子空间的定义
碳量子点-补叙和插叙的区别
2023年2月19日发(作者：21世纪性指南)5.2向量空间的定义和基本性质
授课题目：5.2线性空间的定义和基本性质教学目标：理解并掌握线性空间的定义
及基本性质授课时数：3学时
教学重点：线性空间的定义及基本性质教学难点：性质及有关结论的证明教学过
程：
一、线性空间的定义
1.引例―――定义产生的背景
例子．设,,Fn,a,bF则向量的加法和数与向量的乘法满足下述运算律
2)()()
7)(ab)a(b)
这里,,Fn,a,bF
2.向量空间的定义－抽象出的数学本质
Def:设V是一个非空集合，其中的元素称为向量。记作,,,；F是一个数域
a,b,cF,如果在集合V中定义了一个叫做加法的代数运算，且定义了FV到V的一
个叫做纯量乘法的代数运算.(F中元素a与V中的乘积记作a,aV)。如果加法和
纯量乘法满足：
1)
2)()()
3)0V,对V，有0(找出0元)
4)V，ˊV使得ˊ=0称ˊ为的负向量(找出负元)
1)
3)零向量0，对有0
4)对，有使()0
5)a()aa6)(ab)ab
8)1
5)a()aa
6)(ab)ab
7)(ab)a(b)
8)1
V是F上的一个线性空间，并称F为基数域.
3.进一步的例子――加深定义的理解
例1：复数域C对复数的加法和实数与复数的乘法作成实数域R上的线性空间.
例2：任意数域F可看作它自身的线性空间.
例3V{}其加法定义为,数乘定义为a,则V是数域F上的线性空间.
注:V={0}对普通加法和乘法是数域F上的线性空间,称为零空间.
例4：设F是有理数域，V是正实数集合，规定,aa(,V,aF)
练习集合V对规定的,是否作成数域F上的线性空间？
VFn,(a1,a2,,an)(b1,b2,,bn)
(a1b1,a2b2,,anbn),
a(a1,a2,,an)(0,0,,0)
解显然V对,满足条件1)—7)，但对任意的
(a1,a2,,an)Fn
有1(a1,a2,,an)(0,0,,0)(a1,a2,,an),
故集合V对规定的不作成数域F上的线性空间.
由此例可以看出,线性空间定义中的条件8)是独立的,它不能由其他条件推出.
二、线性空间的简单性质
1、线性空间V的加法和纯量乘法有以下基本性质.
Th5.2.1
1)V的零向量唯一，V中每个向量的负向量是唯一的.
2)()
证明：1)设01,02是V的两个零向量，则01010202.
设1,2是的负向量,则有
10,20,
于是1101(2)(1)2022
*由于负向量的唯一性,以后我们把的唯一负向量记作.
2)因()0,所以().
3)*我们规定:(),且有.
定理5.2.2对F的任意数a,b和V中任意向量,,则有
1)000.
2)a()(a)a,特别地,(1).
3)a0a0或0.
4)a()aa,(ab)ab.
证明:1)因为0(00)00.所以00.类似地可证00.
2)因为aa()a(())a00所,以a()是a的负向量,即a()a.
同理可证(a)a.
1
3)设a0,如果a0,则有a1F,于是
1a(1a)1a(a)1a00.
4)a()a(())aa()aa,
(ab)(a(b))a(b)ab.
注:线性空间的定义中1与定理5.2.2的性质3)在其他条件不变的情况下等价.
事实上,由线性空间的定义可推出定理5.2.2的性质3).
反之,由线性空间定义中的条件1)—7)及定理5.2.2的性质3)可推得1
1(1)1(1())
因为1(1)1()(11)(1)
1(1)0,
由性质3)10所,以1.
课堂讨论题：检验以下集合对于指定的线性运算是否构成相应数域上的线性空间：
1)起点在原点，终点在一条直线上的空间向量的全体作成的集合V，按通常集合向量的
加
法及数乘运算；
2)V1{(x1,x2,,xn)x1x2xn1,xiF}
V
2
{(x
1
,x
2
,,x
n
)x
1
x
2
x
n
0,x
i
F}
按通常数域F上n维向量的加法及乘法运算；
3)V3{XTr(X)0,XFnn}
V3{数域F上n阶对称与反对称方阵的全体}
按通常数域F上矩阵的加法及乘法运算；
4)V
5
{a
1
xa
3
x3a
2n1
x2n1a
i
F}
V6{a0a1xa2x2an1xn1a0a1an11,aiF}
按通常数域F上多项式的加法及数乘运算；
5)全体实数R的集合按通
常数的加法与乘法运算是否构成复数域C上线性空间？
全体复数域C的集合按通常数的加法与乘法运算是否构成实数域R上线性空间？
6)数域F上的n阶方阵全体，按通常数与矩阵乘法，但加法定义为
ABABBA
三、子空间
1、子空间的定义
定义2：子空间的定义：V是F上一个线性空间，W是V的一个非空子集，如果W
对V的加法和FV到V的纯量乘法，也作成F上的一个线性空间，则称W是V
的子空间。
例5：Fn[x]是F[x]的子空间.
例6：V是它本身的一个子空间.{0}也是V的子空间.
V和零空间叫做V的平凡子空间，V的其他子空间叫做V的真子空间
2、子空间的判断：
Th5.2.3设V是数域F上的线性空间,W是V的一个非空子集，则W是V的
子空间的充要条件：
1),V,有V
2)aF,V有aW
证明：
(1)W对加法封闭,即对任意,W,有W.
(2)W对纯量乘法封闭,即对任意aF,W,有aW.
证明:必要性.设W是V的子空间,则V的加法是W的代数运算,从而W对V的加
法封闭;另外,FV到V的纯量乘法也是FW到W的纯量乘法,因此W对纯量乘
法也封闭.
充分性.由于W对V的加法封闭,对FV到V的纯量乘法封闭,所以V的加法
是W的代数运算,FV到V的纯量乘法也是FW到V的纯量乘法的代数运算.
线性空间定义中的算律1),2),5),6),7),8)对V中任意向量都成立,自然对W的向量
也成立.由W对纯量乘法的封闭性和定理5.2.2,对于W,00W,所以V中的零向量
属于W,
它自然也是W的零向量,并且(1)W,因此条件3)和条件4)也成立,故W是
V的子空间.
推论1：W是V的一个非空子集，则W是V的子空间的充要条件：
a,bF,,W有abW
3、生成子空间
例7：设1,2,,n是数域F上的线性空间V的一组向量.
L(1,2,,n){a11a22ann|aiF}
则L(1,2,,n)作为V的一个子空间
事实上,取ai0(i1,2,,n),于是0010
20nL(1,2,,n),
又因(a11a22ann)(b11b22bnn)
(a1b1)1(a2b2)2(anbn)n)L(1,2,,n)a(a11a22ann)
(aa1)1(aa2)2(aan)nL(1,2,,n),
所以L(1,2,,n)作成V的一个子空间
L(1,2,,n)称为由1,2,,n生成的子空间,
1
,
2
,,
n称为它的一组生成元.
4、子空间的交与并
所以L(1,2,,n).
Th4:W
1
,W
2
是V的两个子空间，则W
1
W
2
仍是V的子空间.(问W
1
W
2
是否为V的
子空间.)
证明:因为W1,W2是V的两个子空间，所以0W1,0W2,从而0W1W2,于是
W1W2.
对任意a,bF,,W1W2,
有abW1,abW2,因而abW1W2,所以W1W2是V的子空间.
推广：若W1，W2Wn是V的子空间，则Wi(i1,2,n)也是V的子空间.
例：A是一个n阶矩阵，S(A)={BMn[F]|AB=BA}则S(A)是Un[F]的一个子
空间.
证：IAAIIS(A)
B1,B2S(A),于是AB1B1A，AB2B2A
又
A(kB1lB2)kAB1lAB2kB1AlB2A(kB1lB2)A
kB1lB2S(A)
2.两个子空间的并则不一定是子空间.(W1W2={|W1或W2})
例：设V1，V2是V的两个子空间，证明V1V2是V的子空间的充要条件是V1
V2或V2V1.
证：“”（充分性）当V1V2时V1V2=V2
当V2V1时V1V2=V1
由已知V1，V2均为V的子空间.
“”（反证）设V1V2是V的子空间，且V1V2，V2V1，则存在V1，V2，
也存在V1，V2，由于,V1V2且V1V2是V的子空间，因而
V1V2，于是V1或V2，故有V1或V2与V2且
V1矛盾
因此V1V2或V2V1