衡阳市第六中学
-
2023年2月15日发(作者：)试卷第1页，共6页
湖南省衡阳市第八中学2022届高三下学期第六次月考（开
学考试）数学试题
学校
:___________
姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
一、单选题
1
．已知集合0.5
log21Axyx
，集合3420xBx
，则
AB
等于
（）
A
．,1
B
．
12
,
23
C
．1,
D
．
2
,1
3
2
．若
32
ai
i
为纯虚数，则实数
a
的值为（）
A
．
3
2
B
．
2
3
C
．
2
3
D
．
3
2
3
．下列有关命题的说法正确的是
()
A
．若
abab
，则
ab
B
．
“
3
sin
2
x
”
的一个必要不充分条件是
“
3
x
”
C
．若命题
p
：
0
xR，0e1x，则命题
p
：xR，
e1x
D
．
、
是两个平面，
m
、
n
是两条直线，如果
mn
，
m
，
n
，那么
4
．定义：在数列
n
a
中，若满足21
1
nn
nn
aa
d
aa
(*nN
，
d
为常数
)
，称
n
a
为
“
等差比
数列
”
，已知在
“
等差比数列
”
n
a
中，
12
1aa
，
3
3a
，则2021
2019
a
a
等于（）
A
．2420171
B
．2420181
C
．2420191
D
．2420201
5
．已知,,0,1abc
，且2
ln3
2ln1
3
aa
，2
1
2ln1bb
e
，2
ln
2ln1cc
，
则（）
A
．
cbaB
．
acbC
．abcD
．
cab
6
．如图，在正四棱柱
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1中，
AA
1＝
2
，
AB
＝
BC
＝
1
，动点
P
，
Q
分别在
线段
C
1
D
，
AC
上，则线段
PQ
长度的最小值是
()
．
试卷第2页，共6页
A
．
2
3
B
．
3
3
C
．
2
3
D
．
5
3
7
．已知
1
,0Fc
、
2
,0Fc
是双曲线
22
22
:1
xy
C
ab
（
0a
，
0b
）的左、右焦点，
1
F
关于双曲线的一条渐近线的对称点为P，且点P在抛物线24ycx
上，则双曲线的离心
率为（）
A
．
21
B
．
2C
．
5
D
．
51
2
8
．已知定义在R上的函数fx
满足22fxfx
，当
2x
时，xfxxe
．若
关于
x
的方程22fxkx
有三个不相等的实数根，则实数
k
的取值范围是
（）
A
．1,00,1
B
．1,01,
C
．,00,ee
D
．,0,ee
二、多选题
9
．某学校为研究高三学生的考试成绩，根据高三第一次模拟考试在高三学生中随机抽
取
50
名学生的思想政治考试成绩绘制成频率分布直方图如图所示，已知思想政治成绩
在80,90
的学生人数为
15
，把频率看作概率，根据频率分布直方图，下列结论正确的
是（）
A
．0.03a
B
．
0.034b
C
．本次思想政治考试平均分为
80
D
．从高三学生中随机抽取
4
人，其中
3
人成绩在90,100
内的概率为
3
3
4
C0.1610.16
10
．已知函数2
333
43sincos4sin2
222
xfxxx
，则下列说法正确的是（）
A
．函数fx
的周期为
2π
3
B
．函数fx
图象的一条对称轴为直线
试卷第3页，共6页
π
9
x
C
．函数fx
在
10π
,π
9
上单调递增
D
．函数fx
的最小值为4
11
．已知抛物线22(0)ypxp
的焦点为F，过点F的直线
l
交抛物线于
,AB
两点，以
线段
AB
为直径的圆交
y
轴于
,MN
两点，设线段
AB
的中点为P，则下列说法正确的
是（）
A
．若抛物线上的点
(2,)Et
到点F的距离为4，则抛物线的方程为24yx
B
．以
AB
为直径的圆与准线相切
C
．线段
AB
长度的最小值是
2p
D
．
sinPMN
的取值范围为
1
[,1)
2
12
．如图，已知菱形ABCD中，2AB，
120BAD
，
E
为边
BC
的中点，将
△
ABE
沿
AE
翻折成
△
1
ABE
（点
1
B
位于平面ABCD上方），连接
1
BC
和
1
BD
，
F
为
1
BD
的中
点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）
A
．平面1
ABE平面
1
BEC
B
．
1
AB
与
CF
的夹角为定值
3
C
．三棱锥
1
BAED
体积最大值为
23
3
D
．点
F
的轨迹的长度为
2
三、填空题
13
．已知4
01
211xaax234
234
111axaxax
，则
2
a
__________
．
14
．过抛物线
C:2yx
上的一点
M(
非顶点
)
作
C
的切线与
x
轴､
y
轴分别交于
A
､
B
两
点，则
MA
MB
______.
15
．某种游戏中，黑､黄两个
“
电子狗
”
从棱长为
1
的正方体
1111
ABCDABCD
的顶点A
试卷第4页，共6页
出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为
“
爬完一段
”.
黑
“
电子狗
”
爬行的路线是
111
AAAD
，黄
“
电子狗
”
爬行的路线是
1
ABBB
，它们都遵循如下规则：
所爬行的第
2i
段与第i段所在直线必须是异面直线
(
其中i是正整数
).
设黑
“
电子狗
”
爬
完
2008
段､黄
“
电子狗
”
爬完
2009
段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑､黄
“
电
子狗
”
间的距离是
___________.
16
．设方程1110xme
的两根分别为
1
x
，
212
xxx
，方程
10xem
的两
根分别为
3
x
，
434
xxx
，若
1
0,
2
m
，则
4132
xxxx
的取值范围为
____________.
四、解答题
17
．已知函数2
133
sincoscos1
224
fxxxx
(xR)
（
1
）求fx
的最小正周期；
（
2
）求fx
在区间
,
63
上的最大值和最小值，并分别写出相应的
x
的值
.
18
．已知数列
n
a
为等比数列
,
数列
n
b
满足
2
log
nn
ba
,
且
45
1ab
.
设
n
S
为数列
n
b
的前
n
项和
.
（
1
）求数列
n
a
､
n
b
的通项公式及
n
S
;
（
2
）若数列
n
c
满足n
nn
S
ca
n
,
求
n
c
的前
n
项和
n
T.
19
．如图，在直角梯形ABCD中，
//ABDC
，
90BAD
，
4AB
，
2AD
，
3DC
，点E在CD上，且2DE，将
ADE
沿
AE
折起，使得平面ADE平面
ABCE(
如图
)
，
G
为
AE
中点
.
（
1
）求证：
DG
平面
ABCE
；
（
2
）求四棱锥
DABCE
的体积；
（
3
）在线段BD上是否存在点P，使得
//CP
平面
ADE
？若存在，求
BP
BD
的值；若不
存在，请说明理由
.
试卷第5页，共6页
20
．平面直角坐标系
xOy
中，椭圆
C
：22
22
10
xy
ab
ab
＞＞的离心率是
3
2
，抛物线
E
：22xy
的焦点
F
是
C
的一个顶点．
（
△
）求椭圆
C
的方程；
（
△
）设
P
是
E
上的动点，且位于第一象限，
E
在点
P
处的切线
l
与
C
交与不同的两点
A
，
B
，线段
AB
的中点为
D
，直线
OD
与过
P
且垂直于
x
轴的直线交于点
M
．
（
i
）求证：点
M
在定直线上
;
（
ii
）直线
l
与
y
轴交于点
G
，记
PFG△
的面积为
1
S
，
PDM△
的面积为
2
S，求1
2
S
S
的最
大值及取得最大值时点
P
的坐标．
21
．
2021
年
6
月
17
日
9
时
22
分，我国酒泉卫星发射中心用长征2F遥十二运载火箭，
成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波
3
名航天
员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站．某公司负
责生产的
A
型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛．该公司为了
将
A
型材料更好地投入商用，拟对
A
型材料进行应用改造、根据市场调研与模拟，得
到应用改造投入
x(
亿元
)
与产品的直接收益
y(
亿元
)
的数据统计如下：
序号1112
x2346815
y46068.56867.56665
当
017x
时，建立了
y
与
x
的两个回归模型：模型
△
：
4.1109
ˆ
.yx
，模型
△
：
ˆ
21.314.4yx；当
17x
时，确定
y
与
x
满足的线性回归方程为
ˆˆ
0.7yxa
．
(1)
根据下列表格中的数据，比较当
017x
时模型
△
，
△
的相关指数2R的大小，并选
择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对
A
型材料进行应用改造的投入为
17
亿元时的
试卷第6页，共6页
直接收益；
回归模型模型△模型△
回归方程
4.1109
ˆ
.yxˆ
21.314.4yx
7
2
1
ˆ
ii
i
yy
79.1320.2
(2)
为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于
20
亿元时，国家给予公司补贴
5
亿元，
以回归方程为预测依据，根据
(1)
中选择的拟合精度更高更可靠的模型，比较投入
17
亿
元与
20
亿元时公司收益
(
直接收益＋国家补贴
)
的大小．
附：刻画回归效果的相关指数
2
2
1
2
1
ˆ
1
n
ii
i
n
i
i
yy
R
yy
，且当2R越大时，回归方程的拟合
效果越好．用最小二乘法求线性回归方程
ˆ
ˆˆ
ybxa的截距：
ˆ
ˆ
aybx．
174.1
22
．设函数
f(x)=ax2-a-lnx
，其中
a△
R.
（
I
）讨论
f(x)
的单调性；
（
II
）确定
a
的所有可能取值，使得1
1
()xfxe
x
在区间（
1
，
+∞
）内恒成立
(e=2.718…
为自然对数的底数
)
．
答案第1页，共20页
参考答案：
1
．
B
【解析】
【分析】
由对数函数及指数函数的性质可化简集合，利用交集的定义即求
.
【详解】
由题意得
0.5
log210x
，即
0.50.5
log21log1x
，
根据对数函数的单调性得
0211x
，解得
1
1
2
x
，
所以集合
1
1
2
Axx
，
解不等式3420x
得
2
3
x
，故集合
2
3
Bxx
，
所以
12
,
23
AB
.
故选：
B
．
2
．
C
【解析】
先化简复数，再利用纯虚数的定义求解
.
【详解】
由题得
()(32)(32)(23)
32(32)(32)13
aiaiiaai
iii
，
因为
32
ai
i
为纯虚数，
则
320
(23)0
a
a
，所以
2
3
a
.
故选：
C
【点睛】
结论点睛：复数
(,)zabiabR
则
0a
且
0b
，不要漏掉了
0b.
3
．
C
【解析】
【分析】
A
：根据向量加法的性质即可判断；
B
：根据充分条件的概念即可判断；
答案第2页，共20页
C
：根据含有一个量词的命题的否定的改写方法判断即可；
D
：根据空间线面关系即可判断
.
【详解】
A
：若
abab
，则,ab方向相反且
ab
，故
A
错误；
B
：若
3
x
，则
3
sin
2
x
，故
“
3
x
”
是
“
3
sin
2
x
”
的充分条件，故
B
错误；
C
：命题
p
：
0
xR，0e1x，则其否定为
p
：xR，
e1x
，故
C
正确；
D
：如果
mn
，
m
，
n
，则无法判断
α
、
β
的位置关系，故
D
错误
.
故选：
C.
4
．
C
【解析】
【分析】
由题知1n
n
a
a
是首项为
1
，公差为
2
的等差数列，则121n
n
a
n
a
，利用2
2
aaa
aaa
即可求解．
【详解】
由题意可得：3
2
3
a
a
，2
1
1
a
a
，3
2
21
2
a
a
aa
，
根据
“
等差比数列
”
的定义可知数列1n
n
a
a
是首项为
1
，公差为
2
的等差数列，
则11(1)221n
n
a
nn
a
，
所以2021
2020
22
a
a
，2020
2019
220191
a
a
，
所以2
2
2
(220191)(220191)420191
aaa
aaa
．
故选：
C
【点睛】
数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个
数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：
△
求出数列的前几项，再归
纳猜想出数列的一个通项公式；
△
将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，
或用累加法、累乘法、迭代法求通项．
5
．
D
答案第3页，共20页
【解析】
【分析】
令22ln1fxxx
，即可得到
ln3
3
fa
，
1
fb
e
，
ln
fc
，利用导数说明
fx
在0,1
的单调性，再令
lnx
gx
x
，利用导数说明其单调性，即可得到
lnln31
3e
，从而得到fcfafb
，即可得解；
【详解】
解：令22ln1fxxx
，0x
，所以2
ln3
2ln1
3
faaa
，
2
1
2ln1fbbb
e
，2
ln
2ln1fccc
，所以
211
2
2
xx
fxx
xx
，
因为,,0,1abc
，所以当0,1x
时0fx
，即fx
在0,1
上单调递减，令
lnx
gx
x
，0x
，则
2
1lnx
gx
x
，所以当0,xe
时，0gx
，函数单调递增，
当,xe
时，0gx
，函数单调递减，所以gx
在
xe
处取得极大值即最大值，
max
1
gxge
e
，因为
3e
，所以
lnln31
3e
，即fcfafb
，所以
cab
，
故选：
D
6
．
C
【解析】
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，
则
A(1,0,0)
，
B(1,1,0)
，
C(0,1,0)
，
C
1
(0,1,2)
，设点
P
的坐标为
(0
，
λ
，
2λ)
，
λ△[0,1]
，点
Q
的
答案第4页，共20页
坐标为
(1
－
μ
，
μ
，
0)
，
μ△[0,1]
，
△PQ
＝22222(1)()425221－＋－＋＝＋－－＋
＝22
1954
5()()
5599
－＋－＋，当且仅当
λ
＝
1
9
，
μ
＝
5
9
时，线段
PQ
的长度取得最小值
2
3
.
7
．
D
【解析】
【分析】
由点关于线的对称点的性质可知，垂直平分，所以能得到
122
FPF
，
1
2PFb
，又
12
2FFc
，从而
2
2PFa
，再结合抛物线的定义得到关于
a,c
的关系式，计算得到离心率
.
【详解】
由题意
1
F
关于双曲线的一条渐近线的对称点为P，且
1
F
到渐近线的距离为
b
，
△
12
FPF△
中，
122
FPF
，
1
2PFb
，又
12
2FFc
，所以
2
2PFa
，
△
12
tan
b
FFP
a
，
△
12
cos
a
FFP
c
，又点P在抛物线24ycx
上，
△
12
FF
的长度为抛物线中抛物线的焦点到抛物线的准线的距离，
△
由抛物线的定义得到：
122212
cosFFPFPFFFP
，
△
12
222coscaaFFP
，
△210ee
，
△
51
2
e
.
故选：
D.
答案第5页，共20页
【点睛】
关键点点睛：充分利用
“
点关于线的对称点的性质：垂直平分
+
抛物线的定义
”.
8
．
A
【解析】
【分析】
根据函数的单调性和对称性画出函数图像，22ykx
过定点2,2
，计算直线和曲线
相切的情况计算斜率得到答案
.
【详解】
当
2x
时，\'1xxfxxefxxe
函数在,1
上单调递减，在1,2
上单调递增，且
1
1f
e
22fxfx
，函数关于2x对称，22ykx
过定点2,2
如图所示，画出函数图像：
当22ykx
与xfxxe
相切时，设切点为
00
,xy
则0
0
00
0
00
22
1
22
x
x
yxe
xek
xx
根据对称性考虑2x左边图像，根据图像验证知
0
0x
是方程唯一解，此时1k
故答案为1,00,1k
答案第6页，共20页
故选：A
【点睛】
本题考查了零点问题，对称问题，函数的单调性，画出函数图像是解题的关键
.
9
．
ABD
【解析】
【分析】
对于
A
，直接利用已知的数据可求出
a
的值；对于
B
，利用所有频率和为
1
求解b；对于
C
，利用平均数的定义求解即可；对于
D
，由频率分布直方图可得90,100
内的概率为
0.16
，从而可得结论
【详解】
由题知，
1550100.03a
，选项
A
正确；
10.0080.0120.0160.03010100.034b
，选项
B
正确；
本次思想政治考试平均分估计值为
550.08650.12750.34850.3950.16
78.4
，选项
C
错误；
可知在90,100
内的概率为
0.16
，从高三学生中随机抽取
4
人，其中
3
人成绩在90,100
内
的概率为3
3
4
C0.1610.16
，选项
D
正确，
故选：
ABD
．
10
．
ABD
【解析】
【分析】
对函数进行化简，转化为正弦型函数，进而利用性质判断出结果即可
.
答案第7页，共20页
【详解】
解：函数2
333
43sincos4sin2
222
xfxxx
2
3
23sin3212sin
2
xx
23sin32cos3xx
31
4sin3cos3
22
xx
4sin3
6
x
.
所以函数fx
的周期为
22
3
T
，故
A
选项正确；
当
π
9
x时，
4sin34
996
f
，所以直线
π
9
x是函数fx
图象的一条
对称轴，故
B
选项正确；
当
10π
,π
9
x
，则
7π
2
19π
3,
66
x
，由正弦函数性质可知，此时fx
单调递减，
故
C
选项错误；
由
4sin3
6
xfx
可知，当
sin31
6
x
时，fx
取得最小值为4，故
D
选项正
确
.
故选：
ABD.
11
．
BCD
【解析】
【分析】
由抛物线的定义和焦半径公式，列出方程求得
4p
，可判定
A
不正确；分别过点A，B
作准线的垂线，由抛物线的定义和梯形的中位线，得到圆心到准线的距离等于半径，可判
定
B
正确；根据焦点弦和焦半径公式和弦长公式，可判定
C
正确；设直线
l
的方程为
2
p
xmy
，联立方程组，求得
1212
,yyxx
，结合
sin
d
PMN
MP
，可判定
D
正确
.
【详解】
由题意，抛物线22(0)ypxp
的焦点为
(,0)
2
p
F
，准线方程为
2
p
x
，
对于
A
中，由抛物线上的点
(2,)Et
到点F的距离为4，抛物线的定义，可得
24
2
p
，
答案第8页，共20页
解得
4p
，所以抛物线的方程为28yx
，所以
A
不正确；
对于
B
中，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为
11
,AB
，如图所示，
则线段
AB
的中点为P到准线的距离为11
2
AABB
PQ
根据抛物线的定义，可得
11
,AFAABFBB
，所以
11
ABAFBFAABB
，
所以
1
2
PQAB
，即圆心P到准线的距离等于圆的半径，
即以
AB
为直径的圆与准线相切，所以
B
正确；
设
1122
(,),(,)AxyBxy
，由抛物线的定义，可得
12
ABAFBFxxp
，
当直线
l
的斜率不存在时，可设直线
l
的方程为
2
p
x，
联立方程组
2
2
2
p
x
ypx
，解得
12
,ypyp
，此时
2ABp
当直线
l
的斜率存在时，设直线
l
的方程为
()
2
p
ykx
，
联立方程组
2
()
2
2
p
ykx
ypx
，整理得
22
222(2)0
4
kp
kxkppx，
可得
2
12
2
2kpp
xx
k
，所以
2
12
22
22
22
kppp
ABxxpppp
kk
，
综上可得，线段
AB
长度的最小值是
2p
，所以
C
正确；
设直线
l
的方程为
2
p
xmy
，联立方程组
2
2
2
p
xmy
ypx
，整理得2220ypmyp
，
可得2
1212
,2yypmyyp
，
则2
1212
()2xxmyyppmp
，则2
12
22ABxxppmp
则点P到
y
的距离为2
12
22
xx
p
dPCpm
，
所以
2
22
111
2
sin11
1
2(1)22
2
p
pm
PC
d
PMN
MPpmpm
AB
，
所以
1
sin[1)
2
PMN
，所以
D
正确
.
故选：
BCD.
答案第9页，共20页
【点睛】
解决直线与抛物线的弦及弦长问题的常用方法：
1
、有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，
可直接使用抛物线的焦点弦公式，若不过焦点，则用圆锥曲线的一般弦长公式求解；
2
、涉及到抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用
“
设而
不求
”
、
“
整体代换
”
等解法
.
12
．
ABD
【解析】
【分析】
A
由题设结合线面垂直的判定证AE⊥面
1
BEC
，再由面面垂直的判定即可判断正误；
B
若
G
是
1
AB
的中点，应用平行四边形的性质有
//CFEG
，可知
1
AB
与
CF
的夹角为
AGE
或
其补角，进而求其大小；
C
根据
A
、
B
的分析，当
1
BE
面
ABCD
时
1
BAED
V
最大，求其最大
值；
D
确定
F
的轨迹与
G
到
G
的轨迹相同，且
G
到
G
的轨迹为以
AE
中点为圆心，1
2
BE
为
半径的半圆，即可求轨迹长度
.
【详解】
A
：由2AB，
120BAD
，
E
为边
BC
的中点知：
3
B
且1BE，易知
AEEC
，
1
AEBE
，而
1
ECBEE
，故AE⊥面
1
BEC
，又
AE
面
1
ABE
，所以面
1
ABE面
1
BEC
，正确；
B
：若
G
是
1
AB
的中点，又
F
为
1
BD
的中点，则
//GFAD
且
1
2
GFAD
，而
答案第10页，共20页
11
22
ECBCAD
且
//ECAD
，所以
//GFEC
且
GFEC
，即
FGEC
为平行四边形，故
//CFEG
，所以
1
AB
与
CF
的夹角为AGE
或其补角，若
G
为
AB
中点，即
AGEAGE
，由
A
分析易知：
2
3
AGE
，故
1
AB
与
CF
的夹角为
3
，正确；
C
：由上分析知：翻折过程中当
1
BE
面ABCD时，
1
BAED
V
最大，此时
1
1
1113
132
3323BAEDAED
VBES
，错误；
D
：由
B
分析知：
EGCF
且
//EGCF
，故
F
的轨迹与
G
到
G
的轨迹相同，由
A
知：B
到
1
B
的轨迹为以E为圆心，
1
BE
为半径的半圆，而
G
为
AB
中点，故
G
到
G
的轨迹为以
AE
中点为圆心，1
2
BE
为半径的半圆，所以
F
的轨迹长度为1
1
2
222
BE
，正确
.
故选：
ABD.
【点睛】
关键点点睛：应用线面、面面垂直的判定判断面面垂直；根据线线角的定义，结合平行四
边形的性质找到线线角的平面角并求大小；判断动点的轨迹，由圆的性质及棱锥的体积公
式求
1
BAED
的最大体积以及
F
的轨迹的长度
.
13
．
24
【解析】
【详解】
分析：由题意根据4
421211xx
，利用二项展开式的通项公式，求得
a
2
的值．
详解：由题意根据4
421211xx
，2
2
2
214
21241TCxx
.
即答案为
24.
点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
14
．
1
2
答案第11页，共20页
【解析】
利用导数求出切线方程，分别得到两点的坐标，即可得到结果
.
【详解】
由2yx
，则
2yx
.
设点2
000
,0Mxxx
,
则曲线
C
在
M
处的切线的斜率为
0
2kx
.
所以曲线
C
在
M
处的切线方程为：2
000
2()yxxxx
.
即2
00
2yxxx
.
所以2
0
0
0,0,
2
x
ABx
，
由
,,MAB
三点的坐标可得，A点为
BM
的中点
.
所以
1
2
MA
MB
.
故答案为：
1
2
【点睛】
本题考查利用导数求切线方程和根据点的坐标求线段的长度之比，属于中档题
.
15
．
1
【解析】
【分析】
根据题意写出两个电子狗爬行的路线，结合周期性可求结果
.
【详解】
由题意，黑
\"
电子狗
\"
爬行路线为
111111
ACADADCCCBBA
，即过
6
段后又回到起点，可以看作以
6
为周期，所以黑
\"
电子狗
\"
爬完
2008
段后实质是到
达点
C;
同理，黄
\"
电子狗
\"
也是过
6
段后又回到起点
.
111111
ABBBBCCDDDDA
黄
“
电子狗
\"
爬完
2009
段后到达点D
;
此时的距离为
1CD
.
故答案为
:1.
答案第12页，共20页
16
．
3
ln
5
，
【解析】
【分析】
由条件求得2
4132
2
ln
2
mm
xxxx
mm
，令
2
22
mm
t
mm
，则原式
lnt
，利用二次函
数的性质求得
1
t
的范围，可得
t
的范围，从而求得
lnt
的范围，即为所求
.
【详解】
由方程1110xme
的两根为
1
x
，
212
xxx
，可得1
1
1
1
xe
m
，2
1
1
1
xe
m
，
求得
1
ln
1
m
x
m
，
2
2
ln
1
m
x
m
，
由方程
10xem
的两根为
3
x
，
434
xxx
，可得31xem
，41xem
，
求得
3
ln1xm
，
4
ln1xm
，
△
2
4132
2
21
lnlnln
12
mm
mm
xxxxm
mmm
，
令
2
22
mm
t
mm
，则原式
lnt
，且2
2
122
11
11
()
24
tmm
m
，
由
1
0,
2
m
，可得2
113
0()
244
m
，
2
28
11
3
()
24
m
，
△
2
125
1
11
3
()
24
t
m
，
3
0
5
t
，
故原式
3
lnln
5
t
，
，故答案为
3
ln
5
，
．
【点睛】
本题主要考查指数函数的综合应用，不等式的基本性质，二次函数的性质，体现了转化的
数学思想，属于难题．
17
．（
1
）
；（
2
）当
3
x
时，
max
3
1
4
fx
；当
12
x
时，
min
3
2
fx
.
【解析】
（
1
）利用二倍角公式和辅助角公式，将函数转化为
1
sin21
23
fxx
求解
..
（
2
）根据
,
63
x
，得到
2
2,
333
x
，再利用正弦函数的性质求解
.
【详解】
答案第13页，共20页
（
1
）2
133
sincoscos1
224
fxxxx
，
13
sin2cos21
44
xx
，
1
sin21
23
x
，
所以fx
的最小正周期为
2
2
T
.
（
2
）
△
,
63
x
，
△
2
2,
333
x
，
当
2
33
x
，即
3
x
，
max
3
1
4
fx
，
当
2
32
x
，
12
x
时，
min
13
11
22
fx
.
【点睛】
方法点睛：
1
．讨论三角函数性质，应先把函数式化成
y
＝
Asin(ωx
＋
φ)(ω>0)
的形式．
2
．函数
y
＝
Asin(ωx
＋
φ)
和
y
＝
Acos(ωx
＋
φ)
的最小正周期为
2
T
，
y
＝
tan(ωx
＋
φ)
的最小正
周期为
T
.
3
．对于函数的性质
(
定义域、值域、单调性、对称性、最值等
)
可以通过换元的方法令
t
＝
ωx
＋
φ
，将其转化为研究
y
＝
sint
的性质．
18
．（
1
）*4,
n
bnnn
,42n
n
a
,*nn
,*
1
(7),
2n
Snnnn
；（
2
）
44
44
1
(7)22,(7)
2
31
(7)22,(8)
2
nn
n
nn
nn
T
nn
【解析】
【分析】
(1)
由已知得1
12122
logloglogn
nnnn
n
a
bbaa
a
,
可得出数列
n
b
为等差数列，求得其公
差，可得数列
n
b
的通项公式，及
n
S
，再由对数的运算可得数列
n
a
的通项公式
;
(2)
由（
1
）得45
1
(7)2||(7)2
2
nn
n
nn
S
cann
n
,
根据错位相减法求得数列
5(7)2n
n
cn
的前
n
项和，再分当
7n
时和当
8n
时分别求得
.
答案第14页，共20页
【详解】
(1)
对*
2121
,log,log
nnnn
nnbaba
,
则1
12122
logloglogn
nnnn
n
a
bbaa
a
,
因为
n
a
为等
比数列
,
则1n
n
a
a
为定值
.
则1
2
logn
n
a
a
为定值
,
则数列
n
b
为等差数列
.
42425
loglog0,11bab
,
则*4,
n
bnnn
,422n
a
n
n
a
,*nn
,*
1
(7),
2n
Snnnn
;
(2)45
1
(7)2||(7)2
2
nn
n
nn
S
cann
n
,
设5(7)2n
n
cn
,
n
T
为数列n
c
的前
n
项和
,
则有
:
4325(6)2(5)2(4)2(7)2,(*)n
n
Tn
32142(6)2(5)2(4)2(7)2,(**)n
n
Tn
(*)
式
(**)
式
,
得
:
31
4325444
212
(6)2222(7)2(6)2(7)2
12
n
nnn
n
Tnn
,
44
1
(7)22
2
nn
n
Tn
.
当
7n
时
,44
1
(7)22
2
nn
nn
TTn
;
当
8n
时
,44444
7
131
2(7)2221(7)22
22
nnnn
nn
TTTnn
,
即
44
44
1
(7)22,(7)
2
31
(7)22,(8)
2
nn
n
nn
nn
T
nn
【点睛】
本题考查等差数列，等比数列的通项公式，前
n
项和的求解方法，以及运用错位相减法求
数列的和，属于中档题
.
19
．（
1
）证明见解析；（
2
）
52
3
；（
3
）存在，
3
4
BP
BD
【解析】
【分析】
（
1
）证明DGAE⊥，再根据面面垂直的性质得出
DG
平面
ABCE
；
（
2
）分别计算
DG
和梯形
ABCE
的面积，即可得出棱锥的体积；
答案第15页，共20页
（
3
）过点C作
//CFAE
交
AB
于点F，过点F作
//FPAD
交
DB
于点P，连接
PC
，可证
明
//PCF
平面
ADE
，故
//CP
平面
ADE
，根据
//PFAD
计算
BP
BD
的值
.
【详解】
（
1
）因为
G
为
AE
中点，
2ADDE
，
所以DGAE⊥，
因为平面ADE平面
ABCE
，
平面
ADE
平面
ABCEAE
，
DG
平面
ADE
，
所以
DG
平面
ABCE
；
（
2
）在直角三角形
ADE
中，2ADDE，
22AE
，
1
2
2
DGAE
，
所以四棱锥
DABCE
的体积为
11152
1422
3323DABCE
ABCE
VSDG
梯形
；
（
3
）
如图，过点
C
作
//CFAE
交
AB
于点F，过点F作
//FPAD
交
DB
于点P，连接
PC
，
因为
//CFAE
，
AE
平面
ADE
，CF平面
ADE
，
所以//CF平面
ADE
，
同理//PF平面
ADE
，
又因为
CFPFF
，
所以平面
//PCF
平面
ADE
，
答案第16页，共20页
因为
CP
平面
CFP
，
所以
//CP
平面
ADE
，
所以BD上存在点P，使得
//CP
平面
ADE
，
//AECF
，
//AFCE
四边形
AECF
是平行四边形，
1AFCE
，
3FB
，
又
//PFAD
，
3
4
BPBF
BDAB
.
20
．（
△
）2241xy;
（
△
）（
△
）见解析；（
△
）1
2
S
S
的最大值为
9
4
，此时点P的坐标为
21
(,)
24
【解析】
【详解】
试题分析：（
△
）根据椭圆的离心率和焦点求方程；
（
△
）（
△
）由点
P
的坐标和斜率设出直线
l
的方程和抛物线联立，进而判断点
M
在定直线
上；
（
△
）分别列出
1
S
，
2
S面积的表达式，根据二次函数求最值和此时点
P
的坐标．
试题解析：（
△
）由题意知：
223
2
ab
a
，解得
2ab
．
因为抛物线的焦点为
1
0,
2
F
，所以
1
1,
2
ab
，
所以椭圆的方程为2241xy．
（
△
）（
1
）设
2
,(0)
2
m
mPm
，由22xy
可得
yx
，
所以直线
l
的斜率为
m
，其直线方程为
2
()
2
m
ymxm
，即
2
2
m
ymx．
设
112200
,,,,,AxyBxyDxy
，联立方程组
2
2
2
2
m
ymx
xy
消去
y
并整理可得223441410mxmxm
，
答案第17页，共20页
故由其判别式0可得
025m
且
3
12
2
4
41
m
xx
m
，
故
3
12
0
2
2
241
xx
m
x
m
,
代入
2
2
m
ymx
可得
2
0
2241
m
y
m
，
因为0
0
1
4
y
xm
，所以直线OD的方程为
1
4
yx
m
．
联立
1
4
yx
m
xm
可得点的纵坐标为
1
4
y
，即点
M
在定直线
1
4
y
上．
（
2
）由（
1
）知直线
l
的方程为
2
2
m
ymx，
令
0x
得
2
2
m
y，所以
2
0,
2
m
G
，
又
232
2
2
12
,,,0,,
2241
241
mmm
PmFD
m
m
，
所以2
1
11
||1
24
SGFmmm
，
2
2
20
2
21
1
||
2
841
mm
SPMmx
m
，
所以
22
1
2
2
2
2411
21
mm
S
S
m
，令221tm
，则1
22
2
(21)(1)11
2
S
tt
Sttt
，
因此当
11
2t
，即
2t
时，1
2
S
S
最大，其最大值为
9
4
，此时
2
2
m
满足0，
所以点P的坐标为
21
,
24
，因此1
2
S
S
的最大值为
9
4
，此时点P的坐标为
21
,
24
．
考点：椭圆方程；直线和抛物线的关系；二次函数求最值；运算求解能力．
21
．
(1)
对
A
型材料进行应用改造的投入为
17
亿元时的直接收益为
72.93
(
亿元
)
；
(2)
投入
17
亿元比投入
20
亿元时收益小
.
【解析】
【分析】
(1)
根据模型和相关系数公式计算比较即可，然后将
x
＝
17
代入较好的模型即可预测直接收
益；
(2)
根据回归方程过样本中心点
(
,xy
)
求出
ˆ
a，再令
x
＝
20
算出预测的直接收益，即可算出投
入
20
亿元时的总收益，与
(1)
中的投入
17
亿元的直接收益比较即可
.
答案第18页，共20页
(1)
对于模型
△
，对应的
460
=38
7
y
，
故对应的
77
2
22
11
71750
ii
ii
yyyy
，
故对应的相关指数2
1
79.13
10.955
1750
R
，
对于模型
△
，同理对应的相关指数2
2
20.2
10.988
1750
R
，
故模型
△
拟合精度更高、更可靠
.
故对
A
型材料进行应用改造的投入为
17
亿元时的直接收益为21.31714.472.9
ˆ
3y
(
亿元
).
另解：本题也可以根据相关系数的公式，直接比较
79.13
和
20.2
的大小，从而说明模型
△
拟合精度更高、更可靠
.
(2)
当
17x
时，
后五组的
2122232425
23
5
x
，
68.56867.5+66+65
67
5
y
，
由最小二乘法可得ˆ
670.72383.1a
，
故当投入
20
亿元时公司收益
(
直接收益＋国家补贴
)
的大小为：
0.72083.1+574.172.93
，
故投入
17
亿元比投入
20
亿元时收益小
.
22
．（
I
）见解析（
II
）
1
[,)
2
a∞
.
【解析】
【详解】
试题分析：本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生
的分析问题、解决问题的能力和计算能力
.
第（
△
）问，对()fx求导，再对
a
进行讨论，从
而判断函数()fx的单调性；第（
△
）问，利用导数判断函数的单调性，从而证明结论
.
试题解析：（
△
）
2121
()2(0).
ax
fxaxx
xx
0a当时，
()fx<0
，()fx在
0+（，）
内单调递减
.
0a当时，
由
()fx=0
，有
1
2
x
a
.
答案第19页，共20页
此时，当
x
1
0,)
2a
（
时，
()fx<0
，()fx单调递减；
当
x
1
+)
2a
（，
时，
()fx>0
，()fx单调递增
.
（
△
）令
()gx
=
1
11
exx
，
()sx
=1exx
.
则
()sx
=1e1x
.
而当
1x
时，
()sx
>0
，
所以
()sx
在区间
1+)（，
内单调递增
.
又由
(1)s
=0
，有
()sx
>0
，
从而当
1x
时，()fx>0.
当0a，
1x
时，()fx=2(1)ln0axx.
故当()fx>
()gx
在区间
1+)（，
内恒成立时，必有
0a.
当
1
0
2
a时，
1
2a
>1.
由（
△
）有
1
()(1)0
2
ff
a
,
从而
1
()0
2
g
a
，
所以此时()fx>
()gx
在区间
1+)（，
内不恒成立
.
当
1
2
a
时，令
()()()(1)hxfxgxx
，
当
1x
时，
32
1
2222
111112121
()20x
xxxx
hxaxex
xxxxxxx
，
因此，
()hx
在区间
(1,)
单调递增
.
又因为
(1)=0h
，所以当
1x
时，
()()()0hxfxgx
，即
()()fxgx
恒成立
.
综上，
1
[,)
2
a∞
.
【考点】
导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题
【名师点睛】
本题考查导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问
题、解决问题的能力和计算能力．求函数的单调性，基本方法是求
\'()fx
，解方程
\'()0fx
，再通过
\'()fx
的正负确定()fx的单调性；要证明不等式
()()fxgx
，一般证明
()()fxgx
的最小值大于
0
，为此要研究函数
()()()hxfxgx
的单调性．本题中注意由于
函数
()hx
的极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，
学生不易想到，有一定的难度．
答案第20页，共20页