多边形面积公式
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2023年2月19日发(作者：城市街道)百度文库-让每个人平等地提升自我
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正方形格点阵中多边形面积的计算公式，出现在各种形状的格点阵中的直线
形的面积问题，以及借助构造格点阵求解的几何问题．通过恰当地分割与拼补进
行计算的面积问题．
1．如图6-1，每一个小方格的面积都是l平方厘米，那么用粗线围成的图
形的面积是多少平方厘米?
【分析与解】方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+
L
2
-1)×单位
正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．
有N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为：（4+
7
2
-1)×1=(平方厘米)
方法二：如下图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有①=3÷2=，
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②=2÷2=1，③=2÷2=1，④=2÷2=1，⑤=2÷2=l，⑥=2÷2=1，还有三个小
正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为+l+1+1+1+1+3=，而整个格点阵所围
成的图形的面积为16，所以粗线围成的图形的面积为：=平方厘米．
2．如图6-2，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD
的面积是多少平方厘米?
【分析与解】方法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x
单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．
有N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4-2)×1=20(平方厘
米)．
方法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不
完整的小正三角形分成4部分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为4，所
以①部分的面积为2，②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为2，8，6，
所以②、③、④部分的面积分别为1，4，3．所以粗实线内图形的面积为
lO+2+1+4+3=20(平方厘米)．
3.如果图6-3是常见的一副七巧板的图，图6-4是用这副七巧板的7块板拼
成的小房子图，那么，第2块板的面积等于整幅图的面积的几分之几?第4块板
与第7块板面积的和等于整幅图的面积的几分之几?
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【分析与解】如下图，我们在图6-3中标出图6-4中各块图形的位置．
设整个七巧板组成的正方形的边长为1，显然整幅图形的面积为1，且有第
2块的面积为
1
2
×
1
2
×
1
2
=
1
8
．
有
3
S=
4
S，
2
S=
5
S=
7
S=2
3
S，有2、3、4、5、7五块图形的面积之和为
1
2
，
所以
4
S=
IGFB
S
长方形
，
7
S=
1
8
．
所以第2块板的面积等于整幅图面积的
1
8
，第4块板与第7块板面积和为整
幅图面积的
1
16
+
1
8
=
3
16
．
4．把正三角形每边三等分，将各边的中间段取来向外面作小正三角形，得
到一个六角形．再将这个六角形的各个“角”(即小正三角形)的两边三等分，又
以它们的中间段向外作更小的正三角形，这样就得到图6-5所示的图形．如果这
个图形面积是1，那么原来的正三角形面积是多少?
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【分析与解】方法一：如右图，我们将图6-5分成若干个大小、形状完全
相同的小正三角形，由40块小正三角形组成图6-5，而由27块小正三角形组成
了图中最大的正三角形．
120块小正三角形的面积为1，所以每块为
1
120
，那么原来的正三角形由81
块小正三角形组成，其面积显然为
27
40
．
方法二：如下图，我们把图6-5中的三角形分成A、B、C三种，设A形正三
角形面积为“1”，则B、C两种正三角形的面积依次为“
1
9
”、“
1
81
”．
在图6-5中，A种、B种、C种正三角形的个数依次为1，3，12，所以图6-5
中图形的面积为1+3×
1
9
+12×
1
81
=
40
27
．所以有“1”对应
27
40
，而原来的正三角
形即为三角形A，所以原来的正三角形的面积为
27
40
.
5．如图6-6，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米，M是AB中点，N是CD
中点，P是EF中点．问：三角形MNP的面积是多少平方厘米?
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【分析与解】如下图，我们将图6-6分成大小、形状相同的三角形，有正
六边形ABCDEF包含有24个小正三角形，而阴影部分MNP包含有9个小正三角形．
正六边形ABCDEF的面积为6，所以每个小正三角形的面积为6÷24=
1
4
，所
以三角形MNP的面积为9×
1
4
=(平方厘米)．
6．把同一个三角形的三条边分别五等分、七等分，适当连接这些分点，便
得到了若干个面积相等的小三角形．已知图6-7中阴影部分的面积是294平方分
米，那么图6-8中的阴影部分的面积是多少平方分米?
【分析与解】在图6-7中，原正三角形被分成25个小正三角形，而阴影
部分含有12个小正三角形，所以每个小正三角形的面积为294÷12=，所以原正
三角形的面积为×25=(平方分米)．
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而在图6-8中，原正三角形被分成49块，而阴影部分含有16块，所以阴影
部分的面积为÷49×16=200(平方分米)．
7．图6-9是5×5的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称
为格点．请你在图上选7个格点，要求选出的点中任意3点都不在同一条直线上，
并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么所围图形的面积是多
少平方厘米?
【分析与解】我们知道满足题意的7个点可以组成一个七边形，适当的切
去正方形的一个角可以得到一个五边形，切出2个角可以得到一个六边形，切去
3个角可以得到七边形.
为了使最后留下的七边形的面积尽可能大，那么切去的3个角面积应尽可能
的小．
如下切法得到的七边形的面积最大，为25-3×=(平方厘米)．
8.在图6-10中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的等腰直角三角形，其
中DF长9厘米，CF长3厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米?
【分析与解】方法一：如图(a)，将原题中图形分为12个完全一样的小等
腰三角形．
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△ABC占有9个小等腰三角形，其中阴影部分占有6个小等腰三角形，
S
ABC
=9×9÷2=(平方厘米)，所以阴影部分的面积为÷9×6=27(平方厘米)．
方法二：如图(b)，连接IG，有四边形ADGI为正方形，易知FG=FC=3(厘米)，
所以DG=DF-FG=9-3=6(厘米)，于是S
HIG
=
1
4
×
AIGD
S
正方形
=
1
4
×26
=9.
而四边形IGFB为长方形，有BF=AD=DG=6(厘米)，GF=3(厘米)，所以
IGFB
S
长方形
=6×3=18．
阴影部分面积为AHIG与长方形IGFB的面积和，即为9+18=27(平方厘米)．
方法三：如图(C)，为了方便叙述，将图6-10中某些交点标上字母．
易知三角形BIE、CGF、AIH、DGH均为等腰直角三角形．
先求出等腰直角三角形AHI、CGF的面积，再用已知的等腰三角形ABC的面
积与其作差，即为需求阴影部分的面积．
有S
ABC
=
DEF
S=
1
2
×EF×DF=
81
2
，
CGF
S=
1
2
×CF×FG=
9
2
．
因为CF=FG=3，所以DG=DF-FG=6．