弯矩的计算公式
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2023年2月19日发(作者：洗涤剂)材料力学讲义
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第17讲教学方案
——弯曲正应力
基
本
内
容
梁纯弯曲和横力弯曲时横截面上的正应力
教
学
目
的
1、掌握梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导过程，理解推导
中所作的基本假设。
2、理解横力弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度。
3、掌握中性层、中性轴和翘曲等基本概念和含义。
重
点
、
难
点
本节重点：纯弯曲时横截面上正应力公式的推导和计算。
本节难点：横力弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度。
第十七讲
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第七章弯曲应力
§7-1纯弯曲正应力
梁的横截面上同时存在剪力和弯矩时，这种弯曲称为横
弯曲。剪力Q是横截面切向分布内力的合力；弯矩M是横
截面法向分布内力的合力偶矩。所以横弯梁横截面上将同时
存在剪应力和正应力。实践和理论都证明，其中弯矩是
影响梁的强度和变形的主要因素。因此，我们先讨论Q=0，
M=常数的弯曲问题，这种弯曲称为纯弯曲。图6-1所示梁
的CD段为纯弯曲；其余部分则为横弯曲。
与扭转相似，分析纯弯梁横截面上的正应力，同样需要
综合考虑变形、物理和静力三方面的关系。
1．变形关系——平面假设
考察等截面直梁。加载前在梁表面上画上与轴线垂直的
横线，和与轴线平行的纵线，如图6-2a所示。然后在梁的
两端纵向对称面内施加一对力偶，使梁发生弯曲变形，如图
图6-2b所示。可以发现梁表面变形具有如下特征：
（1）横线（m-m和n-n）仍是曲线，只是发生相对转
动，但仍与纵线（如a-a，b-b）正交。
（2）纵线（a-a和b-b）弯曲成曲线，且梁的一侧伸长，
另一侧缩短。
根据上述梁表面变形的特征，可以作出以下假设：梁变
形后，其横截面仍保持平面，并垂直于变形后梁的轴线，只
是绕着梁上某一轴转过一个角度。与扭转时相同，这一假设
也称平面假设。
此外，还假设：梁的各纵向层互不挤压，即梁的纵截
面上无正应力作用。
根据上述假设，梁弯曲后，其纵向层一部分产生伸长变
形，另一部分则产生缩短变形，二者交界处存在既不伸长也
不缩短的一层，这一层称为中性层。如图6-3所示。中性层
与横截面的交线为截面的中性轴。
材料力学讲义
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横截面上位于中性轴两侧的各点分别
承受拉应力或压应力；中性轴上各点的应力为
零。
下面根据平面假设找出纵向线应变沿截面
高度的变化规律。
考察梁上相距为dx的微段（图6-4a），其
变形如图6-4b所示。其中x轴沿梁的轴线，y
轴与横截面的对称轴重合，z轴为中性轴。则距
中性轴为y处的纵向层a-a弯曲后的长度为
dy)(，其纵向正应变为
y
d
ddy
)(
（a）
式（a）表明：纯弯曲时梁横截面上各点的纵向
线应变沿截面高度线性分布。
2．物理关系
根据以上分析，梁横截面上各点只受正应力作用。再考虑到纵向层之间互不挤压的假设，
所以纯弯梁各点处于单向应力状态。对于线弹性材料，根据胡克定律
E
于是有
y
E
（b）
式中E、均为常数，上式表明：纯弯梁横截面上
任一点处的正应力与该点到中性轴的垂直距离y成
正比。即正应力沿着截面高度按线性分布，如图6-4d
所示。
式（b）还不能直接用以计算应力，因为中性层
的曲率半径以及中性轴的位置尚未确定。这要
利用静力关系来解决。
3．静力关系
弯矩M作用在x-y平面内。截面上坐标为y、z
的微面积dA上有作用力dA。横截面上所有微面
积上的这些力将组成轴力N以及对y、z轴的力矩
第十七讲
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My和Mz：
A
dAN（c）
A
y
dAzM（d）
A
z
dAyM（e）
在纯弯情况下，梁横截面上只有弯矩MM
z
，而轴力N和
y
M
皆为零。
将式（b）代入式（c），因为0N，故有
0z
AA
S
E
ydA
E
ydA
E
N
其中
A
z
ydAS
称为截面对z轴的静矩。因为0
E
，故有0
z
S。这表明中性轴z通过截面形心。
将式（b）代入式（d），有
0yz
AA
y
I
E
yzdA
E
dAyz
E
M
其中
A
yz
yzdAI
称为截面对y、z轴的惯性积。使
0
yz
I
的一对互相垂直的轴称为主轴。由于y轴为横截面
的对称轴，对称轴必为主轴，而z轴又通过横截面形心，所以y、z轴为形心主轴。
将式（b）代入式（e），有
MI
E
dAy
E
dAy
E
M
z
AA
z
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得到
z
EI
M
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（6-1）
其中
材料力学讲义
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A
z
dAyI2
称为截面对z轴的惯性矩；
z
EI称为截面的抗弯刚度。式（6-1）表明，梁弯曲的曲率与弯矩
成正比，而与抗弯刚度成反比。
将式（6-1）代入（b），得到纯弯情况下的正应力计算公式
z
I
yM
（6-2）
上式中正应力
的正负号与弯矩M及点的坐标y的正负号有关。实际计算中，可根据截面
上弯矩M的方向，直接判断中性轴的哪一侧产生拉应力，哪一侧产生压应力，而不必计及M
和y的正负。
§7-2横弯曲正应力
梁在横弯曲作用下，其横截面上不仅有正应力，还有剪应力。由于存在剪应力，横截面不再
保持平面，而发生“翘曲”现象。进一步的分析表明，对于细长梁（例如矩形截面梁，5/hl，
l为梁长，h为截面高度），剪应力对正应力和弯曲变形的影响很小，可以忽略不计，式（6-1）
和（6-2）仍然适用。当然式（6-1）和（6-2）只适用于材料在线弹性范围，并且要求外力满足平
面弯曲的加力条件：对于横截面具有对称轴的梁，只要外力作用在对称平面内，梁便产生平面弯
曲；对于横截面无对称轴的梁，只要外力作用在形心主轴平面内，实心截面梁便产生平面弯曲。
（薄壁截面梁产生平面弯曲的加力条件见§6-5）
上述公式是根据等截面直梁导出的。对于缓慢变化的变截面梁，以及曲率很小的曲梁
（
2.0/
0
h，
0
为曲梁轴线的曲率半径）也可近似适用。