茸一中学
-
2023年2月15日发(作者：)专题02线段的垂直平分线和角平分线重难点专练（学生版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1
．（
2020·
上海市曹杨第二中学附属学校八年级期中）如图，D为BAC的外角平分线
上一点，过D作DEAC于E，DFAB交BA的延长线于F，且满足
FDEBDC，则下列结论：
①CDE①BDF；
①CEABAE；
①
BDCBAC；
①DAFCBD．其中正确的结论有（）．
A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个
2
．（
2021·
上海金山区
·
八年级期末）下列命题中，是假命题的是（）
A
．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
B
．每个命题都有逆命题；
C
．每个定理都有逆定理；
D
．在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
3
．（
2021·
上海市康城学校八年级期末）下列命题的逆命题是真命题的是（）．
A
．若ab，则
abB
．同位角相等，两直线平行
C
．对顶角相等
D
．若0a，0ba，则0ab
4
．（
2021·
上海八年级期末）下列命题中，是真命题的是（）
A
．三角形的外角大于三角形的任何一个内角
B
．线段的垂直平分线上的任一点与该线段两个端点能构成等腰三角形
C
．三角形一边的两个端点到这边上的中线所在的直线的距离相等
D
．面积都相等的两个三角形一定全等
5
．（
2020·
上海市曹杨第二中学附属学校八年级期中）下列定理中，没有逆定理的是
（）．
A
．两直线平行，同旁内角互补
B
．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等
C
．等腰三角形两个底角相等
D
．同角的余角相等
6
．（
2019·
上海全国
·
八年级课时练习）如图，在
①ABC
中，
AD
平分
①BAC
，
DE①AB
于
E
，
ABC
S
=15
，
DE=3
，
AB=6
，则
AC
长是
()
A
．
4B
．
5C
．
6D
．
7
7
．（
2020·
上海闵行区
·
八年级期中）如图，在
①ABC
中，
①ACB
＝
90°
，
CH①AB
，垂足
为点
H
，
AD
平分
①BAC
，与
CH
相交于点
D
，过点
D
作
DE①BC
，与边
AB
相交于点
E
，
那么下列结论中一定正确的是（）
A
．
DA=DEB
．
AC=ECC
．
AH
＝
EHD
．
CD
＝
ED
8
．（
2019·
上海市市西初级中学八年级期末）下列命题中，逆命题是真命题的是（）
A
．全等三角形的对应角相等；
B
．同旁内角互补，两直线平行；
C
．对顶角相等；
D
．如果
0,0ab
，那么0ab
9
．（
2019·
上海七年级期末）如图，下面是利用尺规作
①AOB
的角平分线
OC
的作法，
在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（）
A
．
ASAB
．
SASC
．
SSSD
．
AAS
10
．（
2020·
上海市静安区实验中学八年级课时练习）如果三角形二条边的中垂线的交点
在第三条边上，那么，这个三角形是（）
A
．直角三角形
B
．锐角三角形
C
．钝角三角形
D
．等边三角形
11
．（
2020·
上海市云岭实验中学八年级月考）如图，已知ABC，求作一点P，使P点
到
CAB
的两边的距离相等，且PAPB．下列确定P点的方法正确的是（）
A
．P为
CAB
，ABC两角平分线的交点
B
．P为
CAB
的平分线与AB的垂直平分线的交点
C
．P为AC，AB两边上的高的交点
D
．P为AC，AB两边的垂直平分线的交点
12
．（
2019·
上海全国
·
八年级课时练习）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上
建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）
A
．
①ABC
的三条中线的交点
B
．
①ABC
三边的中垂线的交点
C
．
①ABC
三条角平分线的交点
D
．
①ABC
三条高所在直线的交点
.
13
．（
2020·
上海虹口区
·
九年级二模）已知在
ABC
中，小明按照下列作图步骤进行尺规
作图（示意图与作图步骤如表），那么交点
O
是
①ABC
的（）
示意图作图步骤
（
1
）分别以点
B
、
C
为圆心，大于
1
2
BC
长为
半径作圆弧，两弧分别交于点
M
、
N
，联结
MN
交
BC
于点
D
；
（
2
）分别以点
A
、
C
为圆心，大于
1
2
AC
长为
半径作圆弧，两弧分别交于点
P
、
Q
，联结
PQ
交
AC
于点
E
；
（
3
）联结
AD
、
BE
，相交于点
O
A
．外心
B
．内切圆的圆心
C
．重心
D
．中心
14
．（【新东方】初中数学
1234
初二上）如图在ABC中，ABC和
ACB
的平分线
交于点G，过点G作
//EFBC
交AB于E，交AC于F，过点G作GDAC于D，
下列四个结论：其中正确的结论有（）个．
①EFBECF；
①90BGCA；
①
点G到ABC各边的距离相等；
①
设GDm,AEAFn，则
AEF
Smn
△
；
①AEF的周长等于
ABAC
的和．
A
．
1B
．
2C
．
3D
．
4
15
．（【新东方】初中数学
1222
初二上）如图，在ABC中，
45,ABCADBE,
分
别为
,BCAC
边上的高，
,ADBE
相交于点F，连接CF，则下列结论：
①BFAC；
①FCDDAC；
①CFAB；
①
若2BFEC，则FDC△周长等于AB的长．其
中正确的有（）
A
．
①①B
．
①①①C
．
①①D
．
①①①
二、解答题
16
．（
2020·
上海市曹杨第二中学附属学校八年级期中）如图，在ABC中，
2ACBB，BAC平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过H作直
线lAO于H，分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M．
（
1
）当直线l经过点C时（如图
2
），求证：BNCD；
（
2
）当M是线段BC的中点时，写出线段CE和线段CD之间的数量关系，并证明；
（
3
）请直接写出BN、CE和CD之间的数量关系．
17
．（
2020·
上海同济大学附属实验中学）如图，
①ABC
中，
AB
＝
AC
，
①BAC
＋
①BDC=180°
．
（
1
）求证：
AD
为
①BDC
的平分线；
（
2
）若
①DAE=
1
2
①BAC
，且点
E
在
BD
上，直接写出
BE
、
DE
、
DC
三条线段之间的
等量关系
_______
．
18
．（
2019·
上海外国语大学秀洲外国语学校八年级期中）如图，
A
、
B
两村在一条小河
的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水
（
1
）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？
（
2
）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？
请用尺规作图，将上述两种情况下的自来水厂厂址分别在图（
1
）（
2
）中标出，并保留
作图痕迹．
19
．（
2019·
上海外国语大学附属大境初级中学八年级月考）如图，在
①ABC
中，如果
BD,CE
分别是
①ABC,①ACB
的平分线且他们相交于点
P
，设
①A=n°.
（
1
）求
①BPC
的度数（用含
n
的代数式表示），写出推理过程
.
（
2
）当
①BPC=125°
时，
①A=.
（
3
）当
n=60°
时，
EB=7
，
BC=12
，
DC
的长为
.
20
．（
2021·
上海浦东新区
·
七年级期末）如图，
AD
平分
①BAC
，
DE①AB
，
DF①AC
，垂
足分别为点
E
，
F
，
DB
＝
DC
．
（
1
）求证：
BE
＝
CF
；
（
2
）如果
BD//AC
，
①DAF
＝
15°
，求证：
AB
＝
2DF
．
21
．（
2021·
上海金山区
·
八年级期末）已知：如图，ABC中，
,,ABACBDCE
分别
是
,ACAB
上的中线，
,BDCE
相交于点O，联结
OADE,
．求证：
（
1
）OBOC；
（
2
）OA垂直平分DE．
22
．（
2019·
上海七年级单元测试）如图，直线
AB
、
CD
交于点
O
，
①AOM=90°
（
1
）如图
1
，若
OC
平分
①AOM
，求
①AOD
的度数；
（
2
）如图
2
，若
①BOC=4①NOB
，且
OM
平分
①NOC
，求
①MON
的度数
23
．（
2021·
上海八年级期末）作图：已知ABC和线段
r
，请在ABC内部作点
P
，
使得点
P
到
AC
和
BC
的距离相等，并且点
A
到点
P
的距离等于定长
r
．（不写作法，保
留痕迹）
24
．（
2020·
上海市松江区民办茸一中学八年级月考）已知：如图，在
①EBC
中，作
①EBA=①C
，
AB
交
EC
于点
A
，作
BD
平分
①ABC
交
AC
于点
B
，
F
是
BD
上一点，联结
EF
，点
G
是
EF
上一点，且有
GB=GD
．求证：
EF①BD
．
25
．（
2019·
上海同济大学实验学校八年级月考）已知点P是ABC的
BAC
平分线上
一点，连接PB，PC．
（
1
）如图
1
，若ABAC，证明：PBPC
（
2
）如图
2
，若PBPA，45ABC，2PBCPAC，证明：BPBC
（
3
）如图，若ABBCAC，点E是AC的中点，当PCPE的最小时
PE
CP
值为
______
．
26
．（
2018·
上海七年级零模）画图，并完成填空：已知直角三角形
ABC
，
①C=90°
．
（
1
）画
①ABC
的高
CD
；
（
2
）过点
B
作直线
l
平行于
AC
；
（
3
）利用尺规，画出线段
AC
的垂直平分线
EF
，交
AB
于点
E
，
AC
于点
F
．
（
4
）点
A
到点
E
的距离是线段的长，点
A
到
BC
的距离是线段的长，
直线
l
与
AC
的距离是线段的长．
27
．（
2020·
上海市静安区实验中学八年级课时练习）根据已知条件作出图形．
已知，如图，点
A
是圆
O
上一点，在圆
O
上求作一点
P
，使得
PO=PA
．
28
．（
2020·
上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，已知
①AOB
和边
OB
上一点
E
，求作：一点
P
，使
P
到
①AOB
两边的距离相等，且
OP=EP
．
29
．（
2020·
上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知：ABC，
BE
，
CD
相交于
O
，
AB
＝
AC
，
AD
＝
AE
，求证：
OB
＝
OC
30
．（
2020·
上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知：
P
是线段
AB
的中点，
①1
＝
①2
，
PD
＝
PC
，求证：
①C=①D
31
．（
2020·
上海七年级期末）如图，在
①ABC
中，
AB①BC
，
BE①AC
于
E
，
AF
平分
①BAC
交
BE
于点
F
，
DF①BC
．
（
1
）试说明：
BF
＝
DF
；
（
2
）延长
AF
交
BC
于点
G
，试说明：
BG
＝
DF
．
32
．（
2021·
黑龙江哈尔滨市
·
八年级期末）如图所示，AD是ABC的高，点
H
为AC
的垂直平分线与BC的交点，HCAB．
（
1
）如图
1
，求证：
2BC
；
（
2
）如图
2
，若2DAFBC，求证：ACBFBA；
（
3
）在（
2
）的条件下，若12AC，CF10，求DF的长．
33
．（【新东方】初中数学
1293-
初一上）已知直线AB与CD相交于点
O
．
（
①
）如图
1
，若90AOM，OC平分AOM∠，则AOD_________
．
（
①
）如图
2
，若90AOM，4BOCBON，
OM
平分CON，求MON
的大小；
（
①
）如图
3
，若AOM，4BOCBON，
OM
平分CON，求MON的
大小（用含
的式子表示）．
三、填空题
34
．（
2019·
上海浦东新区
·
）在ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交边BC于
点D、点E，
20DAE
，则BAC______°.
35
．（
2020·
上海市静安区实验中学九年级专题练习）如图
a
是长方形纸带，
①DEF=25°
，
将纸带沿
EF
折叠成图
b
，再沿
BF
折叠成图
c
，则图
c
中的
①CFE
的度数是
____________°
．
36
．（
2021·
上海奉教院附中八年级期末）我们定义：一个三角形最小内角的角平分线将
这个三角形分割得到的两个三角形它们的面积之比称为
“
最小角割比
Ω”
（1），那么
三边长分别为
7
，
24
，
25
的三角形的最小角割比
Ω
是
______
．
37
．（
2021·
上海金山区
·
八年级期末）如图，已知ABC中，90,CACBC，点
D在BC上，DEAB，点E为垂足，且DCDE，联结AD，则ADB的大小为
___________
．
38
．（
2021·
上海市康城学校八年级期末）如图，DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，
若110BAC，则DAE∠__________°
．
39
．（
2020·
上海市松江区民办茸一中学八年级月考）如图，在
①ABC
中，
①ACB=x°
，点
D
、
E
在
AB
上，且
AF
垂直平分
CD
，
BG
垂直平分
CE
．求
①ECD
的度数．（用含
x
的
代数式表示）
40
．（
2020·
上海市曹杨第二中学附属学校八年级期中）如图，在等腰三角形ABC中，DE
是AB的垂直平分线，10ABAC，且BEC△的周长是
17
，则BC______
．
41
．（
2020·
上海市澧溪中学八年级月考）已知点
P
在线段AB的垂直平分线上，连接PA、
PB，若
3PA
，则PB____
．
42
．（
2020·
上海八年级期中）如图，已知：在等腰
①ABC
中，
AB=AC
，
①BAC=120°
，
AD①BC
于点
D
，点
P
是
BA
延长线上一点，点
O
是线段
AD
上一点，
OP=OC
，下面的
结论：
①①APO=①ACO
；
①①APO+①PCO=90°
；
①PC=PO
；
①AO+AP=AC
，其中正确的
个数有
_____________
．（填上所有正确结论的序号）
43
．（
2021·
上海九年级专题练习）请写出命题
“
直角三角形的两个锐角互余
”
的逆命题：
__________
．
44
．（
2020·
上海市静安区实验中学八年级课时练习）到已知角两边距离相等的点的轨迹
是
______
．
45
．（
2020·
上海市静安区实验中学八年级课时练习）到定点的距离等于定长的点的轨迹
是
______
．
46
．（
2020·
上海市静安区实验中学八年级课时练习）底边为定长的等腰三角形的顶点的
轨迹是
______
．
47
．（
2020·
上海市静安区实验中学八年级课时练习）在
Rt①ABC
中，斜边
AB
的垂直平
分线交
BC
边于点
E.
若
①B=15°
，则
①CAE=______°
．
48
．（
2020·
上海市静安区实验中学八年级课时练习）命题
“
在一个三角形中，等边对等
角
”
的逆命题为
______
49
．（
2019·
上海市松江区九亭中学七年级期中）如图，直线EF分别与直线AB、CD
相交于点M、N，且12，MO、NO分别平分BMF和EMD，则MON为
________
三角形
50
．（
2020·
上海浦东新区
·
七年级期末）如图，在
①ABC
中，
AB
＝
6
，
AC
＝
9
，
BO
、
CO
分别是
①ABC
、
①ACB
的平分线，
MN
经过点
O
，且
MN//BC
，
MN
分别交
AB
、
AC
于
点
M
、
N
，则
①AMN
的周长是
_____
．