函数的对称性
英雄事迹心得体会-中文谐音
2023年2月19日发(作者：总时差英文)我对函数对称性的认识
四川省大竹中学余德
函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数
的性质是高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在
于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了
数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与
对称有关的性质。
一、函数自对称性质
结论1.函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是
f(x)+f(2a－x)=2b
结论2.函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+f(－x)=0
结论3.函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件：f(a+x)=f(a－x)
即f(x)=f(2a－x)
推论：函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(－x)
结论4.①若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称（a≠b），则y=f(x)
是周期函数，且2|a－b|是其一个周期。
②若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周
期函数，且2|a－b|是其一个周期。
③若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=
f(x)是周期函数，且4|a－b|是其一个周期。
下面给出结论1的证明，其他结论类似可以证明。
结论1证明：（必要性）设点P(x,y)是y=f(x)图像上任一点，
∵点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y=f(x)图像上，∴2b－y=f(2a
－x)
即y+f(2a－x)=2b故f(x)+f(2a－x)=2b，必要性得证。
（充分性）设点P(x
0
,y
0
)是y=f(x)图像上任一点，则y
0
=f(x
0
)
∵f(x)+f(2a－x)=2b∴f(x
0
)+f(2a－x
0
)=2b，即2b－y
0
=f(2a－x
0
)。
故点P‘（2a－x
0
，2b－y
0
）也在y=f(x)图像上，而点P与点P‘关于点A(a,b)对称，充分性
得征。
二、不同函数的互对称
结论5.函数y=f(x)与y=2b－f(2a－x)的图像关于点A(a,b)成中心对称。
结论6.①函数y=f(x)与y=f(2a－x)的图像关于直线x=a成轴对称。
②函数y=f(x)与a－x=f(a－y)的图像关于直线x+y=a成轴对称。
③函数y=f(x)与x－a=f(y+a)的图像关于直线x－y=a成轴对称。
结论7函数y=f(x)的图像与x=f(y)的图像关于直线x=y成轴对称。
下面给出结论6中③的证明：
设点P(x
0
,y
0
)是y=f(x)图像上任一点，则y
0
=f(x
0
)。记点P(x,y)关于直线x－y=a的轴对称
点为P‘（x
1
，y
1
），则x
1
=a+y
0
,y
1
=x
0
－a，∴x
0
=a+y
1
,y
0
=x
1
－a代入y
0
=f(x
0
)之中得
x
1
－a=f(a+y
1
)∴点P‘（x
1
，y
1
）在函数x－a=f(y+a)的图像上。
同理可证：函数x－a=f(y+a)的图像上任一点关于直线x－y=a的轴对称点也在函数y=f(x)
的图像上。故结论6中的③成立。
三、特殊函数的对称性展示
函数对称中心坐标对称轴方程
y=sinx
)0,(k
Zkkx,
2
y=cosx
)0,
2
(
k
Zkkx,
y=tanx
)0,
2
(
k
无
四、函数对称性应用举例
例1：定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且f(5－x)=f(5+x),
则f(x)一定是（）
(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数
(C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数
解：∵f(10+x)为偶函数，∴f(10+x)=f(10－x).
∴f(x)有两条对称轴x=5与x=10，因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x=0
即y轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数。
故选(A)
例2：设定义域为R的函数y=f(x)、y=g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g-1(x－2)函
数的图像关于直线y=x对称，若g(5)=1999，那么f(4)=（）。
（A）1999；（B）2000；（C）2001；（D）2002。
解：∵y=f(x－1)和y=g-1(x－2)函数的图像关于直线y=x对称，
∴y=g-1(x－2)反函数是y=f(x－1)，而y=g-1(x－2)的反函数是:y=2+g(x),∴
f(x－1)=2+g(x),∴有f(5－1)=2+g(5)=2001
故f(4)=2001,应选（C）
例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)=f(1－x),当－1≤x≤0时，
f(x)=－
2
1
x，则f(8.6)=_________
解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x=0是y=f(x)对称轴；
又∵f(1+x)=f(1－x)∴x=1也是y=f(x)对称轴。故y=f(x)是以2为周期的周期函
数，∴f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(－0.6)=0.3
例4.函数y=sin(2x+
2
5
)的图像的一条对称轴的方程是（）(A)x=－
2
(B)x=
－
4
(C)x=
8
(D)x=
4
5
解：函数y=sin(2x+
2
5
)的图像的所有对称轴的方程是2x+
2
5
=k+
2
∴x=
2
k
－,显然取k=1时的对称轴方程是x=－
2
故选(A)
例5.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=－f(x),当0≤x≤1时，
f(x)=x，则f(7.5)=（）
(A)0.5(B)－0.5(C)1.5(D)－1.5
解：∵y=f(x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；
又∵f(x+2)=－f(x)=f(－x)，即f(1+x)=f(1－x)，∴直线x=1是y=f(x)对称轴，故y=
f(x)是周期为2的周期函数。
∴f(7.5)=f(8－0.5)=f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5故选(B)