双曲函数公式
灰太狼的故事-一元二次不等式的解法
2023年2月18日发(作者：分配电箱)word文档可编辑
双曲函数
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双曲函数
在数学中，双曲函数类似于常见的（也叫圆函数的）三角函数。基本双曲函数是双曲正弦
“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。也类似于三角函数的推导。反函数
是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以次类推
定义双曲函数（hyperbolicfunction）可借助指数函数定义
双曲正弦(sinh/sh)
2
xxee
shx
双曲余弦(cosh/ch)
2
xxee
chx
双曲正切(tanh/th)
chx
shx
ee
ee
thx
xx
xx
双曲余切(coth/cth)
shx
chx
ee
ee
thx
cthx
xx
xx
1
双曲正割(sech)
xxeechx
hx
21
sec
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双曲余割(csch)
xxeeshx
hx
21
csc
其中，指数函数（exponentialfunction）可由无穷级数定义(Tayor展
开)),(,
!!3!2
1
!
32
0
x
n
xxx
x
n
x
e
n
n
n
x
e是自然对数的底e≈2.7045...=
!
1
!3
1
!2
1
!1
1
!0
1
n
⑺双曲函数的反函数（inversehyperbolicfunction）分别记为arshz、archz、arthz
等。
简单介绍
在数学中，双曲函数类似于常见的三角函数（也叫圆函数）。基本双曲函数是双
曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。也类似于三角函数的
推导。反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以此类推。双
曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。
双曲函数接受实数值作为叫做双曲角的自变量。在复分析中，它们简单的是指数函数
的有理函数，并因此是完整的。
射线出原点交双曲线x2−y2=1于点(cha,sha），这里的a被称为双曲角，是这条
射线、它关于x轴的镜像和双曲线之间的面积。
如图点(cost,sint)定义一个圆，点(cht,sht)定义了右半直角双曲线
122yx这基
于了很容易验证的恒等式122xshxch和性质t>0对于所有的t。参
数t不是圆角而是双曲角，它表示在x轴和连接原点和双曲线上的点(cht,sht)的
直线之间的面积的两倍。
函数coshx是关于y轴对称的偶函数。
函数shx是奇函数，就是说-shx=sh-x且sh0=0。
双曲函数与三角函数的关系
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双曲函数与三角函数有如下的关系：sinhx=-isin(ix)
coshx=cos(ix)
tanhx=-itan(ix)
cothx=icot(ix)
sechx=sec(ix)
cschx=icsc(ix)
i为虚数单位，即2i=-1
恒等式
与双曲函数有关的恒等式如下：
122xshxch
1csc22xhxcth
1sec22xhxth
加法公式
sh(x+y)=sh(x)*ch(y)+ch(x)*sh(y)
ch(x+y)=ch(x)*ch(y)+sh(x)*sh(y)
thythx
thythx
yxth
*1
cthycthx
cthycthx
yxcth
*1
减法公式
sh(x-y)=sh(x)*ch(y)-ch(x)*sh(y)
ch(x-y)=ch(x)*ch(y)-sh(x)*sh(y)
th(x-y)=[th(x)-th(y)]/[1-th(x)*th(y)]
cth(x-y)=（1-cth(x)*cth(y))/(cth(x)-cth(y))
二倍角公式
sh（2x)=2*sh(x)*ch(x)
ch（2x)=ch^2(x)+sh^2(x)=2*ch^2(x)-1=2*sh^2(x)+1
th（2x)=2th(x)/（1+th^2(x))
ch（2x)=（1+cth^2(x))/2cth(x)
三倍角公式
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sh（3x)=3sh(x)+4sh^3(x)
ch（3x)=4ch^3(x)-3ch(x)
半角公式
ch^2(x/2）=(ch(x)+1）/2
sh^2(x/2）=(ch(x)-1）/2
th(x/2）=(cth(x)-1）/sh(x)=sh(x)/(cth(x)+1）
cth(x/2）=sh(x)/(cth(x)-1）=(cth(x)+1）/sh(x)
德莫佛公式（cosh(x）±sinh(x))^n=cosh(nx)±sinh(nx)双曲函数的恒等式都
在圆三角函数有相应的公式。Osborn'srule指出：将圆三角函数恒等式中，圆函数转
成相应的双曲函数，有两个sinh的积时（包括coth^2(x),tanh^2(x),csch^2(x),sinh(x)*
sinh(y））则转换正负号，则可得到相应的双曲函数恒等式。如
三倍角公式
sin（3*x)=3*sin(x)−4*sin^3(x)
sh（3*x)=3*sh(x)+4*sh^3(x)
反双曲函数
反双曲函数是双曲函数的反函数.它们的定义为：
arcsh(x)=ln[x+sqrt(x^2+1）]
arcch(x)=ln[x+sqrt(x^2-1）]
arcth(x)=ln[sqrt（1-x^2）/（1-x)]=ln[（1+x)/（1-x)]/2
arccth(x)=ln[sqrt(x^2-1）/(x-1）]=ln[(x+1）/(x-1）]/2
arcsch(x)=±ln[1+sqrt（1-x^2）/x]
arcxh(x)=ln[1-sqrt（1+x^2）/x]，如果x<0ln[1+sqrt（1+x^2）/x]，
如果x>0其中，sqrt为squareroot的缩写，即平方根
双曲函数与反双曲函数的导数
(sh(x))'=ch(x)
(ch(x))'=sh(x)
xsech(thx)'2
x-csch(cthx)'2
thx*-sechx(sechx)'
cthx*-cschx(cschx)'
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1
1
'(arcsinhx)
2
x
(x<1)
1
1
'(arccoshx)
2
x
(x>1）
21
1
'(arctanhx)
x
(|x|<1）
21
1
'(arccothx)
x
(|x|>1）
双曲函数与反双曲函数的不定积分
∫sinh(x)dx=cosh(x)+c
∫cosh(x)dx=sinh(x)+c
∫sech^2(x)dx=tanh(x)+c
∫csch^2(x)dx=-coth(x)+c
∫sech(x)tanh(x)dx=-sech(x)+c
∫csch(x)coth(x)dx=-csch(x)+c
∫tanh(x)dx=ln(cosh(x))+c
∫coth(x)dx=ln|sinh(x)|+c
∫sech(x)dx=arctan(sinh(x))+c=2arctan(e^x)+c1=2arctan(tanh(x/2））+c2
∫csch(x)dx=ln|coth(x)-csch(x)+c=ln|tanh(x/2）|+c
∫[1/sqrt(x^2+1）]dx=arcsinh(x)+c=ln(x+sqrt(x^2+1））+c
∫[1/sqrt(x^2-1）]dx=sgn(x)arccosh|x|+c=ln|x+sqrt(x^2-1）|+c（sgn是符号函
数.sgn(x)=x/|x|,x≠0;sgn(x)=0,x=0)
双曲函数与反双曲函数的级数表示
sh(z)=z+z^3/3!+z^5/5!+z^7/7!+...+z^（2k-1）/（2k-1）！+...(z∈C)
ch(z)=1+z^2/2!+z^4/4!+z^6/6!+...+z^（2k)/（2k)!+...(z∈C)
arcsh(z)=z-（1/6）z^3+（3/40）z^5-（5/112）z^7+...+(-1）^k[（2k-1）！！/（2k)!!][z^
（2k+1）/（2k+1）]+...(|z|<1）
arcth(z)=z+z^3/3+z^5/5+z^7/7+...+z^（2k-1）/（2k-1）+...(|z|<1）