两角差的余弦公式
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2023年2月19日发(作者：荣氏集团)1
《两角和与差的余弦公式》教学设计
【教学三维目标】
（1）知识与技能：在学习三角函数线和平面向量数量积的基础上，通过让学生
探索、发现并推导两角和与差的余弦公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题
目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解
决问题的能力.
（2）过程与方法：通过两角和与差的余弦公式的运用，会进行简单的求值、化
简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分
析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.
（3）情感态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提
高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.
【教学重点和难点】
教学重点：两角和与差的余弦公式及其推导.
教学难点：灵活运用余弦公式进行求值、化简、证明.
【教材分析】
这节内容是教材必修4的第三章《三角恒等变换》第一节，是高考的重要考点，
历年高考必考内容。教材在学生掌握了任意角的三角函数的概念、三角函数线，向
量的坐标和数量积的坐标表示的基础上，进一步研究两角和与差的三角函数．“两角
差的余弦公式”在教科书中采用了一种易于教学的推导方法，即先借助于单位圆中
的三角函数线，推出α，β，α－β均为锐角时成立．对于α，β为任意角的情况，
教材运用向量的知识进行了探究．
【学情分析】
本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高
度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。他们
经过半个多学期的高中生活，储备了一定的数学知识，掌握了一些高中数学的学习
方法，为本节课的学习建立了良好的知识基础。
【教学过程】
知识回顾
（1）特殊角的三角函数值
2
（2）三角函数线
（3）平面向量的数量积cosbaba
若
),,a
11
yx（),b
22
yx（
，则
2121
bayyxx
提出问题：问题1：等式cos(α一β)＝cosα一cosβ成立吗？请举例验证
问题2：如果已知sinα,cosα,sinβ,cosβ,如何计算cos(α一β)？
两角差的余弦公式推导过程：
如图所示：单位圆上，r=1
可设),sin,cosaop
1
（
),sin,cosbop
2
（
1a
，1b
则有
sinsincoscosba
cosbaba
sinsincoscoscos
因为
故
sinsincoscos)cos(
实际上，当为任意角时，由余弦函数周期性，奇偶性和诱导公式，总可以
找到一个角都可转化)2,0[，使)cos(cos。
综上所述，
sinsincoscos)-cos(
，对于任意的角,都成立。
验证公式：
拓展思维：已知
sinsincoscos)-cos(
（1）如果
换成将
，则可以得到两角和的余弦公式
sinsincoscos)cos(
-sinsin-coscos]--cos[
）（）（）（
)
2
cos()06-09cos()03cos(000
，诱导公式
3
归纳总结：
）（
两角和与差的余弦公式
C
识记要领：1.公式中两边的符号正好相反（一正一负）；
2.公式中右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后；
3.公式中α、β是任意角，可以自由赋值。
思考：请用特殊角分别代替公式中α、β，你能求哪些非特殊角的值呢？
（选择的特殊角可以是30°，45°，60°，90°等）
例如
课堂练习（1）0cos105______
；
（2）
0651cos
（3）
000081sin27sin81cos27cos
（4）cos66°cos36°+cos24°cos54°=
解题思路：拆角，并角，公式逆用和变形
思维延伸：已知
sinsincoscos)cos(
（2）如果
2
换成将
，则可以得到两角和的正弦公式
（3）如果
换成将
，则可以得到正弦和余弦二倍角公式
sincoscossin)sin(
sincos-cossin)sin(
sincos-cossin)
2
cos(
sin)
2
sin(-cos)
2
cos(]
2
([cos
）（
）
coss2cosscoss)sin(2
sincossinsincoscos)cos(2
sinccoss)sin(
sinsincoscos)cos(
22
ininin
osin
）（）（
之后换成将
)3054cos()57cos(
)03-54cos()51cos(
000
000
sinsincoscos
)cos(
4
例题讲授，学以致用
（一）倘若让你对C
(α±β)
公式中的α、β自由赋值，你又将发现什么结论呢？
(1)n(___)sin(___)sicos(___)(___)cos-
4
cos）（
(2)n(___)sin(___)sicos(___)(___)cos-2cos）（
(3)n(___)sin(___)sicos(___)(___)coscoscos）（
(4)n(___)sin(___)sis(___)cos(___)cocos)2(cos）（）（
（二）例题讲解，发散思维
例题：已知)
2
3
,(,
13
5
cos),,
2
(,
5
4
sin
，求)-cos(的值。
注意：角、的象限，也就是符号问题.
课堂练习：1.
2.
注意：逆向思维，追根溯源
4.
课后小结:1.两角和与差的余弦公式推导过程
2.解题思路：拆角，并角，公式逆用和变形，配方法
作业布置：教材第127页，第2，3，4题
板书设计：1.知识回顾
2.余弦公式的推导过程
3.例题讲解，循序渐进
思考题：串联思维，开阔视野
观察下列两组题目，探索它们之间的内在联系
的值。求都是锐角，已知cos,
4
3
)cos(,
3
2
cos,
72
59
)(c
3
1
sinsin
2
1
coscosos，求证，已知
）的值。（求，已知
4
cos),
2
(,
5
3
cos
.3
)(cos,
5
3
cos,
13
5
sinCBACBAABC提示：。求中，已知