复数除法
刘仲莹-东坡诗文
2023年2月18日发(作者：华为面试)复数的乘法与除法
教学目标
（1）掌握复数乘法与除法的运算法
则，并能熟练地进行乘、除法的运算；
（2）能应用i和的周期性、共轭复
数性质、模的性质熟练地进行解题；
（3）让学生领悟到“转化”这一重要
数学思想方法；
（4）通过学习复数乘法与除法的运
算法则，培养学生探索问题、分析问题、
解决问题的能力。
教学建议一、知识结构
二、重点、难点分析
本节的重点和难点是复数乘除法运
算法则及复数的有关性质．复数的代数
形式相乘，与加减法一样，可以按多项
式的乘法进行，但必须在所得的结果中
把换成－1，并且把实部与虚部分合
并．很明显，两个复数的积仍然是一个
复数，即在复数集内，乘法是永远可以
实施的，同时它满足并换律、结合律及
乘法对加法的分配律．规定复数的除法
是乘法的逆运算，它同多项式除法类似，
当两个多项式相除，可以写成分式，若
分母含有理式时，要进行分母有理化，
而两个复数相除时，要使分母实数化，
即分式的分子和分母都乘以分母的共轭
复数，使分母变成实数．
三、教学建议
1．在学习复数的代数形式相乘时，
复数的乘法法则规定按照如下法则进
行．设是任意两个复数，那么它们的积：
也就是说．复数的乘法与多项式乘
法是类似的，注意有一点不同即必须在
所得结果中把换成一1，再把实部，虚
部分别合并，而不必去记公式．
2．复数的乘法不仅满足交换律与结
合律，实数集R中整数指数幂的运算律，
在复数集C中仍然成立，即对任何，，
及，有：
，，；
对于复数只有在整数指数幂的范围内
才能成立．由于我们尚未对复数的分数
指数幂进行定义，因此如果把上述法则
扩展到分数指数幂内运用，就会得到荒
谬的结果。如，若由，就会得到的错
误结论，对此一定要重视。
3．讲解复数的除法，可以按照教材规定
它是乘法的逆运算，即求一个复数，使
它满足（这里，是已知的复数）．列
出上式后，由乘法法则及两个复数相等
的条件得：
，
由此
，
于是
得出商以后，还应当着重向学生指出：
如果根据除法的定义，每次都按上述做
来法逆运算的办法来求商，这将是很麻
烦的．分析一下商的结构，从形式上可
以得出两个复数相除的较为简捷的求商
方法，就是先把它们的商写成分式的形
式，然后把分子与分母都乘以分母的共
轭复数，再把结果化简即可．
4．这道例题的目的之一是训练我们
对于复数乘法运算、乘方运算及乘法公
式的操作，要求我们做到熟练和准确。
从这道例题的运算结果，我们应该看出，
也是-1的一个立方根。因此，我们应该
修正过去关于“-1的立方根是-1”的认识，
想到-1至少还有一个虚数根。然后再回
顾例2的解题过程，发现其中所有的“-”
号都可以改成“±”。这样就能找出-1的另
一个虚数根。所以-1在复数集C内至少
有三个根：-1，，。以上对于一道例
题或练习题的反思过程，看起来并不难，
但对我们学习知识和提高能力却十分重
要。它可以有效地锻炼我们的逆向思维，
拓宽和加深我们的知识，使我们对一个
问题的认识更加全面。
5．教材194页第6题这是关于复
数模的一个重要不等式，在研究复数模
的最值问题中有着广泛的应用。在应用
上述绝对值不等式过程中，要特别注意
等号成立的条件。
教学设计示例
复数的乘法
教学目标
1．掌握复数的代数形式的乘法运算
法则，能熟练地进行复数代数形式的乘
法运算；
2．理解复数的乘法满足交换律、结
合律以及分配律；
3．知道复数的乘法是同复数的积，
理解复数集C中正整数幂的运算律，掌
握i的乘法运算性质．
教学重点难点
复数乘法运算法则及复数的有关性
质．
难点是复数乘法运算律的理解．
教学过程设计
1．引入新课
前面学习了复数的代数形式的加减
法，其运算法则与两个多项式相加减的
办法一致．那么两个复数的乘法运算是
否仍可与两个多项式相乘类似的办法进
行呢？
教学中，可让学生先按此办法计算，
然后将同学们运算所得结果与教科书的
规定对照，从而引入新课．
2．提出复数的代数形式的运算法则：
．
指出这一法则也是一种规定，由于
它与多项式乘法运算法则一致，因此，
不需要记忆这个公式．
3．引导学生证明复数的乘法满足交换
律、结合律以及分配律．
4．讲解例1、例2
例1求．
此例的解答可由学生自己完成．然
后，组织讨论，由学生自己归纳总结出
共轭复数的一个重要性质：．
教学过程中，也可以引导学生用以
上公式来证明：
．
例2计算．
教学中，可将学生分成三组分别按
不同的运算顺序进行计算．比如说第一
组按进行计算；第二组按进行计算．讨
论其计算结果一致说明了什么问题？
5．引导学生得出复数集中正整数幂的
运算律以及i的乘方性质
教学过程中，可根据学生的情况，
考虑是否将这些结论推广到自然数幂或
整数幂．
6．讲解例3
例3设，求证：（1）；（2）
讲此例时，应向学生指出：（1）实
数集中的乘法公式在复数集中仍然成
立；（2）复数的混合运算也是乘方，乘
除，最后加减，有括号应先处括号里面
的．
此后引导学生思考：（1）课本中关
于（2）小题的注解；（2）如果，则与
还成立吗？
7．课堂练习
课本练习第1、2、3题．
8．归纳总结
（1）学生填空：
；＝＝．
设，则＝，＝，
＝，＝．
设（或），则，．
（2）对复数乘法、乘方的有关运算
进行小结．
9．作业
课本习题第1、3题．