、乙两个火车站相距189公里，一列快车和一列慢车分别从甲、乙两个车站同

时出发，相向而行，经过1.5小时，两车相遇，又相距21公里，若快车比慢车每小时多行

12公里，则慢车每小时行______公里．

11．在等式y=kx+b中，当x=0时，y=2；当x=3时,y=3,则

2b

k

=______.

12.满足不等式

221

23

xx



的所有非负整数的乘积等于_______.

13.有理数a,b,c,d使

abcd

abcd

=-1,则

abcd

abcd

的最大值是_______.

14．△ABC是等边三角形，表示其边长的代数式均已在

图23中标出,则

22

22

27

1

40

2

xy

xy





•







=_________.

15．有人问一位老师：他教的班有多少学生．老师说：“一半学生在学数学，四分之

一的学生在学音乐，七分之一的学生在念外语，还剩不足六位学生正在操场踢足球．”则

这个“特长班”共有学生______人．

答案与提示

一、选择题

1．D2．C3．D4．D5．B6．A7．D8．B9．C10．A11．C12．A13．B

14．B15．A

提示：

若a=1，m=3排除A，若a=-1，m=-3排除B．

=

=1993-1992+[1993-(-1)]=1+1994=1995，选C．

点点文化

3．因a＜b所以a-b＜0，此时|a-b|=b-a．

所以(a-b)|a-b|=(a-b)(b-a)=-(a-b)(a-b)=-(a-b)2，选D．

的是B．

7．当a=0，显然A，B，C，均不正确，应排除，所以选D．事确上，对任意有理数a，

都有(a-1993)2≥0，所以(a-1993)2+0.001＞0是正数．

9．b=1＞0，a=2＞0，ab=2×1=2＞1=b，排除A；a＜0，b＜0，ab＞0＞b，排除B；a=0，

b＜0，ab=0＞b排除D，因此选择C．

10．容易看出a，b，c均为负数，我们看|a|，

点点文化

11．由(a-b)3＜0，得出a-b＜0．即a＜b．

∵a，b＜0，∴|a|＜|b|，选C．

12．M=(a+b)2，N=a+b2．

M-N=(a+b)2-(a+b2)=a2+2ab+b2-a-b2=a2+2ab-a．

14．第1行只有1=20，第2行1+1=2=21，

第3行1+2+1=4=22，第4行1+3+3+1=8=23，

第5行1+4+6+4+1=16=24，

第6行1+5+10+10+5+1=32=25

第7行1+6+15+20+15+6+1=64=26．

图中填入所有数之和为1+2+4+8+16+32+64=127，选B．

二、填空题

点点文化

提示：

1．在-a与a之间的整数为2n+1个．所以由2n+1=1993知，n=996，即996≤a＜997．

2．相邻的两个正整数设为n与n+1，则由(n+1)2-n2=2n+1=999得n=499，n+1=500．

相邻的两个正整数的积为499×500=249500．

4．设第1站到第7站上车的乘客依次为a

1

，a

2

，a

3

，a

4

，a

5

，a

6

，a

7

．第2站到第8站下车

的乘客依次为b

2

，b

3

，b

4

，b

5

，b

6

，b

7

，b

8

显然应有a

1

+a

2

+a

3

+a

4

+a

5

+a

6

+a

7

=b

2

+b

3

+b

4

+b

5

+b

6

+b

7

+b

8

．

已知a

1

+a

2

+a

3

+a

4

+a

5

+a

6

=100，b

2

+b

3

+b

4

+b

5

+b

6

+b

7

=80．

表明从前6站上车而在终点站下车的乘客共20人．

5．原式=52+72+92+112=276．

6．若1993umvn与u3mv2n为同类项．只能m=0且n=0．与已知条件不合，所以只能3xmyn与

-4xn-1y2m-4为同类项．于是得m=n-1，n=2m-4．解得m=5，n=6，所以mn=30．

7．由于1993是质数，a2+b2，c2+d2是1993的约数，只能a2+b2=1，c2+d2=1993，或a2+b2=1993，

c2+d2=1，所以a2+b2+c2+d2=1+1993=1994．

点点文化

所有非负整数解的积=0．

14．由2x-8=x+6，解得x=14．所以正三角形边长为14+6=20．

由3y+2=20，解得y=6，所以

15．设这个班共有学生x人．在操场踢足球的学生共a人，依条件，x，a都是自然数，

且1≤a＜6．

根据题意列方程如下：

合并同类项，移项得

因为a，x均为自然数，(3，28)=1所以3|a．

但a只能取1，2，3，4，5这五个数，所以a=3．因此x=28．

点点文化

答：这个班共有28名学生．

希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题

一、选择题:（每题1分，共10分）

1.

1111

0.10.010.0010.0001



的值是()

A．-11110．B．-11101．C．-11090．D．-11909．

2．一滴墨水洒在一个数轴上，根据图24中标出的

数值，可以判定墨迹盖住的整数个数是()

A．285．B．286．C．287．D．288．

3．a，b都是有理数，代数式a2+b2，a2-b2，(a-b)2，

(a+b)2，a2b2+1，a3b+1，a2+b2+0.1，2a2+3b4+1中，其值为正的共有()

A．3个．B．4个．C．5个．D．6个．

4．a，b，c在数轴上的位置如图25所示,则下列代数式中其值为正的一个是

()

A.

1

()aac

b









;B.

11

()ca

bc









;C.(1-a)(c-b);(1-bc).

5．1993+9319的末位数字是()

A．2．B．4．C．6．D．8．

6．今天是4月18日，是星期日，从今天算起第19933天之后的那一天是()

A．星期五．B．星期六．C．星期日．D．星期一．

7．n为正整数，302被n(n+1)除所得商数q及余数r都是正值．则r的最大值与最小值的

和是()A．148．B．247．C．93．D．122．

点点文化

8．绝对值小于100的所有被3除余1的整数之和等于()

A．0．B．-32．C．33．D．-33．

9．x是正数，表示不超过x的质数的个数，如=3．即不超过5.1的质数有2，3，

5共3个．那么<++××>的值是()

A．12．B．11．C．10．D．9．

10．如图26是一个长为a，宽为b的矩形．两个阴影图形都是一对长为c的底边在矩形

对边上的平行四边形．则矩形中未涂阴影部分的面积为()

-(a+b)c．B．ab-(a-b)c．C．(a-c)(b-c)．D．(a-c)(b+c)．

二、填空题（每题1分，共10分）

1．在1993.4与它的负倒数之间共有a个整数．在1993.4与它的相反数之间共有b个整

数,在-

1

1993.4

与它的绝对值之间共有c个整数,则a+b+c=_________.

2．设a=1÷2÷3÷4，b=1÷(2÷3÷4)，c=1÷(2÷3)÷4，d=1÷2÷(3÷4)，则(b÷

a)÷(c÷d)=______．

3．两个同样的大小的正方体形状的积木．每个正方形上相对的两个面上写的数之和

都v等于-1，现将两个正方体并列放置．看得见的五个面上的数字如图27所示，则看不见

的七个面上的数的和等于______．

4．计算:

777777777

111111111

123456789

9999999

1111111

1234567









•









=__________.

是一个五位自然数,其中a,b,c,d，e为阿拉伯数码，且a＜b＜c＜d，则

|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|的最大值是______．

点点文化

6．连续的1993个自然数之和恰是一个完全平方数．则这1993个连续自然数中最大的

那个数的最小值是______．

7．某次竞赛满分为100分，有六个学生的得分彼此不等，依次按高分到低分排列名

次．他们六个人的平均分为91分，第六名的得分是65分．则第三名的得分至少是______分．

8.计算:

2

22

19931992

319932

=________.

9．若a，b，c，d为非负整数．且(a2+b2)(c2+d2)=1993．则a+b+c+d=______．

10．有甲、乙、丙、丁四位同学去林中采蘑菇．平均每个采得蘑菇的个数约是一个十

位数字为3的两位数,又知甲采的数量是乙的

4

5

,乙采的数量是丙的

3

2

倍,丁比甲多采了3个

蘑菇,则丁采蘑菇______个.

三、解答题（在试卷背面写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共10分）

1．如图28，十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形（其中有三个小

正方形的边长已标出字母x，y，z）．试求满足上述条件的矩形的面积最小值．

2．你能找到三个整数a，b，c，使得关系式(a+b+c)(a-b-c)(a-b+c)(b+c-a)=3388成

立吗？如果能找到，请举一例，如果找不到，请说明理由．

答案与提示

一、选择题

1．C2．C3．A4．A5．C6．B7．A8．D9．B10．C

提示：

=10-100-1000-10000=-11090．选C．

2．在-109.2与-11.9之间最小整数是-109，最大整数是-12．共计包含

(-12)-(-109)+1=98个整数．在10.5与199.5之间包含最小整数是11，最大整数是199．共

计包含199-11+1=189个整数．因此墨水共盖住98+189=287个整数．选C．

3．当a=b=0时，a2+b2，a2-b2，(a-b)2，(a+b)2取值为0，而当a=-1，b=1时a3b+1=0．因

点点文化

此对任意有理数a，b其值为正的只有a2b2+1，a2+b2+0.1，2a2+3b4+1，共3个选A．

ac(1-bc)＜0，所以选A．

5．1993=194×23+1，9319=934×4+3

所以1993与191的末位数相同是9、9319与933末位数字相同是7．因此1993+9310末位数字是

9+7=16的末位数字6，选C．

6．19933=(284×7+5)3=(284×7)3+3×(287×7)2×5+3(287×7)×52+125．

所以19933被7除的余数与125被7除的余数相同，125=7×7+6．所以19933被7除余数为

6．从4月18日星期日数起，每到第十天就是星期六，如4月24日是星期六，因此19933-6恰

是星期六，再往后数6天，19933天是星期五．而19933天之后的那一天应是星期六，选B．

7．n(n+1)为偶数．设302被n(n+1)除商q余r，则302=n(n+1)q+r知，r为偶数．显然B、

C均应排除．由除数n(n+1)只能取6，12，20，30，42，56，72，90，110，132，156，182，

210，240，272这些值，计算得相应的余数中最小的正值为2，最大正值为146．所以r的正

的最小值与最大值的和是148．选A．

8．即求-100与100之间被3除余1的整数之和，在0到100之间被3除余1的整数是1，4，

7，…91，94，97共计33个．在-100到0之间被3除余1的整数是-98，-95，-92，-89，…-8，

-5，-2．共33个其总和为-33．选D．

9．为不超过19的质数，有2，3，5，7，11，13，17，19共8个．为不超过93

的质数，共24个，易知=0．所以<++××

>=<+>===11，选B．

10．解①大矩形面积为ab，两个阴影平行四边形面积分别为ac与bc．重叠部分面积为

c2，所以未涂阴影部分面积为ab-ac-bc+c2=(a-c)(b-c)，选C．

解②将阴影部分等积变形如图29，两个阴影平行四边形面积及二者重叠部分面积(c2)

均未改变．易见，未涂阴影部分面积为空白矩形的面积，是(a-c)(b-c)，选C．

点点文化

二、填空题

提示：

1994个整数，a=1994。在1993.4与它的相反数-1993.4之间有2×1993+1=3987个整数，

3987=1=5982．

3．由于正方体上相对两个面上写的数之和都等于-1．所以每个正方体六个面上写的

数之和等于-3．两个正方体共十二面上写的数之总和等于-6．而五个看得见的面上的数之

和是1+2+3+4+5=15．因此，看不见的七个面上所写数的和等于

(-6)-15=-21．

5．若a＜b＜c＜d≤e时

|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|=(b-a)+(c-b)+(d-c)+(e-d)=e-a．当e=9，a=1时取最大值

点点文化

为8．

若a＜b＜c＜d，且d＞e时．

|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|=(b-a)+(c-b)+(d-c)+(d-e)=2d-a-e．当d=9，a=1，e=0时，

取最大值17．所以|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|的最大值是17．

6．设这连续的1993个自然数为

x-996，x-995，…，x-1，x，x+1，x+2，…，x+995，x+996．显然．x-996≥1，即x

≥997．这1993个连续自然数之和设为σ．

则σ=1993x，要求σ为完全平方数，而1993又是质数，x的最小值为1993．此时，1993

个连续自然数中最大的那个数x+996=1993+996=2989，即当σ为完全平方数时，1993个连

续自然数中最大的那个数的最小值是2989．

7．设六个人的成绩依次为x

1

，x

2

，x

3

，x

4

，x

5

，x

6

．则65=x

6

＜x

5

＜x

4

＜x

3

＜x

2

＜x

1

≤100．

∴x

1

+x

2

+x

3

+x

4

+x

5

=546-65=481．

要使x

3

最小，必须x

1

，x

2

尽可能大，x

4

，x

5

尽可能接近x

3

，所以当x

1

=100，x

2

=99，x

4

=x

3

-1，

x

5

=x

3

-2时，x

3

取最小值，即100+99+x

3

+(x

3

-1)+(x

3

-2)=481．

3x

3

=481-100-99+3=285．x

3

=95．

答：第三名的得分至少是95分．

9．因为1993是质数，a2+b2与c2+d2都是正整数，所以a2+b2与c2+d2分别取值1与1993（参

见第一试填空第7题解答）．为确定起见；，不妨设a2+b2=1，c2+d2=1993．

(1)a2+b2=1．推知a＝0，b=1或a=1，b=0，因此a+b=1．

(2)c2+d2=1993．

点点文化

若c≤31，d≤31，则c2+d2≤2×312=2×961=1922＜1993．所以c，d中至少有一个大于

31．又由于442=1936＜1993，故设c为c，d中较大的一个，则32≤c≤44．

我们依次取c=44，43，42，41，…，33，32试算如下：

其中1933-c2的结果中，只有144=122为完全平方数，即432+122=1993，所以c=43，d=12

或c=12，d=43．因此，c+d=55．

所以a+b+c+d=1+55=66．

一个近似为首位的是3的两位整数．因此，由近似数的表示有

23.5…≤x≤31.5…

因x是整数，x只能从24，25，26，27，28，29，30，31中选取．

因此只能有x=30，即丙采30个蘑菇．

点点文化

此时，乙采45个蘑菇，甲采36个蘑菇，因此丁采39个蘑菇．

舍五入，约为38是个十位数是3的两位

数．

三、解答题

1．如图30已有三个小正方形的边长为x，y，z，我们通过x，y，z表示其余正方形的

边长依次填在每个正方形中，它们是x+y，x+2y，x+3y，4y，x+7y，2x+y，2x+y+z，4x+4y-z，

4x+4y-2x，及5x-2y+z．因矩形对边相等。所以得11x+3y=7x+16y-z及8x+8y-3z=6x+5y+z

化简上述的两个方程得到z=13y-4x，4z=2x+3y．消去z得18x=49y．

因为18与49互质，所以x、y的最小自然数解是x=49，y=18，此时z=38．

以x=49，y=18，z=38代入矩形长、宽的表达式11x+3y及8x+8y-3z，得长、宽分别为593

和422．此时得最小面积值是593×422=250246．

2．答：找不到满足条件的三个整数理由如下：

如果存在整数a，b，c，使(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388成立．

因为3388是偶数，则左边四个因子中至少有一个是偶数．

不妨设a+b+c为偶数,则a-b+c=(a+b+c)-2b为偶数．

同理a+b-c=(a+b+c)-2c为偶数．b+c-a=(a+b+c)-2a为偶数．

因此(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)能被16整除，而3388不能被16整除，得出矛盾．

故不存在三个整数a，b，c满足关系式

(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388．

希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题

一、选择题（每题3分，共30分）以下每题的四个结论中，仅有一个是正确的．

1．-│-a│是()

A．正数B．负数.C．非正数D．0.

点点文化

2．在下面的数轴上(图1)，表示数(2)(5)的点是()

A．MB．N.C．PD．Q

3.

1994

1994





的值的负倒数是()

A.4

1

3

;B.-

3

13

;C.1;D.-1.

4.

3

4556677889910









=()

A．5.5B．5.65.C．6.05D．5.85

5．-4×32-(-4×3)2=()

A．0B．72.C.180D．108

6.x的

4

5

与

1

3

的差是()

A.

41

53

xx

;B.

41

53

x

;C.

41

()

53

x

;D.

5

3

4

x

.

7．n是整数，那么被3整除并且商恰为n的那个数是()

A.

3

n

;B.n+3;C.3n;D.n3.

8．如果x∶y=3∶2并且x+3y=27，则x，y中较小的是()

A．3B．6.C．9D．12

9.200角的余角的

1

14

等于()

A.

03

1

7







;B.

03

11

7







;C.

06

7

7







;D.50.

10.

11

(7)7

77









=()

A．1B．49.C．7D．7

二、A组填空题（每题3分，共30分）

1．绝对值比2大并且比6小的整数共有______个．

2．在一次英语考试中，某八位同学的成绩分别是93,99,89,91,87,81,100,95，则他

点点文化

们的平均分数是______．

3．||||1992-1993|-1994|-1995|-1996|=______．

4．数：-1.1,-1.01,-1.001,-1.0101,-1.00101中最大的一个数与最小的一个数的比

值是______．

5.

111111

1



=________.

6．在自然数中，从小到大地数，第15个质数是N,N的数字和是a，数字积是b,则

22ab

N



的值是__________.

7．一年定期储蓄存款，月利率是0.945%．现在存入100元，则明年的今日可取得本金

与利息共______元．

8．若方程19x-a=0的根为19-a，则a=______．

9.当丨x丨=x+2时,19x94+3x+27的值是__________.

10．下面有一个加法竖式，其中每个□盖着一个数码，则被□盖住的七个数码之和等

于______．

三、B组填空题（每题4分，共40分）

1．已知a,b是互为相反数，c,d是互为负倒数，x的绝对值等于它的相反数的2倍，则

x3+abcdx+a-bcd的值是______．

2．1992×19941994-1994×19931993=___．

按上表中的要求,填在空格中的十个数的乘积是_______．

4．在数码两两不等的所有的五位数中，最大的减去最小的，所得的差是______．

5．已知N=1992×1993×1994+1993×1994×1995+1994×1995×1996+1995×1996×

1997，则N的末位数字是______．

6．要将含盐15%的盐水20千克，变为含盐20%的盐水，需要加入纯盐______千克．

点点文化

7．一次考试共需做20个小题,做对一个得8分，做错一个减5分，

不做的得0分．某学生共得13分．那么这个学生没有做的题目有______个．

8．如图2．将面积为a2的小正方形与面积为b2的大正

方形放在一起(a＞0,b＞0)．则三角形ABC的面积是_______．

9．在1到100这一百个自然数中任取其中的n个数．要使这几个数中至少有一个合数，

则n至少是______．

10．如图3，是某个公园ABCDEF，M为AB的中点，N为CD的中点，

P为DE的中点，Q为FA的中点，其中游览区APEQ与BNDM的面积和

是900平方米，中间的湖水面积为361平方米，其余的部分是草地，

则草地的总面积是______平方米．

答案·提示

一、选择题

提示

1．若a=0,则-│-a│=0,排除(A),(B)．

若a≠0,-│-a│≠0,排除(D)．

事实上对任意a，|-a|≥0,∴-|-a|≤0．即-|-a|为非正数．

2．(-2)-(-5)=-2+5=3．在数轴上对应的是点P．

5．原式=-4×9-(-4×3)×(-4×3)=-36

(-12)×(-12)=-36-144=-180．

点点文化

7．被3整除的商恰好为n的数是3n．

8．由x∶y=3∶2得x=1.5y,代入x+3y=27得4.5y=27,于是y=6,x=9,所以x,y中较小的那

个数是6．

二、A组填空题

提示：

1．绝对值比2大而比6小的整数共有-5,-4,-3,3,4,5共6个．

3．|1992-1993|=1,||1992-1993|-1994|=1993．

|||1992-1993|-1994|-1995|=|1993-1995|=2．

∴||||1992-1993|-1994|-1995|-1996|=|2-1996|=1994．

4．数-1.1,-1.01,-1.001,-1.0101,-1.00101中最

6．在自然数列中,质数由小到大依次排列是

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,……,第15个质数N=47,其数字和a=11,数

字积b=28,所以

点点文化

7．本金100元,一年的利息是100×0.945%×12=11.34元

一年到期取的本金与利息之和是111.34元．

8．因为19-a是方程19x-a=0的根,所以19-a满足方程19x-a=0,即19(19-a)=0,解得

a=18.05．

9．由|x|=x+2,显然|x|≠x,只能|x|=-x．

得-x=x+2,于是x=-1．

当x=-1时,

19x94+3x+27|

x=1

=19(-1)94+3(-1)+27=19-3+27=43．

10．显然，加数的百位数码都是9，千位数码也都是9，个位数码之和是14，和的千位

数码是1，所以被□盖住的数字之和等于1+9+9+9+9+14=51．

三、B组填空题

提示：

1．a,b互为相反数,所以a+b=0,c、d互为负倒数,所以cd=-1．x的绝对值等于它的相反

数的2倍,可得x=0．

∴x3+abcdx+a-bcd=0+0+a-b(cd)=a+b=0．

2．1992×19941994-1994×19931993

=1992×1994×10001-1994×1993×10001

=1994×10001×(1992-1993)

=1994×10001=-19941994

所以按表中要求填入的十个数之积是五个-1相乘，其积为-1．

4．在五个数码两两彼此不等的五位数中，最大的一个是98765，最小的一个是10234，

它们的差是98765-10234=88531．

5．1992×1993×1994的末位数字与2×3×4的末位数字相同,等于4．容易看出其余三

个乘式中每一个都有因子2和因子5,所以1993×1994×1995,1994×1995×1996,1995×

点点文化

1996×1997的末位数字都是0．所以N的末位数字是4．

6．20千克盐水中含纯盐20×15%千克,设加入x千克的纯盐后盐水浓度变为20%,则

20×15%+x=(20+x)×20%解得：x=1.25（千克）．

7．设该生做对x个题,做错y个题,没做的是z个题,则

x+y+z=20,z=20-(x+y)=13+13y=13(1+y)

又8x-5y=13

∴8(x+y)=8x+8y=13+13y=13(1+y)

∵(13,8)=1,∴13|(x+y)．又0＜x+y≤20

∴x+y=13,z=20-13=7．

8．延长大、小正方形的边交成一个矩形（图4），其面积为(a+b)×b，△ABC的面积

等于这个矩形面积减去外围三个直角三角形的面积，即

9．在1100这100个自然数中，容易数出来共有25个质数，不有1既不是质数也不是

合数，所以，在最坏的情况下，拿到这26个非合数之后，只要拿一个数，必然会出现一个

合数，因此要保证多少取出一个合数，必须至少取27个数，所以n至少是27．

10．连接AD、AE、DB（图5）．

根据一个三角形的中线平分这个三角形的面积,可知：

△EQA面积=△EQF面积

△AEP面积=△ADP面积

△DBM面积=△DAM面积

△BND面积=△BNC面积

上述四个等式相加,可知:游览区APEQ与BNDM的面积之和恰等于△EQF、△BNC，四边形

APDM的面积之和．因此，草地和湖水的面积之和恰为900平方米，其中湖水面积为361平方

米，所以草地面积是900361=539平方米．

点点文化

希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题

二、填空题:（每题4分，共40分）

1．

2．在1,2,3…,N这前N个自然数中,共有p个质数,q个合数,m个奇数,n个偶数,则

(p-m)+(q-n)=______．

4.一个六位数2abcde的3倍等于9abcde,则这个六位数是_______________.

5．某缝纫师做成一件衬衣、一条裤子、一件上衣所用的时间之比为1∶2∶3．他用十

个工时能做成2件衬衣、3条裤子和4件上衣．那么他要做成14件衬衣、10条裤子和2

件上衣，共需______工时．

6．若p,q都是质数,以x为未知数的方程px+5q=97的根是1,则p

2

-q=______．

7．n是自然数,我们称n的非0数字的乘积为n的“指标数”，如1的指标数是1，27的指

标数是14，40的指标数为4，则1～99这九十九个自然数的指标数的和是______．

9．我们用表示不超过正数x的质数的个数,如=2,=4等等．那么式子<

×->=______．

10．电子跳蚤落在数轴上的某点k

0

,第一步从k

0

向左跳1个单位到k

1

,第二步由k

1

向右跳

2个单位到k

2

,第三步由k向左跳3个单位到k

3

,第四步由k

3

向右跳4个单位到k

4

,…,按

以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k

100

所表示的数恰是19.94．则电

子跳蚤的初始位置k

0

点所表示的数是______．

三、解答题:（每题10分，满分20分）

1．在矩形ABCD中,放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图9所示．

试求图中阴影部分的总面积(写出分步求解的简明过程)

点点文化

2．(1)现有一个19°的“模板”（图10），请你设计一种办法，只用这个“模板”和

铅笔在纸上画出1°的角来．

(2)现有一个17°的“模板”与铅笔，你能否在纸上面画出一个1°的角来？

(3)用一个21°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来？

对(2)、(3)两问，如果能，请你简述画法步骤，如果不能，请你说明理由．

答案·提示

一、选择题

提示：

二、填空题

提示：

2．p+q=N-1,m+n=N．则(p-m)+(q-n)=p-m+q-n=(p+q)-(m+n)=(N-1)-N=-1．

3．因为个位是23个3的和23×3=69的末位数是9，向十位进6．

十位是22个3之和22×3=66，再加上个位进上来的6，得72，所以十位数是2，向百位进

7．

百位是21个3之和21×3=63，再加上十位进上来的7，得70，所以百位数是0，向千位进

7．千位数是20×3=60，再加上百位进上来的7，得67，所以千位数字为7．

所得四位数是7029．

这个六位数是285713．

5．设缝纫师做一件衬衣的时间为x，则一条裤子的时间为2x，做一件上衣用时为3x．

点点文化

由于十个工时完成2件衬衣、3条裤子、4件上衣，即2x+3×(2x)+4×(3x)=10(工时)．

即20x=10(工时)，则完成2件上衣、10条裤子、14件衬衣共需：

2×(3x)+10×(2x)+14x=40x=20(工时)

6．因为1为方程px+5q=97的根，所以p+5q=97．p与5q必有一个是奇数，另一个是偶数．

若p为奇数，5q为偶数，只能q为偶质数2，此时p=97-5×2=87=3×29，与p为质数的条

件不符．所以只能p为偶质数2，5q=95，q=19．

∴p

2

-q=4-19=-15．

7．1～9的指标数之和为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45

10～19的指标数之和为1+1+2+3+4+5+6+7+8+9=46

20～29的指标数之和为2×(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=2×46

30～39的指标数之和为3×(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=3×46

40～49的指标数之和为4×(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=4×46

50～59的指标数之和为5×(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=5×46

60～69的指标数之和为6×(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=6×46

70～79的指标数之和为7×(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=7×46

80～89的指标数之和为8×(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=8×46

90～99的指标数之和为9×(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=9×46

所以1～99的指标数之和为45+(1+2+3+4+5+6+7+8+9)×46=45×47=2115

．

9．由定义知,=15,=3,=4．

∴<×->===13．

10．设k

0

点所对应的数为x,则

(x-1)+2-3+4-5+6-，…，-99+100=19.94即x+50=19.94

∴x=-30.06．

三、解答题

1．解：设小长方形的长为x，宽为y，依图11可见，

x+3y=14①

x+y-2y=6,即x-y=6②

①-②得4y=8，y=2，代入②得x=8．

因此，大矩形ABCD的宽AD=6+2y=6+2×2=10．

点点文化

矩形ABCD面积=14×10=140(平方厘米)．

阴影部分总面积=140-6×2×8=44(平方厘米)．

2．解：(1)在平面上取一点O，过O点画一条直线AOB，以19°模板顶点与O重合，一边

与OB射线重合，另一边落在射线OB

1

，仍以O为顶点，角一边重合于OB

1

，另一边落在射

线OB

2

，…，这样做出19个19°的角，其总和为361°，∠BOB

19

就是1°角．

(2)利用17°角的模板，要画出1°的角，关键在于找到整数m和n，使得17×m-180×

n=1．

事实上17×53-180×5=901-900=1．所以做法如下：

在平面上任取一点O，过O点画直线AOB，以OB为始边、O为顶点，反时针方向依次画53

个17°的角，设最后的终边为OB

53

，而5×180°的终边在OA射线，这时∠AOB

53

即为1°

的角．

(3)若用21°的模板可以画出1°的角，则存在整数m，n，使得21°×m-180°×n=1°

希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题

一、选择题:

1.有理数-

95

19a

的值一定不是[]

A．19．B．-19．C．0．D．1．

2.方程1-19x=

1

19

的根是[]

A.0;B.

18

361

;C.

1

19

;D.

1

361

.

3．若a＜0，则下列结论中不成立的是[]

A．a

2

=(-a)

2

．B．a

3

=(-a)

3

．C．a

2

=│a

2

│．D．a

3

=-│a

3

│．

4．下面的数轴上(图1)，表示(-5)÷│-2│的值的点是[]

点点文化

A．P．B．Q．C．M．D．N．

5．如果由四舍五入得到的近似数是35，那么在下列各数中不可能是真值的数是[]

A．34.49．B．34.51．C．34.99．D．35.01．

6．如果a、b均为有理数，且b＜0，则a，a-b，a+b的大小关系是[]

A．a＜a+b＜a-b．B．a＜a-b＜a+b．C．a+b＜a＜a-b．D．a-b＜a+b＜a．

7．如图2，∠AOB=180°，OD是∠COB的平分线，OE是∠AOC的平分线，设∠DOB=a，则

与a的余角相等的角是[]

A．∠COD．B．∠COE．C．∠DOA．D．∠COA．

8．在绝对值小于1000的整数中，完全平方数的个数是[]

A．62．B．63．C．32．D．31．

9.计算:

0.10.20.30.40.50.60.70.80.9





=[]

A.

1

9

;B.1

1

9

;C.-

1

9

;D.-1

1

9

.

10．已知A=a

2

+b

2

-c

2

，B=-4a

2

+2b

2

+3c

2

，若A+B+C=0，则C=[]

A．5a

2

+3b

2

+2c

2

．B．5a

2

-3b

2

+4c

2

．C．3a

2

-3b

2

-2c

2

．D．3a

2

+b

2

+4c

2

．

二、A组填空题

1．计算(-0.125)

7

·8

2

=_____．

2．计算(-11)-(-22)-(-33)-(-44)-(-55)-(-66)=_____．

3．由0.03096四舍五入精确到万分位得近似数的有效数字是_____．

4．a、b为有理数．则表中空格内应填的数是_____．

5．在下表所填的16个数中，最大的一个数是_____．

点点文化

6.

计算

:

227230

1313









=_______.

7．若a被1995除，所得的余数是2，则-a被1995除，所得的余数是_____．

8．a、b、c在数轴上的位置如图3所示．则在

111

,,

abcbac

中,最大的是

____________.

9．如图4，O为圆心，半径OA=OB=r，∠AOB=90°，点M在OB上，OM=2MB，用r的式子表

示阴影部分的面积是_____．

10.如果a=-2,则在-3a,4a,

24

a

,a2,1这五个数中,

值最大的是________.

三、B组填空题

1．在数轴上，点A、B分别表示有理数a、

b,原点O恰是AB的中点,则1995a×

26

3b

的值是_____.

2．某次测验共20道选择题、答对一题记5分，答错一题记-2分，不答记0分，某同学得

48分，那么他答对的题目最多是_____个．

3.计算:

1111

(2345)

2345



•





=_______.

4．ABCD和EBFG都是正方形，尺寸如图5所示，则阴影部分的面积是_____(cm

2

)．

5．a与b是相邻的两个自然数，则a、b的最大公约数与最小公倍数之和等于_____．

6.若丨x-y+3丨与丨x+y-1995丨互为相反数,则

2xy

xy





的值是_____________.

7．120的所有是合数但不是奇数的正约数的和等于_____．

8．如图6给出的乘法竖式中，四个方块盖住的四个数字之和的最大值是_____.

答案·提示

一、选择题

提示：

点点文化

5．由于34.51，34.99，35.01四舍五入的近似值都可能是35，而只有34.49不可能是真

值，选(A)．

6．因为b＜0，所以a+b＜a＜a-b，选(C)．

7．∵∠AOC+∠COB=180°

,即∠COE+∠BOD=90°∠COE=90°-∠BOD=90°-a

∴选(B)．

8．在绝对值小于1000的整数中，共计1999个整数，其中-1999，-1998，…，-2，-1，

这999个负整数都不能写成整数的平方。因此可以写成整数的平方的数只能在0，1，

2，…，998，999这一千个整数中去找。0=0

2

，1=1

2

，4=2

2

，…，961=31

2

。共计32个，

选(C)．

10．∵A+B+C=0

∴C=-A-B=-(a

2

+b

2

-c

2

)-(-4a

2

+2b

2

+3c

2

)

点点文化

=-a

2

-b

2

+c

2

+4a

2

-2b

2

-3c

2

=3a

2

-3b

2

-2c

2

.选(C)．

二、A组填空题

提示：

1．(-0.125)

7

·8

8

=(-0.125)

7

·8

7

·8=(-0.125×8)

7

·8=-8

2．(-11)-(-22)-(-33)-(-44)-(-55)-(-66)

=(-11)+22+33+44+55+66

=(-22)+(11+22+33+44+55+66)

=(-22)+11(1+2+3+4+5+6)

=(-22)+11×21==(-22)+231=209

3．0.03096四舍五入精确到万分位所得近似值是0.0310，有效数字是3、1、0．

4．由表可见，a+b=-49，a-b=-97

解得a=-73，b=24

5．表中所填的数都是负数，应该以绝对值最小的其值最大，可按行比较．

第一行最大者为-1.1，第二行最大者为-1.001，

第三行最大都为-1.01，第四行最大都为-1.0101．

在-1.1、-1.001、-1.01、-1.0101中最大者为-1.001，所以全表16个数中最大者为-1.001

7．设a被1995除商q余2，则a=1995×q+2-a=1995×(-q)-2=1995×(-q)-1995+1993

即-a=1995×[(-q)-1]+1993

∴-a被1995除的余数是1993．

8．由图3可见，0＞c＞b＞a．

于是a-b＜0，c-b＞0，a-c＜0．

点点文化

所以a=-2时，所给五个单项式的值最大的是6．

三、B组填空题

提示：

1．在数轴上，有理数a与b对应的点A与B满足原点O是线段AB的中点。则a+b=0

2．设小明答对x题，答错y题，没答z题

则x+y+z=20①

5x-2y=48②

②+2×①得7x+2z=88

4．从图5中观察易知，阴影的面积是正方形ABCD面积的一半，

5．a、b为两个相邻的自然数，它们的最大公约数为1，所以a、b的最小公倍数为ab．

因此，a、b这两个相邻自然数的最大公约数与最小公倍数之和等于ab+1．

7．120的正约数共有1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120

点点文化

计有16个，其中是合数但不是奇数的正约数有4，6，8，10，12，20，24，30，40，60，

120共11个，它们的和是4+6+8+10+12+20+24+30+40+60+120=334

8．设四个方块中所有数字为a，b，c，d,

即因乘积是两位数，所以断定a=1．

又由于乘数为5，所以d=0或5，即d的最大值是5，又b≤9，c≤d

∴a+b+c+d≤1+9+9+5=24

而事实上1+9+9+5=24，表明24是可达到的．

所以四个方块盖住的四个数字之和的最大值是24．

9．设步行所用时间为t小时，则乘汽车用1-t小时，依题意列方程如下：

36×(1-t)+4×t=28解得t=0.25

答步行所用时间为0.25小时。

10．a，b，c均为整数，则a-b，c-a也为整数，│a-b│

19

，│c-a│

95

为两个非负整数，

其和为1

只能│a-b│

19

=0，且│c-a│

95

=1①

或│a-b│

19

=1且│c-a│

95

=0.②

由①a=b且c=a±1

于是│b-c│=│c-a│=1

由②c=a且a=b±1

于是│b-c│=│a-b│=1

无论①或②，都有

│a-b│+│c-a│=1且│b-c│=1

∴│c-a│+│a-b│+│b-c│=2

希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题

一、选择题:

1．若y是正数，且x+y＜0，则在下列结论中，错误的一个是[]

点点文化

A．x

3

y＞0．B．x+│y│＜0．C．│x│+y＞0．D．x-y

2

＜0．

2．已知│a│=-a，则化简│a-1│-│a-2│所得的结果是[]

A．-1．B．1．C．2a-3．D．3-2a．

3．已知a=1995x+1994，b=1995x+1995，c=1995x+1996．那么(a-b)

2

+(b-c)

2

+(c-a)

2

的值等于[]

A．4．B．6．C．8．D．10．

4．用一副学生用的三角板的内角(其中一个三角板的内角是45°，45°，90°；另一

个是30°,60°,90°)可以画出大于0°且小于176°的不同角度的角共有_____种．

[]．

A．8．B．9．C．10．D．11．

5．数轴上坐标是整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随

意画出一条长为1995厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点是[]个．

A．1994或1995．B．1994或1996．C．1995或1996．D．1995或1997．

6．方程1995x+6y=420000的一组整数解(x、y)是[]

A．(61，48723)．B．(62，48725)．C．(63，48726)．D．(64，48720)．

7．某同学到集贸市场买苹果，买每公斤3元的苹果用去所带钱数的一半，而其余的钱

都买了每公斤2元的苹果，则该同学所买的苹果的平均价格是每公斤_____元．

[]

A．2.6．B．2.5．C．2.4．D．2.3．

8．a、b、c的大小关系如图7所示,

则

abbccaabac

abbccaabac







的值是[]

A．-1．B．1．C．2．D．3．

9.设P=-

1

1234512346

,Q=-

1

1234412346

,R=-

1

1234412345

,则P,Q,R,的大小关系是

[]

A．P＞Q＞R．B．Q＞P＞R．C．P＞R＞Q．D．R＞Q＞P．

10．某项球类规则达标测验，规定满分100分，60分及格，模拟考试与正式考试形式相

同，都是25道选择题，第题答对记4分，答错或不答记0分．并规定正式考试中要有

80分的试题就是模拟考试中的原题．假设某人在模拟考试中答对的试题，在正式考

点点文化

试中仍能答对，某人欲在正式考试中确保及格，则他在模拟考试中，至少要得[]

A．80分．B．76分．C．75分．D．64分．

二、填空题

1．计算：1

2

+2-3×4÷5+6

2

+7-8×9÷10=_____．

2．若a+b＜0，则化简│a+b-1│-│3-a-b│的结果是_____．

3．某市举行环城自行车比赛，跑的路线一圈

是6千米,甲车速是乙车速的,在出发后1小时10分钟时,甲,乙二人恰在行进中第二次

相遇,则乙车比甲车每分钟多走_____千米．

4．如图8，两条线段AB、CD将大长方形分成四个小长方形，其中S

1

面积是8，S

2

的面积

是6，S

3

的面积是5．则阴影三角形的面积是_____．

5.若n=

1

32



,则n的负倒数是______.

6．一次数学小测验共有十道选择题，每题答对得3分，答错或不答均扣1分，则这次小

测验的成绩至多有_____种可能的分数．

7．已知p、q均为质数，并且存在两个正整数m,n,使得p=m+n,q=mn,

则

pq

nm

pq

mn





的值为_____.

8．如图9，已知△ABC中，∠C=90°，AC=1.5BC,在AC上取点D,使得AD=0.5BC,量得BD=1cm,

则△ABD的面积是________cm2.

9．若S=15+195+1995+19995+…+

44个9

199995

．则和数S的末四位数字的和是_____．

10．用分别写有数字的四张卡片，，，可以排出不同的四位数，如1234，1342，4231，…

等等共24个，则其中可被22整除的四位数的和等于_____．

三、解答题

1．某班参加校运动会的19名运动员的运动服号码恰是1~19号，这些运动员随意地站成

一个圆圈，则一定有顺次相邻的某3名运动员，他们运动服号码数之和不小于32，请

你说明理由．

2．已知ax+by=7，ax2+by2=49，ax3+by3=133，ax4+by4=406，试求1995(x+y)+6xy-

17

2

(a+b)

点点文化

的值.

答案·提示

一、选择题

提示：

1．∵y＞0，若x≥0则x+y≥0，与x+y＜0矛盾．所以由y＞0，x+y＜0必有x＜0．

因此，x

3

＜0，x

3

y＜0，即(A)是错误的．

事实上，y＞0，x+y＜0，即x+│y│＜0，(B)成立．│x│+y＞0，(C)成立．x＜0，y

2

＞0，x-y

2

＜0，(D)成立．因此，选(A)．

2．∵│a│=-a，∴a≤0．

│a-1│-│a-2│=-(a-1)+(a-2)=-1，选(A)．

3．a-b=(1995x+1994)-(1995x+1995)=-1

b-c=(1995x+1995)-(1995x+1996)=-1

c-a=(1995x+1996)-(1995x+1994)=2

∴(a-b)

2

+(b-c)

2

+(c-a)

2

=(-1)

2

+(-1)

2

+2

2

=6．选(B)．

4．由于15°=45°-30°，所以15°可以画出．因为30°，45°，60°，90°都是15°

的倍数．0°~176°之间度数为15°的倍数的角都可画出．这些不同度数的角共计11

种，它们是：15°，30°,45°,60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，

165°．选(D)．

5．若所画的长为1995厘米的线段的两个端点A与B均为整点时，此时线段AB盖住的整点

个数是1995+1=1996个．若A点不是整点，则B点也不是整点，此时线段AB盖住的整点个

数为1995个，所以长为1995厘米的线段盖住的整点是1995个，所以长为1995厘米的线

段盖住的整点是1995或1996个．选(C)．

6．设x，y均为整数，且满足1995x+6y=420000．

则5│1995x，5│420000，所以5│6y．

但(5，6)=1，因此5│y．所以排除(A)，(C)．对(B)，若(62，48725)满足方程，则

事实上，1995×64+6×48720=420000成立．选(D)．

点点文化

7．设该同学买了3元一公斤的苹果x公斤，2

了x+y公斤苹果，花去了3x+2y=6x元．所以所买的

8．从图9中可见，a＜b＜c且a＜0，b＜0，c＞0

所以a-b＜0，b-c＜0，c-a＞0，ab＞0，ac＜0

所以ab-ac＞0，

=(-1)-(-1)+1+1=2．选(C)．

9．因为12344＜12345＜12346

所以12344×12345＜12344×12346＜12345×12346

即R＜Q＜P．选(A)．

10．设在模拟考试中至少要得x分，则在模拟

点点文化

解得x≥80．即某人欲在正式考试中确保及格，则他在模拟考试中至少要得80分．选(A)．

二、填空题

提示：

1．原式=1+2-3×4÷5+36+7-8×9÷10=3-12÷5+36+7-72÷10=3-2.4+43-7=36.4

2．∵a+b＜0,a+b-1＜0,3-a-b=3-(a+b)＞0

∴│a+b-1│-│3-a-b│=-(a+b-1)-(3-a-b)=-a-b+1-3+a+b=-2

甲、乙二人在行进中第二次相遇，乙要追过甲两圈，所以

解得x=36(千米／小时)，即乙车速36千米／

因此，乙车比甲车每分钟多走

4．如图8，设AB、CD交于O，阴影三角形面积为S，则矩形

点点文化

6．设这次小测验答对x道题，则有10-x道题答错或没答，应得分数

w=3x-(10-x)=4x-10

因此，可能得到的分数为偶数，且不被4整除，又最高得分为满分30分，最低得分为-10

分，在-10~30之间被2整除但不被4整除的数有-10，-6，-2，2，6，10，14，18，22，

26，30共11种可能，容易验证，这11种分数值都是可以取到的．

7．∵q是质数，q=m×n，

所以m，n只能一个为1，另一个为q．

此时p=m+n=1+q，而p又是质数，只能p=3，q=2．

即m，n一个是1，另一个是2．

即△BCD为等腰直角三角形(图10)，四个等腰

9．S=(20-5)+(200-5)+(2000-5)+(20000-5)+…+(-5)

=20+200+2000+20000+…+-5×45=-225

点点文化

所以S的末四位数字的和为1+9+9+5=24

10．在由1，2，3，4组成的24个四位数中，末位数字是1，3的不能被22整除，这样的

数共12个，而其余12个末位数字是偶数，有可能被22整除，它们是

1234，1324，1432，1342，2134，2314，

3124，3412，3142，3214，4132，4312．

由奇位数字和减去偶位数字和之差是11倍数者，原数为11的倍数，可知其中被11整除

的只有1342，2134，3124，4312．即这四个数被22整除，它们的和是

1342+2134+3124+4312=10912

三、解答题

1．证：在圆周上按逆时针顺序以1号为起点记运动服号码数为a

1

，a

2

，a

3

，…，a

18

，

a

19

(图11)，显然a

1

=1，而a

2

，a

3

，…，a

18

，a

19

就是2，3，4，5，6，…，18，19的

一个排列

令A

1

=a

2

+a

3

+a

4

A

2

=a

5

+a

6

+a

7

A

3

=a

8

+a

9

+a

10

A

4

=a

11

+a

12

+a

13

A

5

=a

14

+a

15

+a

16

A

7

=a

17

+a

18

+a

19

则A

1

+A

2

+A

3

+A

4

+A

5

+A

6

=a

2

+a

3

+a

4

+…+a

17

+a

18

+a

19

=2+3+4+…+17+18+19

=189

如果A

1

，A

2

，A

3

，A

4

，A

5

，A

6

中每一个都≤31，则有A

1

+A

2

+A

3

+A

4

+A

5

+A

6

≤6×31=186，

与(*)式矛盾．所以A

1

，A

2

，A

3

，A

4

，A

5

，A

6

中至少有一个大于31．为确定起见，不妨

点点文化

就是A

1

＞31，即a

2

+a

3

+a

4

＞31，但a

2

+a

3

+a

4

是整数，所以必有a

2

+a

3

+a

4

≥32成立．即

一定有顺次相邻的某三名运动员，他们运动服号码数之和不小于32．

说明：本试题来源于一道常见的试题，“将1，2，3，4，…，17，18，19这19个自然

数任意排成一圈，必定能找到相邻的3个自然数，它们之和不小于30．”

其证法是，设这19个数在圆圈排列后依次逆时针顺序是a

1

，a

2

，…，a

18

，a

19

（图12），

则

A

1

=a

1

+a

2

+a

3

A

2

=a

2

+a

3

+a

4

A

3

=a

3

+a

4

+a

5

A

4

=a

4

+a

5

+a

6

……

A

17

=a

17

+a

18

+a

19

A

18

=a

18

+a

19

+a

1

A

19

=a

19

+a

1

+a

2

相加得A

1

+A

2

+…+A

18

+A

19

=3(a

1

+a

2

+…+a

18

+a

19

)

=3×(1+2+3+4+…+17+18+19)

=570

若A

1

，A

2

，…，A

18

，A

19

这19个自然数都小于30，则A

1

+A

2

+…+A

18

+A

19

＜19×30=570

与(*)式矛盾．所以A

1

，A

2

，…，A

18

，A

19

中至少有一个不小于30．为确定起见，不妨

设A

1

≥30，即a

1

+a

2

+a

3

≥30，即一定有顺相邻的3个数，其和不小于30．

但在写数排圈试验中不难发现，总会找到相邻3个数之和大于30，这表明30这个限不是

最好的，我们可以改进到32．要达到这个结果，其一，找三数组的个数减小，平均值

点点文化

可能增大，原来找出19个数三数组，现在我们找出6个，且互不重复，这样，其用到19

个中的18个数，显然有一个数没用在三数组中，这个数只有取a

1

=1时，才能使其余18

个数之和尽可能大．以上这些想法已经包含着非智力因素在内的对问题灵活处理的综

合能力．克报困难意识强，遇事思维开阔的学生，处理本题的能力会表现突出一些．

2．分析：已知ax+by=7，ax

2

+by

2

=49，ax

3

+by

3

=133，ax

4

+by

4

=406．形式很对称，很

容易诱使你将ax+by=7两边平方，再减去ax

2

+by

2

=49，…想利用乘法公式算出xy，但一

试发现此路不通．由于受所作某些训练题型模式的影响，很多同学仍企图走此路，以

致最后陷入死胡同．

事实上，ax+by平方后必出现a

2

x

2

与b

2

y

2

，而ax

2

+by

2

中，a，b都不是平方，这一特点

已经表明利用乘法公式去消项的方法很难走通．应及时转向，通过一项一项表示，往

一起凑这个最基本的方式去做．

解：显然

ax

2

=49-by

2

，by

2

=49-ax

2

ax

3

=49x-bxy

2

，by

3

=49y-ax

2

y

相加得

133=ax

3

+by

3

=49(x+y)-xy(ax+by)

即

49(x+y)-7xy=133

7(x+y)-xy=19①

同理ax

3

=133-by

3

，by

3

=133-ax

3

ax

4

=133x-bxy

3

，by

4

=133y-ax

3

y

相加得

406=ax

4

+by

4

=133(x+y)-xy(ax

2

+by

2

)

即133(x+y)-49xy=406

19(x+y)-7xy=58②

点点文化

由①、②联立，设x+y=u，xy=v

得7u-v=19

19u-7v=58,解得u=2.5，v=-1.5

即x+y=2.5，xy=-1.5

由ax=7-by，by=7-ax

得ax

2

=7x-bxy，by

2

=7y-axy

相加得49=ax

2

+by

2

=7(x+y)-xy(a+b)

所以1.5(a+b)=49-7×2.5

∴a+b=21

此时即可求得

=4987.5-9-178.5=4800

说明：本题虽然所用知识单元块均在初一学过，但解此题需要考生有较强的应变能力

与观察综合能力，并且计算也要很细心，因此本题属于对学生数学素质综合检查的题

目．本题改编自下面的问题“已知ax+by=8，ax

2

+by

2

=22，ax

3

+by

3

=62，ax

4

+by

4

=178，

试求1995(x+y)+6xy之值”．有兴趣的读者不防解一解看．答案是10011．再想一想，

满足题设条件的a与b两数之和a+b等于多少？你能独立地求出a+b之值吗？(答a+b=3)

希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题

一、选择题:

点点文化

1．（－1）－（－9）－（－9）－（－6）的值是()

A．－25.B．7.C．5.D．23

2．方程19x－96=96－19x的解是()

A.0;B.

48

19

;C.

192

19

;D.

96

19

.

3．如果a＜0，则a与它的相反数的差的绝对值是()

A．0B．a.C．－2aD．2a

4．如果一个方程的解都能满足另一个方程，那么，这两个方程()

A．是同解方程.B．不是同解方程.C．是同一个方程.D．可能不是同解方程

5．a、b为有理数，在数轴上如图1所示，则()

A.

1

a

<1<

1

b

;B.

1

a

<

1

b

<1;C.

1

b

<

1

a

<1;D.1<

1

b

<

1

a

.

6．如果x＜－2，那么|1－|1＋x||等于()

A．－2－x.B．2＋x.C．x.D．－x

7．线段AB=1996厘米，P、Q是线段AB上的两个点，线段AQ=1200厘米，线段BP=1050厘

米，则线段PQ=()

A．254厘米B．150厘米.C．127厘米D．871厘米

8.

,

都是钝角,甲,乙,丙,丁计算

1

()

6



的结果依次为500,260,720,900,其中确

有正确的结果,那么算得结果正确者是()

A．甲B．乙C．丙D．丁

9．如果a＞b，且c＜0，那么在下面不等式中:

(1)a+c>b+c;(2)ac>bc;(3)

ab

cc



;(4)ac2>

A．1.B．2.C．3.D．4

10.如果

52

37

aa

,2+c>2,那么()

点点文化

A．a－c＞a＋cB．c－a＞c＋a.C．ac＞－acD．3a＞2a

二、A组填空题

1．（－1）2＋（－2）3＋（－3）4＋（－4）5=______．

2．多项式3x2＋5x－2与另一个多项式的和是x2－2x＋4，那么，这“另一个多项式”

是______．

3．若a、b互为相反数，c、d互为负倒数，则（a＋b）1996＋（cd）323______．

4．如图2△ABC的面积是1平方厘米，DC=2BD，AE=3ED，

则△ACE的面积是______平方厘米．

5．设自然数中两两不等的三个合数之和的最小值是m，

则m的负倒数等于______．

6.一个角



与500角之和的

1

7

等于650角的余角,则



=______.

7.不等式

2(1)41

1

515

xx





的解是______________.

8.x,y,z满足方程组

238

320

2

xy

yz

xz

















,则xyz=________.

9.已知关于x的方程3a-x=

2

x

+3的解是4,则(-a)2-2a=_________.

10．用一队卡车运一批货物，若每辆卡车装7吨货物，则尚余10吨货物装不完；若每

辆卡车装8吨货物，则最后一辆卡车只装3吨货物就装完了这批货物，那么，这批货物共有

______吨．

二、B组填空题

1.计算:22

11109344

401(0.5)[(2)2]

24144433









=_____.

2.方程

7110.251

0.0240.0180.012

xxx



的根是______.

3．一个四位数能被9整除，去掉末位数字后所得的三位数恰是4的倍数，则这样的四

位数中最大的一个的末位数字是______．

点点文化

4．在－44，－43，－42，…，1995，1996这一串连续的整数中，前100个连续整数的

和等于______．

5．如图3，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、

BD分为四个部分，△AOB的面积是1平方千米，△BOC的面

积是2平方千米，△COD的面积是3平方千米，公园陆地的

总面积是6.92平方千米，那么人工湖的面积是______平方千米．

答案·提示

一、选择题

提示：

1．（－1）－（－9）－（－9）－（－6）=23，选D．

2．解，移项得19x＋19x=96＋96,合并，得2×19x=2×96,

3．a的相反数为－a，所以a与它的相反数的差的绝对值是

|a－（－a）|=|－2a|=－2a（其中a＜0），选C．

4．当另一个方程的解也都满足第一个方程时，这两个方程才是同解方程，因此排除

B．但另一个方程的解不都满足第一个方程时，它们不是同解方程，所以排除A、C，因此

选D．

6．∵x＜－2

∴|1－|1＋x||=|1＋1＋x|=－2－x，选A．

7．由图4可见:PQ=AQ＋PB－AB=1200＋1050－1996=254（厘米），选A．

8．90°＜α＜180°，90°＜β＜180°,∴180°＜α＋β＜360°

点点文化

9．已知a＞b，c＜0，a＋c＞b＋c，显然成立．

由2+c＞2知c＞0，所以-c＜c，两边加a

得a－c＜a＋c，所以排除A．

由a＜0，c＞0知ac＜0，－ac＞0，

显然ac＜－ac排除C．

3a＜2a排除D，

因此应选B．

事实上，因为a＜0，所以－a＞0．

因此－a＞a,两边同加上c,即可得c－a＞c＋a．

二、A组填空题

提示：

1．(－1)2＋(－2)3＋(－3)4＋(－4)5=1＋（－8）＋81＋（－1024）=－950

2．(x2－2x＋4)－(3x2＋5x－2)=－2x2－7x＋6

3．因为a、b互为相反数，所以a＋b=0，c、d互为负倒数，所以cd=－1．

因此(a＋b)1996＋(cd)323=0＋(－1)=－1

4．由于S

△ABC

=1，DC=2BD．

又因为AE=3ED

5．三个两两不等的合数之和的最小值应是三

点点文化

解得a=125°．

7．原不等式可为

去分母得－6（x－1）－（－4x－1）＞15,－2x＞8，∴x＜－4．

8．由2x－3y=8及3y＋2z=0，相加得2x＋2z=8，即x＋z=4与x－z=－2联立．

解得x=1，z=3．代入第二个方程求得y=－2，所以xyz=1·（－2）·3=－6

7x＋10=8（x－1）＋3,解得x=15（辆）所以，这批货物共有7×15＋10=115（吨）

三、B组填空题

提示：

点点文化

4．这前100个连续整数是

－44，－43，…，－1，0，1，2，…43，44，45，46，…54，55，其中前89个整数之

和

（－44）＋（－43）＋…＋0＋…＋43＋44=0

后11个数之和是45＋46＋47＋48＋49＋50＋51＋52＋53＋54＋55=550

所以，所给一串连续整数中，前100个连续整数的和等于550．

5．由△AOB，△BOC的底边AO、OC共线，由B到AC的距离是这两个三角形的共同的高线．

因此S

四边形ABCD

=1＋2＋3＋1.5=7.5（平方千米）

由于公园陆地面积是6.92平方千米，所以人工湖面积是

7.5－6.92=0.58（平方千米）

希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题

一、选择题（以下每题的四个结论中，仅有一个是正确的．）

三、解答题

点点文化

21．（1）请你写出不超过30的自然数中的质数之和．

（2）请回答，千位数是1的四位偶自然数共有多少个？

（3）一个四位偶自然数的千位数字是1，当它分别被四个不同的质数去除时，余数也

都是1，试求出满足这些条件的所有自然数，其中最大的一个是多少？

22．（1）用1×1，2×2，3×3三种型号的正方形地板砖铺设23×23的正方形地面，

请你设计一种辅设方案，使得1×1的地板砖只用一块．

（2）请你证明：只用2×2，3×3两种型号的地板砖，无论如何铺设都不能铺满23×

23的正方形地面而不留空隙．

答案·提示

一、选择题

提示：

三、解答题

21．

（1）不超过30的质数和为

2＋3＋5＋7＋11＋13＋17＋19＋23＋29=129．

（2）千位数是1的四位自然数中最小为1000最大为1999．共连续1000个自然数．其中

有500个是偶数．所以千位数是1的四位偶自然数共有500个．

（3）设满足题设性质的自然数为x，则x的千位数字是1，个位数字是偶数码．

又设质数p

1

＜p

2

＜p

3

＜p

4

，则依题意有x=kp

1

p

2

p

3

p

4

＋1①,其中k为自然数．

若p

1

=2，则kp

1

p

2

p

3

p

4

＋1为奇数，与x为偶数不符．所以p

1

，p

2

，p

3

，p

4

均为奇质数．

设p

1

=3，p

2

=5，p

3

=7，p

4

=11，有3×5×7×11=1155，所以k=1．

而p

1

=3，p

2

=5，p

3

=11，p

4

=13时3×5×11×13=2145＞1999．

所以p

1

=3，p

2

=5，p

3

=7是①中p

1

，p

2

，p

3

的唯一取值法．这样一来，只须再对p

4

讨论：

当p

4

=11时，x

1

=3×5×7×11＋1=1156．

当p

4

=13时，x

2

=3×5×7×13＋1=1366．

当p

4

=17时，x

3

=3×5×7×17＋1=1786．

点点文化

当p

4

=19时，x

4

=3×5×7×19＋1=1996．

而当p

4

=23时，x

5

=3×5×7×23＋1＞2000不合要求．

所以，满足题设条件的自然数共四个，它们是1156，1366，1786，1996．

其中最大的一个是1996．

22．（1）如图8，用12块3×3地板砖与6块2×2地板砖能铺成12×11的长方形地面．

如图9的铺设方案．用4个12×11的图8所示的板块，恰用1块1×1地板砖，可以铺满23

×23的正方形地面．

（2）我们将23×23的大正方形分成23行23列共计529个1×1的小方格，再将第1行，

第4行，第7行，第10行，第13行，第16行，第19行，第22行这八行染红色，其余的15行都

染白色，如图10所示．

任意2×2或3×3的小正方块无论怎样放置（边线与大正方形格线重合），每块2×2或

3×3的正方块都将盖住偶数块1×1的白色小方格．

假设用2×2及3×3的正方形地板砖可以铺满23×23后正方形地面，则它们盖住的白色

1×1的小方格总数为偶数个．然而23×23地面染色后共有23×15（奇数）个1×1的白色小

方格，矛盾．

所以，只用2×2，3×3两种型号地板砖无论如何铺设，都不能铺满23×23的正方形地

面而不留空隙．

希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题

一、选择题:

1.

8

1997

a

是()

A．正数B．负数.C．非正数.D．零.

2．下面说法中，不正确的是［］

A．小于－1的有理数比它的倒数小.B．非负数的相反数不一定比它本身小

C．小于0的有理数的二次幂大于原数.D．小于0的有理数的立方小于原数

点点文化

3.

1(9)97

1997





的值的负倒数是()

A.

83

72

;B.

24

29

;C.

29

24

;D.

72

83

.

4．在图1的数轴上，标出了有理数a、b、c的位置，则［］

A．a－c＜b－a＜b－c.B．a－b＜b－c＜a－c

C．b－c＜a－c＜a－b.D．a－c＜b－c＜b－a

5．下面判断中正确的是［］

A．方程2x－3＝1与方程x（2x－3）＝x同解

B．方程2x－3＝1与方程x（2x－3）＝x没有相同的解

C．方程x（2x－3）＝x的解都是方程2x－3＝1的解

D．方程2x－3＝1的解都是方程x（2x－3）＝x的解

6．（3x＋9）（2x－5）等于［］

A．5x2＋3x－45.B．6x2－3x＋45.C．5x2＋33x＋45.D．6x2＋3x－45

7.若a=

19951995

19961996

,b=

19961996

19971997

,c=

19971997

19981998

,则()

A．a＜b＜cB．b＜c＜a.C．c＜b＜aD．a＜c＜b

8．有理数a、b满足a＝1997b，则［］

A．a≥bB．｜a｜≤b.C．a≥｜b｜D．｜a｜≥｜b｜

9．有理数a、b满足｜a＋b｜＜｜a－b｜，则［］

A．a＋b≥0B．a＋b＜0.C．ab＜0D．ab≥0．

10．有理数b满足｜b｜＜3，并且有理数a使得a＜b恒能成立，则a的取值范围是［］

A．小于或等于3的有理数.B．小于3的有理数

C．小于或等于－3的有理数.D．小于－3的有理数

二、A组填空题:

11.

113241777

11

361









=_____.

12．图2中，三角形的个数是______．

点点文化

13.已知21

3

1997

nx与7

1997

4

nx是同类项,则(n-17)3=______.

14.

6199819972

612714





=_______.

15．数学晚会上，小明抽到一个题签如下：若ab＜0，（a－b）2与（a＋b）2的大小关

系是（）

A．（a－b）2＜（a＋b）2.B．（a－b）2＝（a＋b）2

C．（a－b）2＞（a＋b）2.D．不能确定的

小明答对了，获了奖，那么小明选择答案的英文字母代号是______．

16．如图3，OM是∠AOB的平分线，射线OC在∠BOM内部，

ON是∠BOC的平分线，已知∠AOC＝80°，那么∠MON的大小等于______．

17．已知a－b＝2，b－c＝－3，c－d＝5，则（a－c）（b－d）÷（a－d）＝______．

18．10位评委为某体操运动员打分如下：

10，9.7，9.85，9.93，9.6，9.8，9.9，9.95，9.87，9.6去掉一个最高分和一个最

低分，其余8个分数的平均数记为该运动员的得分，则这个运动员的得分是______．

19．如图4，长方形ABCD中，△ABP的面积为20平方厘米，△CDQ的面积为35平方厘米，

则阴影四边形的面积等于______平方厘米．

20.

5991

在左边的算式中乘数不是1,且每个小方纸片都盖

住了一个数字,这五个被盖住的数字的和等于______．

三、B组填空题:

21．初一“数学晚会”上，有10个同学藏在10个大盾牌后面．男同学的盾牌前面写的

是一个正数，女同学的盾牌前面写的是一个负数，这10个盾牌如下所示．

8

302

3

(5)(1)83

(30),,0.1,,,8,2,,4(2),51,

(25)19971997

(3)

a









则盾牌后面的同学中有女同学______人；男同学______人．

点点文化

22．甲、乙两商店共有练习本200本，某日甲店售出19本，乙店售出97本，甲乙两店

所剩的练习本数相等，由甲店原有练习本______本；乙店原有练习本______本．

23．一个有理数恰等于它的相反数，则这个有理数是______；一个有理数恰等于它的

倒数，那么这个有理数是______．

24.一个有理数的n倍是8,这个有理数的

1

n

是2,那么这个有理数是_______.

25．关于x的方程｜a｜x＝｜a＋1｜－x的解是1，那么，有理数a的取值范围是______；

若关于x的方程｜a｜x＝｜a＋1｜－x的解是0，则a的值是______．

答案·提示

一、选择题

提示：

2．设a为有理数，当－1＜a＜0时，a3＞a，∴（D）的说法不正确．

4．由图1可知，a＜b，所以a－c＜b－c；又知c＞a，所以c－b＞a－b，

不等式两边都乘以－1，则有b－c＜b－a．

综上所述，有a－c＜b－c＜b－a，选（D）．

5．方程2x－3＝1的解是x＝2；方程x（2x－3）＝x的解是x＝0和x＝2．因此，（A）、

（B）、（C）的判断都是错误的，只有（D）判断正确．

6．原式＝6x2－15x＋18x－45＝6x2＋3x－45．所以，选（D）．

7．设A＝19951995，B＝19961996，C＝19971997，D＝19981998，则有B＝A＋10001，

C＝B＋10001，D＝C＋10001．

∵（B＋10001）（B－10001）＝B2－100012

点点文化

亦即，C·A＝B2－100012∴C·A＜B2．

由于B、C均为正数，不等式两边同时除以B·C，得到

8．∵1997＞0，可以确定有理数a、b同是正数，或同是负数，或同是0．又∵1997＞1，

所以必须｜a｜≥｜b｜，选（D）．

9．由｜a＋b｜＜｜a－b｜有（a＋b）2＜（a－b）2

即a2＋2ab＋b2＜a2－2ab＋b2．

不等式两边都减去a2＋b2，然后除以2，则有ab＜－ab，

只有ab＜0时才能成立，选（C）．

10．｜b｜＜3就是－3＜b＜3，只有当a≤－3时，a＜b恒成立，选（C）．

三、A组填空题

提示：

12．图中的三角形有：△BPC、△AQD、

△BEP、△EAQ、△CPF、△FQD、△BEC、△BFC、△EAD、△FAD、△CED和△BFA，共12

个．

13．由题意有2n－1＝n＋7．解此方程得到n＝8，代入（n－17）3＝（8－17）3＝（－

9）3＝－729．

点点文化

15．（a－b）2－（a＋b）2＝a2－2ab＋b2－a2－2ab－b2＝－4ab

∵ab＜0，∴－4ab＞0即（a－b）2－（a＋b）2＞0．

∴（a－b）2＞（a＋b）2．∴选（C）．

16．设∠1＝∠AOM＝∠BOM，∠2＝∠BON＝∠CON∠3＝∠MOC

∠由题意有∠1＋∠3＝80°①

2∠2＋∠3＝∠1②

①和②等式两边相加，则有

2∠2＋2∠3＋∠1＝80°＋∠1．

两边减∠1,有2（∠2＋∠3）＝80°．

∵∠2＋∠3＝40°．

∠MON＝∠MOC＋∠CON＝∠2＋∠3＝40°．

17．a－c＝（a－b）＋（b－c）＝2＋（－3）＝－1．

b－d＝（b－c）＋（c－d）＝（－3）＋5＝2．

a－d＝（a－b）＋（b－c）＋（c－d）

＝2＋（－3）＋5＝4．

18．由题意去掉10和一个9.6，其余8个分数的整数部分都是9，所以只需对小数部分

求平均数，为了计算简便可将各数的次序调整：

所以该运动员得分是9.825分．

19．由于△BEC的高与矩形ABCD的AB边相等，所以

点点文化

∴S

△BEC

＝S

△ABF

＋S

△CDF

．

等式左边＝S

△BPF

＋S

△QFC

＋S

阴影部分

等式右边＝S

△ABP

＋S

△BPF

＋S

△CDQ

＋S

△FQC

．

等式两边都减去（S

△BPF

＋S

△QFC

），则有

S

阴影部分

＝S

△ABP

＋S

△CDQ

＝20＋35＝55（平方厘米）．

20．两数相乘所得积的个位数为1，这两个数只可能是1、1或3、7或9、9．按题意排

除1、1。又由于5991不能被9和7整除，所以又排除9、9，且乘数只能是3．

因为5991÷3＝1997，所以被乘数是1997，这5个数的和是：1＋9＋9＋7＋3＝29．

三、B组填空题

提示：

∴有女同学4人，男同学6人．

22．设甲店有x本，则乙店有（200－x）本．

由题意列方程：x－19＝（200－x）－97

解方程得到x＝61，200－x＝200－61=139．

∴甲店有61本；乙店有139本．

23．0的相反数－0＝0．

点点文化

24．设这个有理数为x，由题意有：

③代入①2n2＝8n＝±2．

由③x＝±4．

25．将解x＝1代入原方程，则有：｜a｜＝｜a＋1｜－1．｜a｜＋1＝｜a＋1｜，

∴a≥0．将解x＝0代入原方程，则有：0＝｜a＋1｜，∴a＝－1．

希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题

19．计算:

1111111111

11

23997231996









=______________.

20．有一满池水，池底有泉总能均匀地向外涌流，已知用24部A型抽水机6天可抽干池

水，若用21部A型抽水机8天也可抽干池水，设每部抽水机单位时间的抽水量相同，要使这

一池水永抽不干，则至多只能用______部A型抽水机抽水．

三、解答题

21．已知一个七位自然数62xy427是99的倍数（其中x、y是阿拉伯数字），试求

950x＋24y＋1之值，简写出求解过程．

22．用24个面积为1的单位正三角形拼成如图5所示的正六边形，我们把面积为4的正

三角形称为“希望形”．

点点文化

（1）请你回答，图中共可数出多少个不同的“希望形”？

（2）将1～24这24个自然数填入24个单位正三角形中（每个里只填1个数）．我们依

次对所有“希望形”中的4个单位正三角形中填的数同时加上一个相同的自然数称为一次

操作，问能否经过有限次操作员后，使图中24个单位正三角形中都变为相同的自然数？如

果能，请给出一种填法，如果不能，请简述理由．

答案·提示

一、选择题

提示：

2．当a、b异号或a、b均为0时，｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜成立，∴选（C）．

3．由题意画图6：

因为，向东走了－60米就是向西走了60米．所以，小明从书店向东走了40米，再向西

走60米，结果是小明的位置在书店西边20米，也就是文具店的位置，∴选（A）．

4．方程①的解x＝1，将x＝1代入方程②，方程②成立，∴x＝1也是方程②的解．方

程①和②是同解方程，而①与③显然不同解；①的解代入④，④无意义．∴（B）、（C）、

（D）都不正确，只有（A）正确，∴选（A）．

原式＝－a－（－b）＋［－（a＋b）］＋ab

＝－a＋b－a－b＋ab＝－2a＋ab，∴选（D）．

6．由题意，这1997个有理数可以有零，也可以没有零，则排除（A）．这1997个有理

点点文化

数中，必须有正数和负数．例如，1996个－1和一个1996相加为零，则否定了（B）和（D），

∴选（C）．

7．由图有a－b＜a＋cb＜a－cb＜a＋b．

8．当平面上三条直线互相平行时，没有交点，

∴排除（A）、（B）、（C），选（D）．

10．由图2可见，大正方体正面中心的一个小正方体，以及它后面的两个小正方体（共

3个）没有涂黑，顶面中间一排左右两个小正方体，及其底面相对应的两个小正方体没有

涂黑，所以，总共有7个小正方体没有涂黑，其余20个小正方体至少有一面涂黑了，选（B）．

二、填空题

提示：

11．原式＝－3x2y＋4x2y＋5x2y－7x2y2＋8x2y2＝6x2y＋x2y2

13．由题意列方程

点点文化

②－①得m＝7n＋16③

③代入①有21n＋48＋5n＋9＝1,26n＝－56,

14．设订半年的学生x人，订全年的学生y人，按照题意列方程：

由②得到y＝83－2x，

代入①后求得x＝26，y＝83－2x＝31．

∴订阅的学生人数＝x＋y＝26＋31＝57．

15．由题意有∠COD＝∠DOE＝∠EOB＝30°,这三个角都与∠AOE互补．

∵∠COE＝∠DOB＝60°，

∴这两个角与∠AOD互补．

另外，∠AOC和∠COB都是直角，二者互补．因此，共有6对互补角．

16．原式＝m3＋m2－m＋m2＋m－1＋1998

＝m（m2＋m－1）＋（m2＋m－1）＋1998

＝（m2＋m－1）（m＋1）＋1998

由于m2＋m－1＝0，∴原式＝1998．

17．连AQ，则有△ABQ．

点点文化

点点文化

18．先计算互掺后A、B两容器药液浓度：

掺前A、B药量差＝am％－bm％＝（a－b）m％

20．设每部抽水机每天抽水量为x，泉水每天的涌流量为y，由题意列方程：

②－①得到24x＝2y,y＝12x

因此，至多只能用12部抽水机抽水．

三、解答题

点点文化

∴x＋y＋3＝9m（m是自然数）

∵0≤x≤9，0≤y≤9，

可以导出3≤x＋y＋3≤21

从而x＋y＝6或x＋y＝15①

∴13＋x－y＝11k（k是整数）

又－9≤x－y≤9，

即4≤13＋x－y≤22．

∴x－y＝－2或x－y＝9

∵x＋y与x－y同奇偶，

∴x＝2，y＝4，

950x＋24y＋1＝950×2＋24×4＋1＝1997．

22．（1）有12个不同的“希望形”．

（2）不可能，理由如下：

假设经过m次操作后，24个单位正三角形的数均变为a，则总和为24a．

另一方面，设第i次操作中每个“希望形”的4个单位正三角形中的数都增加自然数n

i

，

则

第i次操作共增加：12×4n

i

m次操作后共增加：12×4（n

1

＋n

2

＋…＋n

m

）

这24个单位正三角形最初填入的24个数之和为1＋2＋3＋…＋24＝25×12所以m次操

点点文化

作后24个单位正三角形中填数的总和为

25×12＋12×4（n

1

＋n

2

＋…＋n

m

）

于是有25×12＋12×4（n

1

＋n

2

＋…＋n

m

）＝24×a进而推出24｜25×12，即2｜25

但这是不成立的．

希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题

一、选择题:（每小题6分，共60分）

1．数（－1）1998是()

A．最大的负数B．最小的非负数.C．最小的正整数D．绝对值最小的整数

2.a=

111

654









,则a的相反数是()

A.

17

60



;B.

7

60



;C.

17

60

;D.

7

60

.

3．“a与b的和的立方”的代数式表示是()

A．a3＋b3B．a＋b3.C．a3＋bD．(a＋b)3

4．有下面4个命题：①两个数的差一定是正数.②两个整式的和一定是整式.

③两个同类项的数字系数相同.④若两个角的和等于180°，则这两个角互为邻补角.

其中真命题的个数是()

A．1B．2.C．3D．4

5．若19a＋98b＝0，则ab是()

A．正数B．非正数.C．负数D．非负数

6.有理数a,b,c在数轴上的表示如图1,则在

2

11

,,ac

b

b

中,()

A.

2

1

b

最小;B.

ac

最大;C.

1

b

最大;D.

2

1

b

最大.

7．一杯盐水重21千克，浓度为7%.当再加入0.7千克纯盐后，这杯盐水的浓度是()

点点文化

A．7.7%B．10%.C．10.7%D．11%

8．a、b都是有理数，现有4个判断：

①如果a＋b＜a，则b＜0.②如果ab＜a，那么b＜0

③如果a－b＜a，则b＞0,其中正确的判断是()

A．①②B．②③.C．①④D．①③

9.若

1

3,663,

2

ab

,则

b

a

的最大值是()

A．21B．2.C．12D．126

10．数a、b、c如图2所示，有以下4个判断:

①

1

a

>a+b+c;②ab2>c;③a-b>-c;④5a>2b.其中正确的是()

A．①和②B．①和③.C．②和④D．②和③

二、A组填空题（每小题6分，共60分）

11.

1111

1111

2345





















=_______.

12．若m＝－1998，则│m2＋11m－999│－│m2＋22m＋999│＋20＝______.

13．两个三位自然数之和减去1999所得之差的最大值是______.

14.一个有理数的倒数的相反数的3倍是

1

3

,那么这个有理数是_________.

15．17个连续整数的和是306，那么紧接在这17个数后面的那17个连续整数的和等于

________.

16．1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字之和，那么他的年龄是______

岁.

17．图3中，B、C、D依次是线段AE上的三点，

已知AE＝8.9厘米，BD＝3厘米，则图中以A、

B、C、D、E这5个点为端点的所有线段长度之和等于_______厘米.

点点文化

18.五位数abcde是9的倍数,其中abcd是4的倍数,那么abcde的最小值为_______.

19．梯形ABCD如图4所示，AB、CD分别为梯形上下底，已知阴影部分总面积为5平方厘

米，△AOB的面积是0.625平方厘米.则梯形ABCD的面积是________平方厘米.

20.三个有理数a,b,c两两不等,那么

,,

abbcca

bccaab





中有______个是负数.

三、B组填空题（每小题6分，共30分）

21．三个质数之和是86.那么这三个质数是________.

22．线段AB上有P、Q两点，AB＝26，AP＝14，PQ＝11，那么BQ＝________.

23．篮、排、足球放在一堆共25个，其中篮球个数是足球个数的7倍，

那么其中排球的个数是________.

24．一个有理数的二次幂大于这个有理数，那么这样的有理数的取值范围是________.

25.将

11111

1,,,,,

23456



按一定规律排成下表:

从表中可以看到,第4行中自左向右第3个数是

1

9

,第5行中自左向右第2个数是-

1

12

,

那么第199行中自左向右第8个数是______,第1998行中自左向右第11个数是_____.

答案·提示

一、选择题

1C.2D.3D.4A.5B.6D.7B.8D.9D.10B

提示：

1．（－1）1998＝＋1．排除A.由于最小的非负数是0，排除B.绝对值最小的整数也是0，

排除D.显然应选C.事实上＋1是最小的正整数.