弹性正碰
形态设计-华北煤炭医学院
2023年2月19日发(作者：鬼迷心窍歌词)弹性碰撞
考点规律分析
(1)若两个物体在水平面上发生弹性碰撞，则这两个物体组成的系统动量守
恒，同时总动能也不变。即：
m
1
v
1
＋m
2
v
2
＝m
1
v
1
′＋m
2
v
2
′
1
2
m
1
v2
1
＋
1
2
m
2
v2
2
＝
1
2
m
1
v
1
′2＋
1
2
m
2
v
2
′2
两个质量相等的物体在同一直线上发生弹性碰撞，由方程的对称性可知v
1
′
＝v
2
，v
2
′＝v
1
，则速度互相交换。
(2)若碰撞前，有一个物体是静止的，设v
2
＝0，则碰撞后的速度分别为
v1
′＝
m
1
－m
2
v
1
m
1
＋m
2
，v
2
′＝
2m
1
v
1
m
1
＋m
2
①若m
1
＝m
2
，v
1
′＝0，v
2
′＝v
1
，碰后实现了动量和动能的全部转移。
②若m
1
≫m
2
，v
1
′≈v
1
，v
2
′≈2v
1
，碰后m
1
几乎仍保持原来速度运动，质
量小的m
2
将以2v
1
向前运动。
③若m
1
≪m
2
，v
1
′≈－v
1
，v
2
′≈0，碰后m
1
以原来速率向相反方向运动，
m
2
几乎未动。
典型例题
(多选)质量为M的带有
1
4
光滑圆弧轨道的小车静止置于光滑水平面上，如
图所示，一质量也为M的小球以速度v
0
水平冲上小车，到达某一高度后，小球
又返回小车的左端，则()
A．小球以后将向左做平抛运动
B．小球将做自由落体运动
C．此过程小球对小车做的功为
1
2
Mv2
0
D．小球在弧形轨道上升的最大高度为
v2
0
2g
[规范解答]小球上升到最高点时与小车相对静止，有相同的速度v′，由
动量守恒定律和机械能守恒定律有Mv
0
＝2Mv′，
1
2
Mv2
0
＝2×
1
2
Mv′2＋Mgh，
联立解得h＝
v2
0
4g
，D错误；从小球滚上轨道到返回并离开小车，小球和小车组成
的系统在水平方向上动量守恒，由于无重力以外的外力做功，系统机械能守恒，
此过程类似于弹性碰撞，小车和小球质量相等，作用完成后两者交换速度，即小
球速度变为零，之后做自由落体运动，A错误，B、C正确。
[完美答案]BC
1.弹性碰撞拓展理解
1如果两个相互作用的物体，满足动量守恒的条件，且相互作用过程初、
末状态的总机械能不变，广义上也可以看成是弹性碰撞。
2本题可看成广义上的一动碰一静模型。小球滑上小车轨道时是“碰撞”
的开始，小球离开轨道时是“碰撞”的结束。由于系统机械能守恒，所以该过程
类似于弹性碰撞，又由于小球和小车质量相等，所以作用完成后小球和小车交换
速度。
2.多物体、多过程碰撞问题的分析思路
1对多个物体组成的系统应用动量守恒定律时，既可以根据作用的先后顺
序选取系统，也可以选所有物体为系统，这要由题目需要而定。
2当问题有多过程、多阶段时，必须分清不同过程的受力特点、力的做功
特点等，明确对应过程所遵循的规律。
举一反三
1．(弹性碰撞)在光滑水平面上有两个相同的弹性小球A、B，质量都是m，
B球静止，现A球向B球运动，发生正碰，已知碰撞过程中总机械能守恒，两球
压缩最紧时的弹性势能为E
p
，则碰撞前A的速度等于()
A.
E
p
m
B.
2E
p
m
C．2
E
p
m
D．2
2E
p
m
答案C
解析两球压缩最紧时速度相等，设为v，碰前A球的速度为v
A
，由动量守
恒定律得mv
A
＝2mv，弹性势能E
p
＝
1
2
mv2
A
－
1
2
×2mv2，联立解得v
A
＝2
E
p
m
，C
正确。
2．(弹性碰撞)如图所示，ABC为一固定在竖直平面内的光滑轨道，BC段水
平，AB段与BC段平滑连接，质量为m
1
的小球从高为h处由静止开始沿轨道下
滑，与静止在轨道BC段上质量为m
2
的小球发生碰撞，碰撞后两球的运动方向
处于同一水平线上，且在碰撞过程中无机械能损失，求碰撞后小球m
2
的速度大
小v
2
。
答案
2m
1
2gh
m
1
＋m
2
解析设m
1
碰撞前的速度为v
0
，根据机械能守恒定律有m
1
gh＝
1
2
m
1
v2
0
设碰撞后m
1
与m
2
的速度分别为v
1
和v
2
，根据动量守恒定律有m
1
v
0
＝m
1
v
1
＋m
2
v
2
由于碰撞过程中无机械能损失，有
1
2
m
1
v2
0
＝
1
2
m
1
v2
1
＋
1
2
m
2
v2
2
联立解得v
2
＝
2m
1
2gh
m
1
＋m
2
。
3.在光滑的水平面上，质量为m
1
的小球A以速率v
0
向右运
动。在小球A的前方O点处有一质量为m
2
的小球B处于静止状态，如图所示。
小球A与小球B发生正碰后小球A、B均向右运动。小球B被位于Q处的墙壁
弹回后与小球A在P点相遇，PQ＝1.5PO。假设小球间的碰撞及小球与墙壁之
间的碰撞都是弹性碰撞，求两小球质量之比
m
1
m
2
。
答案2∶1
解析设两小球碰后小球A的速度大小为v
1
，小球B的速度大小为v
2
，小
球B与墙壁之间的碰撞为弹性碰撞，则碰后小球B速度大小仍为v
2
。从两小球
碰撞后到它们再次相遇，小球A和B的速度大小保持不变，根据它们通过的路
程，可知小球B和小球A在碰撞后的速度大小关系为v
2
＝4v
1
两球碰撞过程为弹性碰撞，有
m
1
v
0
＝m
1
v
1
＋m
2
v
2
1
2
m
1
v2
0
＝
1
2
m
1
v2
1
＋
1
2
m
2
v2
2
联立解得
m
1
m
2
＝
2
1
。
4．如图所示，两质量分别为m
1
和m
2
的弹性小球叠放在一起，从高度为h
处自由落下，且h远大于两小球半径，所有的碰撞都是弹性碰撞，且都发生在竖
直方向。已知m
2
＝3m
1
，则小球m
1
反弹后能达到的高度为()
A．hB．2hC．3hD．4h
答案D
解析下降过程为自由落体运动，触地时两球速度相同，v＝2gh，m
2
碰撞
地面之后，速度瞬间反向，且大小不变，选m
1
与m
2
碰撞过程为研究过程，碰撞
前后动量守恒，设碰后m
1
与m
2
的速度大小分别为v
1
、v
2
，选竖直向上为正方向，
则m
2
v－m
1
v＝m
1
v
1
＋m
2
v
2
，由机械能守恒定律得：
1
2
(m
1
＋m
2
)v2＝
1
2
m
1
v2
1
＋
1
2
m
2
v2
2
，
且m
2
＝3m
1
，联立解得v
1
＝22gh，v
2
＝0，则小球m
1
反弹后的高度H＝
v2
1
2g
＝4h，
D正确。
5.两物体A、B静止在水平地面上，A物体的质量为m，B物体的质量为3m，
物体A与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，如图所示。对A物体施加向右的瞬时冲
量，使其获得v
0
＝4m/s的初速度，经时间t＝1s，物体A与B发生弹性碰撞。
求：
(1)物体A与B碰撞前的速度大小v
1
；
(2)碰撞后物体A的滑行距离。
答案(1)2m/s(2)0.25m
解析(1)物体A与B碰撞前受重力、支持力和滑动摩擦力，根据牛顿第二
定律，有：
F合
＝－μmg＝ma，
解得：a＝－μg＝－2m/s2
物体A与B碰撞前的速度大小：v
1
＝v
0
＋at＝2m/s。
(2)物体A与B发生弹性碰撞
根据动量守恒定律：mv
1
＝mv
1
′＋3mv
2
′
根据机械能守恒定律：
1
2
mv2
1
＝
1
2
mv
1
′2＋
1
2
×3mv
2
′2
联立解得：v
1
′＝2m/s，v
2
′＝0(不符合实际，后面的物体的速度不可能大
于前面物体的速度)
或v
1
′＝－1m/s，v
2
′＝1m/s
即物体A以1m/s的速度反弹，此后向左做匀减速直线运动，根据动能定理，
有：－μmgx＝0－
1
2
mv
1
′2
解得：x＝0.25m。
6.如图所示，在光滑水平面上有一小球A，具有水平向右的初速度v
0
＝3m/s，
水平面右端和光滑半圆弧轨道相接，圆弧半径R＝0.08m，轨道衔接处停有一小
球B，质量m
B
＝1kg，两小球发生弹性正碰，且碰后小球A恰能通过圆弧的最高
点C。不计一切阻力，两小球均可视为质点，重力加速度g取10m/s2，求小球A
的质量。
答案5kg
解析由小球A恰能通过最高点C，根据牛顿第二定律可得：m
A
g＝m
A
v2
C
R
小球A碰后在半圆轨道运动时机械能守恒，有：
1
2
m
A
v2
1
＝
1
2
m
A
v2
C
＋m
A
g·2R
解得：v
1
＝2m/s
由两小球发生弹性正碰，根据动量守恒定律可得：
m
A
v
0
＝m
A
v
1
＋m
B
v
B
根据机械能守恒定律可得：
1
2
m
A
v2
0
＝
1
2
m
A
v2
1
＋
1
2
m
B
v2
B
联立解得：v
1
＝
m
A
－m
B
m
A
＋m
B
v0
代入数据可得：m
A
＝5kg。
7．如图所示，ABC为一固定在竖直平面内的光滑轨道，BC段水平，AB段
与BC段平滑连接。质量为m
1
的小球从高为h处由静止开始沿轨道下滑，与静
止在轨道BC段上质量为m
2
的小球发生碰撞，碰撞前后两球的运动方向处于同
一水平线上，且在碰撞过程中无机械能损失。求：
(1)碰撞后小球m
2
的速度大小v
2
；
(2)若碰撞后两球的动量相同，则两球的质量之比为多少？
答案(1)
2m
1
m
1
＋m
2
2gh(2)3∶1
解析(1)小球m
1
从A下滑到B的过程，由机械能守恒定律有：
m
1
gh＝
1
2
m
1
v2
0
小球A和小球B发生碰撞，没有能量损失，因此动量守恒：
m
1
v
0
＝m
1
v
1
＋m
2
v
2
且机械能守恒：
1
2
m
1
v2
0
＝
1
2
m
1
v2
1
＋
1
2
m
2
v2
2
联立可解得：v
2
＝
2m
1
m
1
＋m
2
2gh。
(2)若碰后两球的动量相同，因此有：
m
1
v
0
＝p
1
＋p
2
，
且p
1
＝p
2
＝
1
2
m
1
v
0
p
2
＝m
2
v
2
联立得v
2
＝
m
1
v
0
2m
2
将v
2
＝
2m
1
m
1
＋m
2
2gh、v
0
＝2gh代入，
联立可解得
m
1
m
2
＝
3
1
。