几何不等式

几何不等式

儿童算术-芸豆的功效与作用

2023年2月19日发(作者：嘉兴国际会展中心)

第八讲几何不等式（2）

例1（1996年第37届IMO备选题）

设△ABC是等边三角形，P是其内部一点，线段AP、BP、CP依次交三边

BC、CA、AB于A

1

、B

1

、C

1

三点．证明：

A

1

B

1

·B

1

C

1

·C

1

A

1

≥A

1

B·B

1

C·C

1

A.

例2（1997年IMO预选题）

设ABCDEF是凸六边形，且AB=BC,CD=DE,EF=FA.证明：

2

3

FC

FA

DA

DE

BE

BC

并指出等式在什么条件下成立？

例3.（1999年保加利亚数学奥林匹克）

面积为S的凸四边形ABCD内接于一圆，圆心在四边形内部，证明：以该

四边形对角线交点在四边上的射影为顶点的四边形面积不超过

1

2

S．

例4．(1996年IMO)

设ABCDEF为凸六边形，且AB平行于ED，BC平行于FE，CD平行于

AF.设R

A

，Rc，R

E

分别表示△FAB，△BCD及△DEF的外接圆半径，P表示六

边形的周长．

证明：

2

P

RRR

ECA

例5．设P是ABC内的一个点，SRQ,,分别是CBA,,与P的连线与对边的交点

（如图），求证：

ABCQRS

SS





4

1

.（QRS是塞瓦三角形）

分析：利用补集思想，证明

ABCCQRBSQASR

SSSS





4

3

证明1：令

RA

CR

QC

BQ

SB

AS

,,

，则由塞瓦定理

1

则

)1)(1(

















ACAB

ARAS

S

S

ABC

ASR

同理

)1)(1(

















ABBC

BSBQ

S

S

ABC

BSQ

)1)(1(

















ABBC

CRCQ

S

S

ABC

CQR

只要证明

ABCCQRBSQASR

SSSS





4

3

即

4

3

)1)(1()1)(1()1)(1(























只要证0)()(6只要证

0)]()

111

[(6



显然6)()

111

(



，当

1

2

时取等号，

此时P是ABC的重心

证明2：设zSySxS

PABPBCPAC





,,，则

z

x

QB

QC

y

z

RC

RA

x

y

SA

SB

,,

))((yzyx

xz

ACAB

ARAS

S

S

ABC

ASR













同理

))((xzxy

yz

ABBC

BSBQ

S

S

ABC

BSQ















))((zyzx

xy

ABBC

CRCQ

S

S

ABC

CQR















只要证明

ABCCQRBSQASR

SSSS





4

3

S

R

Q

P

C

B

A

即

4

3

))(())(())((











zyzx

xy

xzxy

yz

yzyx

xz

通分整理

3

()()()()()()

4

xzxzyzyzxyxyxyyzzx

即2222

3

()()()()()()

4

xyzyzxzxyxyyzzx

3

2226

4

xyyzzxxyz

只要证

xyzyxzzyxzxy6)()()(222

事实上

)()()(222yxzzyxzxy)()(222222zxyzxyxzzyyx

xyzxyzxyzzxyzxyxzzyyx633333

222

3

222

当且仅当zyx时取等号，此时P是ABC的重心

证明3：令,,

ASBQCR

ABBCCA

，且)1,0(,,

则1,1,1

BSCQAR

ABBCCA



由塞瓦定理得)1)(1)(1(

整理得()12

)1(











ACAB

ARAS

S

S

ABC

ASR同理)1(











ABBC

BSBQ

S

S

ABC

BSQ

)1(











ABBC

CRCQ

S

S

ABC

CQR

只要证

4

3

)1()1()1(

事实上(1)(1)(1)()12

))1(2)1(2)1(2(

4

1

1)1)(1)(1(21

4

3

4

1

1

当且仅当

2

1



时取等号，此时SRQ,,是中点，P是ABC的重心

例6P为△ABC内一点，D、E、F分别为P到BC、CA、AB

各边所引垂线的垂足，求使

PF

AB

PE

CA

PD

BC

为最小值的点P。

略证如图，设△ABC的面积为S，则BC·PD+CA·PE+AB·PF=2S。运用

柯西不等式有

)(

2

PFABPECAPDBC

PF

AB

PE

CA

PD

BC

PFAB

PF

AB

PECA

PE

CA

PDBC

PD

BC





































PF

AB

PE

CA

PD

BC

≥

S

ABCABC

2

)(2

。

且易知当“=”成立时PD=PE=PF，即P为内心。

例7过△ABC内一点O引三边的平行线，DE∥BC,FG∥CA,HI∥AB,点D、

E、F、G、I都在△ABC的边上，表示六边形DGHEFI的面积，表示△ABC

的面积。

求证：

12

2

3

SS。

证明：如图8。

设△ABC三边长分别为a、b、c，IF=x，

EH=y，DG=z，则依题意有△OHE∽△BAC,

yOECF

baa

（易知OE=CF）同理

zBI

ca

，

所以，1

xyzIFCFBI

abca





由柯西不等式

222

2

222

(111)3()

xyzxyz

abcabc

，从而

A

B

C

P

D

E

F

例8△ABC中，点A、B、C在边BC、CA、AB上的投影分别为D、E、F，

点A、B、C在边EF、FD、DE上的投影分别为P、Q、R．记DEFPQRABC、、

的周长分别为

321

ppp、、证明：2

321

ppp

例9（Erdos-mordell不等式）

求证：三角形中任一点到三顶点距离之和不小于此点到三边距离之和的二倍，

F

E

D

C

B

A

例10.如图，设I是△ABC的内心，延长AI、BI、CI分别与△ABC外接圆交

于点A

1

、B

l

、C

1

.

求证：A

l

I+B

1

I+C

1

I≥AI+BI+CI.①

例11圆内接六边形ABCDEF中，AB=BC，CD=DE，EF=FA

求证：AB+BC+CD+DE+EF+FAAD+BE+CF

略证设BE交DF于L，

则∠FLB=90)(

2

1

CBDCFE，

即BL是△BFD的高。

又设AD，CF分别交BF、BD于N、M，

则DN、FM分别为BF、BD上的高，

因此，BL、DN、FM交于一点，此点就是△BFD的垂心H，

由于∠HDL=∠EDL，∠HLD=∠ELD=90°，HL=EL，△HDL≌△EDL，则

HE=HL+LE+2HL，HD=DE，同理，HC=2HM，HA=2HN，HB=BC，HF=AF，

由埃德斯——莫德尔不等式有HB+HD+HF≥2(HL+HN+HM)=HE+HA+HC

因此，2(HB+HD+HF)≥AD+BE+CF，故结论成立

例12求证：△ABC的内心I到各顶点的距离之和不小于重心G到各边距离之

和的2倍。

5．设G到各边距离为

123

,,,

333

abc

hhh

rrr由,,,

abc

hAIrhBIrhCIr（r

为内切圆半径），得

123

11

()()

33abc

rrrhhhAIBICIr

又

111

(3)()

332

rrAIBICI（艾尔多斯——莫德尔不等式）。故

即AI+BI+CI≥2(r

1

+r

2

+r

3

)

例13设P是△ABC内一点．求证：、PABPCAPBC、中至少有一个小于

或等于300．