上虞实验中学

上虞实验中学

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2023年2月15日发(作者：)

浙江省绍兴市上虞区上虞实验中学教育集团2020届中考

第一次模拟考数学答题卷

一、选择题（每小题4分，共40分）

1.

若

3

4

y

x



，则

xy

x



的值为（）

A.

1

B.

4

7

C.

5

4

D.

7

4

【答案】

D

【解析】

【详解】∵

3

4

y

x

，

∴

xy

x



=

43

4



=

7

4

，

故选

D

2.

展览馆有A，B两个入口，D、E、F三个出口，则从A入口进，F出口出的概率是（

）

A.

1

2

B.

1

3

C.

1

6

D.

5

6

【答案】

C

【解析】

【分析】

根据两个独立事件同时发生的概率等于两个独立事件发生概率的积直接算出答案即可．

【详解】

，A，B

两个入口，

D，E，F

三个出口，

∴从

A

入口进的概率为：

1

2

，

从

F

出口出的概率为：

1

3

，

∴从

A

入口进，

F

出口出的概率是

1

2

×

1

3

=

1

6

.

故选

C，

【点睛】考查了独立事件概率的求法，解答时要牢记两个独立事件同时发生的概率等于两个独立事件发生

概率的积，也可通过列表或树状图法将所有情况全部列举出来．

3.某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有

【】

A8B.9C.10D.11

【答案】

B

【解析】

主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，因此，

易得下层有

4

碗，中层最少有

3

碗，上层最少有

2

碗，所以至少共有

9

个碗．

故选

B

．

考点：由三视图判断几何体．

4.

在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆()

A.

与x轴相交，与y轴相切

B.

与x轴相离，与y轴相交

C.

与x轴相切，与y轴相交

D.

与x轴相切，与y轴相离

【答案】

C

【解析】

分析：首先画出图形，根据点的坐标得到圆心到

X

轴的距离是

4

，到

Y

轴的距离是

3

，根据直线与圆的位

置关系即可求出答案．

解答：解：圆心到

X

轴的距离是

4

，到

y

轴的距离是

3

，

4=4

，

3

＜

4

，

∴

圆与

x

轴相切，与

y

轴相交，

故选

C

．

5.

sin70°，cos70°，tan70°

的大小关系是（）

A.

tan70°，cos70°，sin70°

B.

cos70°，tan70°，sin70°

C.

sin70°，cos70°，tan70°

D.

cos70°，sin70°，tan70°

【答案】

D

.

【解析】

【分析】

首先根据锐角三角函数的概念，知：

sin70°

和

cos70°

都小于

1，tan70°

大于

1

，故

tan70°

最大；只需比较

sin70°

和

cos70°

，又

cos70°=sin20°

，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较

.

【详解】根据锐角三角函数的概念，知

sin70°，1，cos70°，1，tan70°，1，

又

cos70°=sin20°

，正弦值随着角的增大而增大，∴

sin70°，cos70°=sin20°，

故选

D，

6.

如图，

AB

是半圆

O

的直径，

D，E

是半圆上任意两点，连接

AD，DE，AE

与

BD

相交于点

C

，要使△

ADC

与△

ABD

相似，可以添加一个条件．下列添加的条件错误的是

()

A.

∠

ACD，

∠

，DE

2，BD··AB，AC·BD

【答案】

D

【解析】

【详解】解：因为在

△ADC

和

△ABD

中，

∠ADC

＝

∠ADC

，所以要使

△ADC

与

△ABD

相似，可添加条件：

A

、

∠ACD

＝

∠DAB

，利用判定定理

1

可证；

添加条件：

B

、

AD

＝

DE

可得

»»

,ADDE利用圆周角定理从而可得：

∠DAC

＝

∠E

＝

∠B

，然后利用判定定理

1

可证；

添加条件：

C

、

AD

2＝

BD·CD

可利用判定定理

2

可证；

添加条件：

D

、

AD·AB

＝

AC·BD

，因为

∠ADC

不是两边的夹角，所以不能证明

△ADC

与

△ABD

相似；

故选

D

．

考点：

1

．圆周角定理及其推论、

2

．相似三角形的判定．

7.

已知△

ABC

是正三角形，点

D

是边

AC

上一动点（不与

A

、

C

重合），以

BD

为边作正△

BDE

，边

DE

与

边

AB

交于点

F

，则图中一定相似

．．．．

的三角形有（）对

A.

6

B.

5

C.

4

D.

3

【答案】

B

【解析】

【分析】

根据相似三角形的性质以及判定定理进行判断即可．

【详解】

∵

△

ABC

和△

BDE

是正三角形

∴60EACBDEEBDABC∠∠∠∠∠∠

∴△

ABC

∽△

EDB

∴60EBFDBCABD∠∠∠

∴△

BDC

∽△

EFB

∵EFBAFD∠∠

∴△

EFB

∽△

AFD

∴△

BDC

∽△

AFD

∵ABDABD∠∠

∴△

BDF

∽△

BAD

，

图中的相似三角形是△

ABC

∽△

EDB

，△

BDC

∽△

EFB

，△

BDC

∽△

AFD

，△

EFB

∽△

AFD

，

△

BDF

∽△

BAD

，一共

5

对．

故答案为：

B

．

【点睛】本题考查了相似三角形的问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键．

8.

如图，有一块边长为

6cm

的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的

虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（）

A.3cm

2B.

3

3

2

cm2C.

9

3

2

cm2D.

27

3

2

cm2

【答案】

C

【解析】

试题解析：

∵△ABC

为等边三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°

，

AB=BC=AC

．

∵

筝形

ADOK≌

筝形

BEPF≌

筝形

AGQH

，

∴AD=BE=BF=CG=CH=AK

．

∵

折叠后是一个三棱柱，

∴DO=PE=PF=QG=QH=OK

，四边形

ODEP

、四边形

PFGQ

、四边形

QHKO

都为矩形．

∴∠ADO=∠AKO=90°

．

连结

AO

，

在

Rt△AOD

和

Rt△AOK

中，

{

AOAO

ODOK





，

∴Rt△AOD≌Rt△AOK

（

HL

）．

∴∠OAD=∠OAK=30°

．

设

OD=x

，则

AO=2x

，由勾股定理就可以求出

AD=3x

，

∴DE=6-23x

，

∴

纸盒侧面积

=3x

（

6-23x

）

=-63x2+18x

，

=-63（

x-

3

2

）2+

93

2

，

∴

当

x=

3

2

时，纸盒侧面积最大为

93

2

．

故选

C

．

考点：

1

．二次函数的应用；

2

．展开图折叠成几何体；

3

．等边三角形的性质．

9.

对于二次函数

y=x2﹣

2mx

﹣

3

，有下列说法：

，

它的图象与

x

轴有两个公共点；

，

若当

x

≤

1

时

y

随

x

的增大而减小，则

m=1

；

，

若将它的图象向左平移

3

个单位后过原点，则

m=

﹣

1

；

，

若当

x=4

时的函数值与

x=2

时的函数值相等，则当

x=6

时的函数值为﹣

3

．

其中正确的说法是（）

A.

，，，

B.

，，

C.

，，

D.

，，，

【答案】

B

【解析】

【分析】

根据二次函数的图象以及性质对各项进行分析即可．

【详解】①2

22434120mm△，故抛物线与

x

轴有两个公共点，正确；

②对称轴

2

2

m

xm





，0a，所以当xm，

y

随

x

的增大而减小，当

x

≤

1

时，m1，错误；

③将它的图象向左平移

3

个单位可得23233yxmx--，将0,0

代入即可求得1m，错误；

④根据二次函数图象的对称性可得，对称轴

242

3

22

m

xm





，将6x代入2233yxx-中，

解得

3y

，正确；

故答案为：

B

．

【点睛】本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象以及性质是解题关键．

10.

已知△

ABC

的两条中线的长分别为

5

、

10

，若第三条中线的长也是整数，则第三条中线长的最大值（）

A.

7

B.

8

C.

14

D.

15

【答案】

C

【解析】

【分析】

如图，角

A

、

B

、

C

对应的中点分别是

D

、

E

、

F

，且三条中线交点是

O

，将

OD

延长到

G

，使

OD=DG

，连

接

BG

，设

BE=5,CF=10

，

AD

则为第三条中线长，根据三角形的三边关系和中线的性质列出不等式组，即

可求出第三条中线长的最大值．

【详解】如图，角

A

、

B

、

C

对应的中点分别是

D

、

E

、

F

，且三条中线交点是

O

，将

OD

延长到

G

，使

OD=DG

，

连接

BG

，设

BE=5,CF=10

，

AD

则为第三条中线长

∵角

A

、

B

、

C

对应的中点分别是

D

、

E

、

F

，且三条中线交点是

O

∴

10

3

BO

，

20

3

CO

∵

OD=DG

∴

20

3

BGCO

∴

1020

10

33

OGBOBG

∴

3

15

2

ADOG

∴15AD

∵第三条中线的长也是整数

∴第三条中线长最大值为14

故答案为：

C

．

【点睛】本题考查了三角形中线的长度问题，掌握三角形的三边关系和中线的性质是解题的关键．

二、填空题

11.

已知

a=4

，

b=9

，

c

是

a

，

b

的比例中项，则

c=

_______

【答案】6

【解析】

【分析】

根据题意列出分式方程，再代入求解即可．

【详解】由题意得

ac

cb



将

a=4

，

b=9

代入可得

4

9

c

c



236c

6c

经检验，当6c时，0c，所以根成立

故答案为：6．

【点睛】本题考查了分式方程的应用，掌握解分式方程的方法是解题的关键．

12.

如图，在正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都是格点，则cos∠BAC=_________．

【答案】

2

2

．

【解析】

【分析】

分别利用勾股定理求出

AB

、

BC

、

AC

的长度，然后判断

△ABC

的形状，得出

∠BAC

的度数，求出

cos∠BAC

的值．

【详解】解：

AB=BC=2125，

AC=21130，

则

AB

2+BC2=5+5=10=AC2，

则

△ABC

为等腰直角三角形，

∠BAC=45°

，

则

cos∠BAC=

2

2

．

考点：

1.

特殊角的三角函数值

,2.

勾股定理

,3.

勾股定理的逆定理

.

13.

⊙

O

的半径为

1

，弦

AB=

2，弦

AC=3，则∠

BAC

度数为

________________

【答案】

75

°或

15

°

【解析】

【分析】

分两种情况：（

1

）当圆心角在弦

AC

与

AB

之间时；（2）当圆心在弦AC与AB一侧时．根据三角函数的定义

求出CAO和BAO的度数，即可求出

BAC

的度数．

【详解】（

1

）当圆心角在弦

AC

与

AB

之间时，如图（

1

）所示，过

O

作ODAB，OEAC，连接

OA

由垂径定理可得：

D

为

AB

中点，

E

为

AC

中点

∴

13

22

AEACcm，

13

22

ADABcm

∴

3

cos

2

AE

CAO

OA

∠，

2

cos

2

AD

BAO

OA

∠

∴3045CAOBAO∠，∠

∴304575BAC∠

（2）当圆心在弦AC与AB一侧时，如图（2）所示，过

O

作ODAB，OEAC，连接

OA

∴

13

22

AEACcm，

13

22

ADABcm

∴

3

cos

2

AE

CAO

OA

∠，

2

cos

2

AD

BAO

OA

∠

∴3045CAOBAO∠，∠

453015BAC∠

故答案为：

75

°或

15

°．

【点睛】本题考查了圆周角的度数问题，掌握垂径定理以及三角函数的定义以及性质是解题的关键．

14.

，，，，，，1，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，M，，，O，，，，，，，，，，，，，，

________

，

【答案】

3

26



．

【解析】

试题解析：如图，连接

OM

交

AB

于点

C

，连接

OA，OB，

由题意知，

OM

⊥

AB

，且

OC=MC=1，

在

RT

△

AOC

中，∵

OA=2，OC=1，

∴

cos

∠

AOC=

1

2

OC

OA

，AC=22=3OAOC

∴∠

AOC=60°，AB=2AC=23，

∴∠

AOB=2

∠

AOC=120°，

则

S

弓形ABM

=S

扇形OAB

-S

△

AOB

=

212021

231

3602





=

4

3

3



，

S阴影=S半圆-2S弓形ABM

=

1

2

π×22-2，

4

3

3



，

=2

2

3

3



，

故答案为

2

2

3

3



，

中，90Co，5AC，12BC，如果以点C为圆心，

r

为半径，且

Ce

与斜边AB仅有

一个公共点，那么半径

r

的取值范围是

________，

【答案】

60

13

r

或512r

【解析】

【分析】

因为要使圆与斜边只有一个公共点，所以该圆和斜边相切或和斜边相交，但只有一个交点在斜边上．

若

d＜r

，则直线与圆相交；若

d=r

，则直线于圆相切；若

d＞r

，则直线与圆相离．

【详解】解：根据勾股定理求得直角三角形的斜边是22512

=13．

当圆和斜边相切时，则半径即是斜边上的高，等于

60

13

；

当圆和斜边相交，且只有一个交点在斜边上时，可以让圆的半径大于短直角边而小于长直角边，则

5＜r≤12．

故半径

r

的取值范围是

r=

60

13

或

5＜r≤12．

故答案为

r=

60

13

或

5＜r≤12．

【点睛】考查了直线与圆的位置关系，此题注意考虑两种情况，只需保证圆和斜边只有一个公共点即可．

16.

如图，直角三角形

ABC

中，∠

ACB=90°

，

AB=10

，

BC=6

，在线段

AB

上取一点

D

，作

DF

⊥

AB

交

AC

于点

F.

现将△

ADF

沿

DF

折叠，使点

A

落在线段

DB

上，对应点记为

A

1；

AD

的中点

E

的对应点记为

E

1

.

若

△

E

1

FA

1∽△

E

1

BF

，则

AD=.

【答案】

3.2

．

【解析】

【详解】解：∵∠

ACB=90°

，

AB=10

，

BC=6

，

∴2222ACABBC1068．

设

AD=2x

，

∵点

E

为

AD

的中点，将△

ADF

沿

DF

折叠，点

A

对应点记为

A

1，点

E

的对应点为

E

1，

∴

AE=DE=DE

1

=A

1

E

1

=x

．

∵

DF

⊥

AB

，∠

ACB=90°

，∠

A=

∠

A

，

∴△

ABC

∽△

AFD

．

∴

AD

：

AC=DF

：

BC

，

即

2x

：

8=DF

：

6

，解得

DF=1.5x

．

在

Rt

△

DE

1

F

中，

E

1

F2=DF2+DE

1

2=3.25x2，

又∵

BE

1

=AB

－

AE

1

=10

－

3x

，△

E

1

FA

1∽△

E

1

BF

，

∴

E

1

F:A

1

E

1

=BE

1

:E

1

F

，即

E

1

F2=A

1

E

1

•BE

1．

∴23.25xx103x

，解得

x=1.6

或

x=0

（舍去）．

∴

AD

的长为

2×1.6=3.2

．

三、解答题(本题有8个小题，共80分)

17.

计算：如图，半径为

3

的⊙

A

经过原点

O

和点

C(0

，

2)

，

B

是

y

轴左侧⊙

A

优弧上一点，求

tan

∠

OBC

的

值．

【答案】

2

4

【解析】

【分析】

设⊙

A

与

x

轴的另一个交点为

D

，连接

CD

，根据勾股定理求出

OD

，根据正切的定义求出tanCDO，根

据圆周角定理得到OBCCDO，等量代换即可．

【详解】设⊙

A

与

x

轴的另一个交点为

D

，连接

CD

∵90COD

∴

CD

是直径，

CD=6

在RtOCD△中，

CD=6,OC=2

∴2242ODCDOC

2

tan

4

OC

CDO

CD

∠

由圆周角定理得OBCCDO

∴

2

tan

4

OBC

故答案为：

2

4

．

【点睛】本题考查了三角函数的问题，掌握勾股定理、圆周角定理、三角函数的定义以及性质是解题的关

键．

18.

已知二次函数

y

＝

ax2＋

bx

＋

c

的图象过

A(2

，

0)

，

B(0

，－

1)

和

C(4

，

5)

三点，求二次函数的解析式．

【答案】

2

1

22

xx

y

【解析】

【分析】

用待定系数法即可求出二次函数的解析式．

【详解】将

A(2

，

0)

，

B(0

，－

1)

和

C(4

，

5)

代入

y

＝

ax2＋

bx

＋

c，

042

1

5164

abc

c

abc

















解得

11

,,1

22

abc

∴

2

1

22

xx

y．

【点睛】本题考查了二次函数的解析式问题，掌握待定系数法是解题的关键．

19.

如图，小红同学用仪器测量一棵大树

AB

的高度，在

C

处测得∠

ADG



30



，在

E

处测得∠

AFG



60



，

CE



8

米，仪器高度

CD



1.5

米，求这棵树

AB

的高度（结果精确到

0.1

，3≈

1.73

）．

【答案】

8.4m

【解析】

【分析】

根据等腰三角形的性质求出

AF

的长度，再利用三角函数求出

AG

的高，即可得到

AB

的高．

【详解】

∵

∠

ADG



30



，∠

AFG



60



∴30DAF

∴8AFDFCEm

∵90AGF

∴

3

sin8436.92

2

AGAFAFGmg∠

∴6.921.58.4ABAGBGm．

【点睛】本题考查了三角函数的实际应用，掌握三角函数的定义以及性质、特殊三角函数值是解题的关键．

20.

一个口袋中放有

20

个球，其中红球

6

个，白球和黑球各若干个，每个球除了颜色外没有任何区别．小王

通过大量反复试验（每次取一个球，放回搅匀后取第二个）发现，取得黑球的频率稳定在

0.4

左右．

（

1

）请你估计袋中黑球的个数；

（

2

）若小王取出的第一个球是白球，将它放在桌上，闭上眼睛从袋中余下的球中再任意一个球，取出红球

的概率是多少？

【答案】（

1

）

8

；（

2

）

6

19

【解析】

【分析】

（

1

）总数乘以取得黑球的频率即可估算袋中黑球的个数；

（

2

）由题意得，此时有

19

个球，

6

个红球，即可求得取出红球的概率．

【详解】（

1

）200.48（个）

答：估计袋中黑球有8个．

（

2

）由题意得，此时有

19

个球，

6

个红球

取出红球的概率

6

19



答：取出红球的概率是

6

19

．

【点睛】本题考查了概率统计的问题，掌握概率的性质以及公式是解题的关键．

21.

如图1，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点D，且ED⊥AC．

（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如图2，若线段AB、DE的延长线交于点F，∠C=75°，CD=23，求⊙O的半径和BF的长

【答案】（1）△ABC是等腰三角形，理由见解析；

（2）⊙O的半径为2，BF=

43

3

﹣2.

【解析】

分析：（

1

）连接

OE

，根据切线性质得

OE⊥DE

，与已知中的

ED⊥AC

得平行，由此得∠

1=∠C

，再根据同

圆的半径相等得∠

1=∠B

，可得出三角形为等腰三角形；

（2

）通过作辅助线构建矩形

OGDE

，再设与半径有关系的边

OG=x

，通过

AB=AC

列等量关系式，可求得

结论．

本题解析：

解：（1）△ABC是等腰三角形，理由是：

如图1，连接OE，

∵DE是⊙O的切线，

∴OE⊥DE，∵ED⊥AC，∴AC∥OE，∴∠1=∠C，∵OB=OE，∴∠1=∠B，

∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形；

（2）如图2，过点O作OG⊥AC，垂足为G，则得四边形OGDE是矩形，

∵△ABC是等腰三角形，

∴∠B=∠C=75°，

∴∠A=180°﹣75°﹣75°=30°，

设OG=x，则OA=OB=OE=2x，AG=x，

∴DG=0E=2x，

根据AC=AB得：4x=3x+2x+2-3，x=1，∴0E=OB=2，

在直角△OEF中，∠EOF=∠A=30°，

cos30=

OE

OF

，OF=

2

cos30

=

43

3

，

∴BF=

43

3

﹣2，⊙O的半径为2．

22.

阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，

叫该点的

“

特征线

”

．例如，点

M

（

1

，

3

）的特征线有：

x=1

，

y=3

，

y=x+2

，

y=

﹣

x+4

．问题与探究：如图，

在平面直角坐标系中有正方形

OABC

，点

B

在第一象限，

A

、

C

分别在

x

轴和

y

轴上，抛物线2

1

()

4

yxmn

经过

B

、

C

两点，顶点

D

在正方形内部．

（

1

）直接写出点

D

（

m

，

n

）所有的特征线

;

（

2

）若点

D

有一条特征线是

y=x+1

，求此抛物线的解析式；

（

3

）点

P

是

AB

边上除点

A

外的任意一点，连接

OP

，将

，OAP

沿着

OP

折叠，点

A

落在点

A′

的位置，当

点

A′

在平行于

y

轴的

D

点的特征线上时，满足（

2

）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在

OP

上？

【答案】（

1

）

y=n

，

x=m

，

y=-x+m+n

，

y=x-m+n

；（

2

）21

2+3

4

yx

；（

3

）

923

3



或

127

3



【解析】

【分析】

（

1

）根据特征线的定义以及性质直接求出点

D

的特征线；

（

2

）由点

D

的一条特征线和正方形的性质求出点

D

的坐标，从而求出抛物线解析式；

（

3

）分平行于

x

轴和

y

轴两种情况，由折叠的性质计算即可．

【详解】（

1

）∵点

D,mn

∴

D,mn

的特征线是

,,,xmynyxnmyxmn

（

2

）∵点

D

有一条特征线是

1yx

∴1nm

∴

1nm

∵抛物线的解析式为2

1

()

4

yxmn

∴21

1

4

yxmm

∵四边形

OABC

是正方形，且

D

点为正方形对称轴，

,Dmn

∴2,2Bmm

∴2

1

2(2)

4

mmmn

∴2

1

02

4

mnm

将

1nm

代入2

1

02

4

mnm

中

2

1

01

4

mm

解得

2,3mn

∴抛物线的解析式为21

23

4

yx

（

3

）①如图，当点A



在平行于

y

轴的

D

点的特征线时的

根据题意可得2,3D

∴

4,2OAOAOM





∴60AOM



∠

∴30AOPAOP



∠∠

∴

23

3

3

OM

MN

∴抛物线需要向下平移的距离

23923

3

33





②如图，当点A



在平行于

x

轴的

D

点的特征线时，设,3Ap



则224,3,437OAOAOEEA





∴47AF





设4,0Pcc

在RtAFP



△中，2

2

2473cc

解得

1647

3

c





∴

1647

4,

3

p











∴直线

OP

解析式为

47

3

yx





，

827

2,

3

N











∴抛物线需要向下平移的距离

827127

3

33





即抛物线向下平移

923

3



或

127

3



距离，其顶点落在

OP

上．

【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，掌握特征线的性质、正方形的性质、抛物线的性质、折叠的性

质、平移的性质是解题的关键．

23.

（

1

）已知△

ABC

中

AB=AC

，∠

BAC=36

°，

BD

是角平分线，求证：点

D

是线段

AC

的黄金分割点；

（

2

）如图，正五边形的边长为

2

，连结对角线

AD

、

BE

、

CE

，线段

AD

分别与

BE

和

CE

相交于点

M

、

N

，

求

MN

的长；

（

3

）设⊙

O

的半径为

r

，直接写出它的内接正十边形的长

=_________________

（用

r

的代数式表示）．

【答案】（

1

）详见解析；（

2

）3-5；（

3

）

5-1

2

r

【解析】

【分析】

（

1

）根据等腰三角形的性质可得BDBCAD，再通过证明ABCBDC∽△△可得

ACBC

BCCD



，即

ACAD

ADCD



，即可证明点

D

是线段

AC

的黄金分割点；

（

2

）根据正五边形的性质求得DEDMAEAN，AEMADE△∽△，根据相似比

AEAM

ADAE



，

即可求出

MN

的长；

（

3

）设

AB

是圆内接正十边形的边长，连接

OA

、

OB

，作

∠OAB

的角平分线交

OB

于

C

，通过证明

OABACB△∽△得出比例式，即可求出答案．

【详解】（

1

）∵

AB=AC

，∠

BAC=36

°

∴72ABCACB

∵

BD

是ABC的角平分线

∴36DBC

∴18072BDCDBCC∠∠∠

∴BDCC

∴BDBCAD

∴36BACDBC∠，72CC∠∠

∴ABCBDC∽△△

∴

ACBC

BCCD



∴

ACAD

ADCD



∴点

D

是线段

AC

的黄金分割点．

（

2

）∵

180,BAEAEDEDCBAAEED∠∠∠

∴36ABEAEBEADEDAEDCDCE∠∠∠∠∠∠

∴72EMDEADAEB∠∠∠，72ENMDENNDE∠∠∠

∴18072DEMEDADME∠∠∠，18072AENEADENM∠∠∠

∴DEMDME∠∠，AENENM∠∠

∴2DEDMAEAN

∴2MNANMNMN，4ADANDMMNMN

∴

,AEMADEEAMDAE∠∠∠∠

∴AEMADE△∽△

∴

AEAM

ADAE



∴2AEAMADg

∴22=24MNMN

解得35MN或3+5MN（舍去）

故

MN

的长为35．

（

3

）设

AB

是圆内接正十边形的边长，连接

OA

、

OB

，作

∠OAB

的角平分线交

OB

于

C

则

360

36

10

AOB



∠

，72OABOBA∠∠，36OACBAC∠∠

∴363672ACB∠

∵72B

∴ACBB∠∠

∴

,ACABACOC

∵36OCAB∠∠，BB

∴OABACB△∽△

∴

OAAB

ACBC



∵OAOBr

∴

rAB

ABrAB





解得

51

2

ABr



或

51

2

ABr



（舍去）

经检验当

51

2

ABr



时，0rABABg

，所以根成立

故

51

2

ABr



．

【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键．

24.

在平面直角坐标系

xOy

中，一块含

60°

角的三角板作如图摆放，斜边

AB

在

x

轴上，直角顶点

C

在

y

轴

正半轴上，已知点

A

（﹣

1

，

0

）．

（

1

）请直接写出点

B

、

C

的坐标：

B

（）、

C

（）；并求经过

A

、

B

、

C

三点的抛物线解析式；

（

2

）现有与上述三角板完全一样的三角板

DEF

（其中∠

EDF=90°

，∠

DEF=60°

），把顶点

E

放在线段

AB

上

（点

E

是不与

A

、

B

两点重合的动点），并使

ED

所在直线经过点

C

．此时，

EF

所在直线与（

1

）中的抛物

线交于点

M

．

①设

AE=x

，当

x

为何值时，

，OCE

∽△

OBC

；

②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点

P

使

，PEM

是等腰三角形？若存在，请写出点

P

的坐

标；若不存在，请说明理由．

【答案】（

1

）3,0B

，0,3C

，抛物线解析式2

323

3

33

yxx；

（2）①当2x时，△

OCE

∽△

OBC

；②抛物线对称轴上存在点

P1,2

或1,2

或

23

1

3









，

或1,23

，

使△

PEM

是等腰三角形．

【解析】

【分析】

（

1

）利用解直角三角形求出

OC

的长度，再求出

OB

的长度，从而可得点

B

、

C

的坐标，然后利用待定系

数法求二次函数解析式解答；

（

2

）①根据相似三角形对应边成比例列式求出

OE

的长度，再根据点

A

的坐标求出

AO

的长度，相加即可

得到

AE

的长度，即

x

的值；

②根据①确定点

E

在对称轴上，然后求出∠

FEB=60

°，根据同位角相等两直线平行求出

EF//AC

，再求出

直线

EF

解析式，与抛物线解析式联立求出点

M

的坐标，再利用两点间的距离公式求出

EM

的长度，再分

PE=EM

，

PE=PM

，

PM=EM

三种情况分别求解．

【详解】（

1

）∵点1,0A

∴1OA

由图可知，∠

BAC

是三角板的

60°

角，∠

ABC

是

30°

角

∴tan60133OCOAg，cot30333OBOCg

∴点3,0B

，点0,3C

设抛物线解析式为2yaxbxc的

0

930

3

abc

abc

c

















解得

323

,,3

33

abc

∴抛物线解析式为2

323

3

33

yxx

（

2

）①∵△

OCE

∽△

OBC

∴

OEOC

OCOB



即

3

3

3

OE



解得

1OE

∴112AEOAOE

即2x时，△

OCE

∽△

OBC

②存在，理由如下：

抛物线的对称轴为

23

3

1

2

3

2

3

b

x

a











∴点

E

为抛物线的对称轴与

x

轴的交点

，OAOE，OCx轴，

60BAC

∴△

ACE

是等边三角形

，60AEC

∵60DEF

∴60FEB∠

∴BACFEB∠∠

∴//EFAC

由1,0,0,3AC

可得直线

AC

的解析式为33yx

∵点

E1,0

∴直线EF的解析式为33yx

联立

2

33

323

3

33

yx

yxx















解得

1

1

2

3

x

y















，

2

2

3

43

x

y















∴点M的坐标为2,3

或3,43

（舍去）

2

221302EM

分三种情况讨论△PEM是等腰三角形

1）当PEEM时，2PE

∴点P的坐标为1,2

或12，

2）当PEPM时，

∵60FEB∠

∴906030PEF∠

1

cos30

2

PEEM

13

2

22



23

3



∴点

P

的坐标为

23

1

3









，

3

）当PMEM时，

3

2cos302223

2

PEEMg

∴点

P

的坐标为1,23

综上所述，抛物线对称轴上存在点

P1,2

或1,2

或

23

1

3









，

或1,23

，使△

PEM

是等腰三角形．

【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，掌握二次函数的性质、解直角三角形的方法、相似三角形的性

质以及判定定理、平行线的性质、两点间的距离公式是解题的关键．