高等数学函数
支教总结-龙凤仕女图
2023年2月18日发(作者：景海俊)高数公式大全
Preparedon22November2020
高等代数
—兼听则明，偏信则暗
高等数学公式
·平方关系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan^2(α)+1=sec^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α)
·积的关系：
sinα=tanα*cosα
cosα=cotα*sinα
tanα=sinα*secα
cotα=cosα*cscα
secα=tanα*cscα
cscα=secα*cotα
·倒数关系：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,
余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边,
·三角函数恒等变形公式
·两角和与差的三角函数：
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
·三角和的三角函数：
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
·辅助角公式：
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中
sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)
cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)
tant=B/A
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B
·倍角公式：·三倍角公式：
sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)
cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα
tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]
·半角公式：
sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
·降幂公式
sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2
tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
·万能公式：
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
·积化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
·和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
·推导公式
tanα+cotα=2/sin2α
tanα-cotα=-2cot2α
1+cos2α=2cos^2α
1-cos2α=2sin^2α
1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2
·其他：
sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0
cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0以及
sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
三角函数的角度换算
[编辑本段]
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
公式三：
任意角α与-α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα
(以上k∈Z)
部分高等内容
[编辑本段]
·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：
sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]
泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…
此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
·三角函数作为微分方程的解：
对于微分方程组y=-y'';y=y''''，有通解Q,可证明
Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。
补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。
特殊三角函数值
a0`30`45`60`90`
sina01/2√2/2√3/21
cosa1√3/2√2/21/20
tana0√3/31√3None
cotaNone√31√3/30
导数公式：
基本积分表：
ax
x
aaa
ctgxxx
tgxxx
xctgx
xtgx
a
xx
ln
1
)(log
ln)(
csc)(csc
sec)(sec
csc)(
sec)(
2
2
2
2
2
2
1
1
)(
1
1
)(
1
1
)(arccos
1
1
)(arcsin
x
arcctgx
x
arctgx
x
x
x
x
Caxx
ax
dx
Cshxchxdx
Cchxshxdx
C
a
a
dxa
Cxctgxdxx
Cxdxtgxx
Cctgxxdx
x
dx
Ctgxxdx
x
dx
x
x
)ln(
ln
csccsc
secsec
csc
sin
sec
cos
22
22
2
2
2
2
C
a
x
xa
dx
C
xa
xa
axa
dx
C
ax
ax
aax
dx
C
a
x
arctg
axa
dx
Cctgxxxdx
Ctgxxxdx
Cxctgxdx
Cxtgxdx
arcsin
ln
2
1
ln
2
1
1
csclncsc
seclnsec
sinln
cosln
22
22
22
22
C
a
xa
xa
x
dxxa
Caxx
a
ax
x
dxax
Caxx
a
ax
x
dxax
I
n
n
xdxxdxI
n
nn
n
arcsin
22
ln
22
)ln(
22
1
cossin
2
2222
22
2
2222
22
2
2222
2
2
0
2
0
三角函数的有理式积分：
一些初等函数：两个重要极限：
三角函数公式：
·诱导公式：
函数
角A
sincostancot
-α-
sinα
cosα-
tanα
-
cotα
90°-αcosαsinαcotαtanα
90°+αcosα-
sinα
-
cotα
-
tanα
180°-αsinα-
cosα
-
tanα
-
cotα
180°+α-
sinα
-
cosα
tanαcotα
270°-α-
cosα
-
sinα
cotαtanα
270°+α-
cosα
sinα-
cotα
-
tanα
360°-α-
sinα
cosα-
tanα
-
cotα
360°+αsinαcosαtanαcotα
·和差角公式：·和差化积公式：
·倍角公式：
·半角公式：
·正弦定理：R
C
c
B
b
A
a
2
sinsinsin
2
sin
2
sin2coscos
2
cos
2
cos2coscos
2
sin
2
cos2sinsin
2
cos
2
sin2sinsin
ctgctg
ctgctg
ctg
tgtg
tgtg
tg
1
)(
1
)(
sinsincoscos)cos(
sincoscossin)sin(
·余弦定理：
Cabbaccos2222
·反三角函数性质：
arcctgxarctgxxx
2
arccos
2
arcsin
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：
中值定理与导数应用：
曲率：
定积分的近似计算：
定积分应用相关公式：
空间解析几何和向量代数：
多元函数微分法及应用
微分法在几何上的应用：
),,(),,(),,(
3
0))(,,())(,,())(,,(2
)},,(),,,(),,,({1
),,(0),,(
},,{,
0),,(
0),,(
0))(())(())((
)()()(
),,(
)(
)(
)(
000
0
000
0
000
0
000000000
000
000000
0
0
0
0
0
0
000
zyxF
zz
zyxF
yy
zyxF
xx
zzzyxFyyzyxFxxzyxF
zyxFzyxFzyxFn
zyxMzyxF
GG
FF
GG
FF
GG
FF
T
zyxG
zyxF
zztyytxxtM
t
zz
t
yy
t
xx
zyxM
tz
ty
tx
zyx
zyx
zyx
yx
yx
xz
xz
zy
zy
、过此点的法线方程：
：、过此点的切平面方程
、过此点的法向量：
，则：上一点曲面
则切向量若空间曲线方程为：
处的法平面方程：在点
处的切线方程：在点空间曲线
方向导数与梯度：
多元函数的极值及其求法：
重积分及其应用：
柱面坐标和球面坐标：
曲线积分：
曲面积分：
高斯公式：
dsAdvA
dsRQPdsAdsnA
z
R
y
Q
x
P
dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdv
z
R
y
Q
x
P
n
n
div
)coscoscos(
...,0div,div
)coscoscos()(
成：因此，高斯公式又可写
，通量：
则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：
—通量与散度：—高斯公式的物理意义
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
常数项级数：
级数审敛法：
绝对收敛与条件收敛：
幂级数：
函数展开成幂级数：
一些函数展开成幂级数：
欧拉公式：
三角级数：
傅立叶级数：
周期为l2的周期函数的傅立叶级数：
微分方程的相关概念：
一阶线性微分方程：
全微分方程：
二阶微分方程：
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
(*)式的通解
两个不相等实根)04(2qp
两个相等实根)04(2qp
一对共轭复根)04(2qp
二阶常系数非齐次线性微分方程